基于小波分解和IIR滤波器的最优均衡器设计

梁 彦，凌永权

（广东工业大学 信息工程学院，广东 广州 510000）

1 研究背景

均衡器是一种以补偿方式修补传输系统固有缺陷，减少传输系统对输入信号造成的失真的电子设备，通常通过一组滤波器以串联或者并联的方式实现［1］。均衡器可以显著提高音频的质量，因此被广泛应用于音乐会和广播等音频传输系统。

均衡器一般关注中心频率、带宽及增益3个重要特征。根据这3个特征是否可调，可将均衡器分为图示均衡器和参数均衡器两个类别［2］。通过预设图示均衡器滤波器组中每个滤波器的中心频率和带宽，使用者只需调整滤波器增益即可实现信号的均衡化，使用方便简单［3］；参数均衡器的每个滤波器的中心频率、带宽及增益都是可控的，使用灵活度更高，也能实现更高精度的均衡化，但使用者需要具备一定的专业知识［4-6］。由于使用简单、方便明了，图示均衡器被广泛应用于人们的日常生活［7］。

一般情况下，为了弥补精度上的不足，图示均衡器会将音频通频带切分为多个不同的频段，其中一个滤波器负责处理一个频段的均衡化［8］。例如，房间均衡器将音频通频带切分为32个频段［9］，意味着均衡器的每个滤波器的带宽都很窄，导致邻近频段滤波器之间相互干扰严重［3,10］。降低相互干扰的最直接方法是使用高阶FIR滤波器，但是这种情况下滤波器的阶数往往高达数千［1,5］。系统的时延与阶数成正比，因而使用高阶FIR滤波器会给系统带来时延高和设计过程计算量大的问题。

针对这些问题，考虑采用IIR滤波器来构建图示均衡器。IIR滤波器响应长度无限长，同时具有非线性相位的特点，因而无法保证稳定性［11］。但是，同规格的IIR滤波器的实现成本要远低于FIR滤波器，同时可以节省更多的空间资源。因此，基于IIR滤波器的图示均衡器可以应用在线性相位要求较低的场景，只要设计得当，也能同时保证IIR滤波器的系统稳定性［12-13］。

双线性变换是设计图示均衡器IIR滤波器的最常用方法。然而，双线性变换会导致系统高频处的频率响应失真［1,4-5］。为了解决这个问题，通常需修正滤波器高频处的频率响应［14］，但依然无法保证IIR滤波器的稳定性。

为了解决上述问题，本文从优化角度出发，提出一种基于小波分解的图示均衡器设计方法。具体地，使用小波分解将信号分解成不同频段的频率成分。在各个需要处理的频段，理想均衡化和实际均衡化之间的绝对误差作为优化问题的目标函数被最小化，同时对优化问题添加每个频率点的误差约束条件和IIR滤波器稳定性约束条件。当找到一个优化问题的最优解时，一个能对该频段提供有效稳定均衡化的IIR滤波器的系数也将随之确定。设计所有频段对应的IIR滤波器后，以并联方式连接滤波器，使用各滤波器的输出重构均衡化后的信号。

2 基于IIR滤波器组的均衡器设计

本文提出的图示均衡器设计方法采用分频段处理方法，通过小波分解将传输系统的输入输出信号分解为对应频段的分量，使用输入输出信号相同频段的频率分量设计出负责该频段均衡化的IIR滤波器。当得到所有频段对应的IIR滤波器后，即可组建完整的图示均衡器。本节主要讲述基于小波分解的频段划分和针对单个频段设计IIR滤波器的方法。

2.1 基于小波分解的频带划分

小波分解是一种多尺度的信号处理方法，对选定的小波基进行压缩平移，配以适当的系数复现原信号，能同时得到信号局部的时域和频域信息。若需要更小局部的时频信息，只需对信号做更大尺度的小波分解即可。

国际标准化组织（International Organization for Standardization，ISO）标准根据人耳听力敏感程度划分的10段倍频频带分布与采样率为44.1 kHz（一般音频信号采样率）的信号10层小波分解的各频带对比，如表1所示。

表1 10段倍频频带与10层小波分解的频段对比

由表1可见，10段倍频的各频段与10层小波分解的各频段相差无几。因此，可对原系统的输入输出信号采用10层小波分解，得到输入输出信号对应频段的频率分量。

2.2 单个频段的IIR滤波器设计

针对输入输出信号相同频段的频率分量，从最优化的角度设计负责对应频段均衡化的IIR滤波器。首先，对需要均衡化的信号进行10层小波分解，得到对应频段的频率分量；其次，通过对应频段的IIR滤波器，得到均衡化后的各频率分量；最后，将所有IIR滤波器的输出重构得到均衡化后的信号。处理流程如图1所示。

假设x(n)和y(n)（n=0,1,…,L-1）分别是原系统输入输出信号经10层小波分解得到的相同频段的频率分量，由二者的离散时间傅里叶变换得到原系统在该频段内的频率响应为：

假设需要设计的IIR滤波器的频率响应模型为：

式中，N和M分别是IIR滤波器频率响应中分子和分母多项式的阶数。一般情况下，N和M的取值越大，能得到的均衡化精度越高，但相应的计算量也越大。bi(i=0,1,…,N)和ak(k=0,1,…,M)分别是IIR滤波器频率响应分子和分母的系数。

图1 均衡器处理流程图

考虑到IIR滤波器的非线性相位特点，为了简化问题，后文只考虑幅频响应。将IIR滤波器连接在原音频传输系统后，理想情况下能得到如下的均衡化效果：

式中，C是图示均衡器可控的增益，BP为需要此IIR滤波器均衡化的频段。由于分频段的工作已通过小波分解完成，此处需要均衡化的频段为信号分量的全频带，即BP为［0,2π］。

对式（3）作变换，可得到：

由式（4）出发，定义频段内单个频率点处的误差方程为：

为了简化误差方程（5），定义以下向量：

则误差方程（5）可被简化为：

由于需要被最小化的是频段BP中理想均衡化和实际均衡化间的绝对误差，即频段BP中每个频率点绝对误差的叠加，因此需要对式（24）的绝对值在频段BP内积分，以此作为优化问题的目标函数：

为了防止IIR滤波器在均衡化过程中出现某个频率点处存在较大误差的问题，为每个频率点处的误差添加约束条件：

值得注意的是，当且仅当IIR滤波器传递函数所有分母的根都在单位圆内时，IIR滤波器是稳定的。文献［12，15］有此条件的等价条件。因此，为了保证IIR滤波器的稳定性，对优化问题添加以下稳定性约束条件：

至此，得到完整的优化问题：

通过调用遗传算法，使用合适的算法参数能解此优化问题，得到优化问题的最优解，即为所设计IIR滤波器所有系数的集合。将最优解中的元素代回式（2）对应的位置，即可得到负责此频段均衡化的IIR滤波器的频率响应。

3 实验仿真与分析

3.1 实验仿真

实验采用从普通音频文件截取出的片段作为信号，长度为40 000（即L=40 000），采样率为44.1 kHz（即fs=44 100 Hz），信号中含有［0，22 050］Hz的有效信息，涵盖人耳听力范围。原音频传输系统的输入信号和输出信号在时域和频域中的对比，分别如图2和图3所示。

实验中，IIR滤波器的阶数为50。通过小波分解将音频分解成10个频率分量，各分量的频率范围如表1所示。对输入输出信号对应频段的分量使用上述单个频段IIR滤波器的设计方法，设计出负责各个频段均衡化的IIR滤波器。为了使对比效果明显，将均衡器各个频段的增益值设为1（即C=1），尽可能将均衡器的输出恢复到信号经过音频传输系统前。

图2 信号经过音频传输系统前后在时域中的对比

图3 信号经过音频传输系统前后的幅频响应对比

在得到对应各个频段的IIR滤波器后，以并联的方式连接各IIR滤波器。需要均衡化的信号先经过10重小波分解得到对应各IIR滤波器处理频段的各频率分量，再由各IIR滤波器实现均衡化，最后由各IIR滤波器的输出重构得到经过均衡化的信号。经过均衡器处理后的信号与处理前的信号在时域和频域上的对比，分别如图4和图5所示。

图4 信号经过均衡器处理前后在时域中的对比

图5 信号经过均衡器处理前后在频域中的对比

3.2 实验结论

从图4可以看出，经过均衡器处理后，均衡器的输出信号与原信号在时域上相差无几。从图5的频域图可以看到各个频率成分在均衡器处理前后的对比，其中原传输系统的输出信号在规范化频率［0,0.4π］区间内衰减严重，个别频率成分的幅值甚至只有-30 dB。经过均衡器处理后，衰减严重的频率分量的幅值也有大约20 dB，和原来的信号相比只有微弱的衰减。此外，均衡器处理带来的高频噪声也只有约-20 dB的幅值，对声音质量的影响很小。

4 结 语

本文针对一般图示均衡器时延高、计算量大以及相邻频带间相互干扰的问题，从优化问题的角度，提出了一种基于小波分解和IIR滤波器的图示均衡器设计方法。相对于一般的图示均衡器，本文滤波器的阶数低了两个数量级，仍然能提供有效的均衡化，同时极大地降低了系统的时延和设计的计算量，解决了相邻频段相互干扰的问题。若要实现更高精度的均衡化，可适当加大IIR滤波器的阶数，但系统的延时和设计的计算量也会相应增加。