反证,假设b0<+∞,对很小的ε>0,在(a0+ε,b0-ε)上应用(2)式,且令ψ=vs有
(6)
由(5)式与洛必达法则得,a0=0时,有
a0>0时,有
综上可得
(7)
因此,有
sN*-3|vs|p∈L1(a0,b0)
(8)
在(6)式中令ε→0,由vs(a0)=vs(b0)=0,得
(9)
由(8)式,有
(10)
给定ε>0,令0≤φ≤1在R中满足
由φ定义我们有
由(7)式与推广的积分第一中值定理,存在η∈(a0+ε,a0+2ε)有
(11)
由Holder不等式、(10)式和(11)式,有
由(9)式与上述不等式,有
矛盾。所以vs在[a,b]中不改变符号。
2 主要结果
证明由上述引理,若v(s)为
的稳定径向弱解,不妨设(0,∞)中有vs<0。由经典椭圆正则性理论,可以找到v∈C3(0,∞)为(5)式在(0,∞)中的解。由(8)式得
(12)
令ε→0+,有
(13)
由(12)式,有
令(4)式中φ=ξvs,由(13)式有
≥0
(14)
现在,对β>0选择
ξ={1,s<1,
s-β,s≥1
将(ξ-S-β)χ(0,S)应用于(14)式且令S→∞,有
假若有
(15)
E(s)
由f∈L1(a1,a2)有E∈C1(0,∞)。直接对E(s)微分且由(5)式,有
E′(s)
即有
由f∈L1(a1,a2)有
证明若v(s)为
由E′(s)<0知,当s>0时,E(s)≤E(0)。因此,由上式知,对任意的s>0有0≤E(s)≤E(0),即E为有界的。由假设f∈L1(a1,a2)知F(v(s))也为有界的。由E(s)定义有vs∈L∞(0,∞),那么,有
证明若v(s)为
不失一般性,假设在(0,∞)中有v∞=0,v>0,vs<0。由v∈C3(0,∞)可直接对(5)式微分,有
即有
(16)
由(5)式与洛必达法则,有
当f(0)>0时,对某些δ>0,s→+∞时有|vs|p-1≥δs→+∞;当f(0)<0时,对某些δ>0,s→+∞时有|vs|p-1≤-δs→-∞。因此,有f(0)=0。下证f′(0)≤0。
若f′(0)>0,那么对很大的s与某些ε>0,有f′(v(s))≥ε>0。对满足
的截断函数φ,由
得
由vs∈L∞(0,∞),对很大的R有εRN*≤CRN*-2,与R很大矛盾。所以f′(0)≤0。
由假设我们有
(17)
由(16)式,对很大的s有(sN*-1|vs|p-2vss)′≤0。因此,对很大的s有sN*-1|vs|p-2vss非增,即对很大的s有|vs|p-2vss≤Cs1-N*。
N*>2时,上述不等式在(s,∞)上积分,有
即对任意很大的s有
(18)
N*=2时,由vs∈L∞(0,∞),(18)式显然成立。
b>0时,由f(0)=0,f′(0)≤0,有q>0。因此,由(17)式,对某些δ>0和任意小的t>0有f(t)≥δtq+1。由(5)式,对很大的s有
上述不等式在(t,z)上积分,其中t很大且t-zN*-1|vs(z)|p-2vs(z)
-tN*-1|vs(t)|p-2vs(t)
(19)
由假设vs<0知,当svq+1(z),可得
代入(19)式,有
-|vs(z)|p-2vs(z)v-(q+1)(z)
即对2t0有
(20)
下证q≥p-2。反证,若q其中C>0,D>0为常数,即对很大的s有
vq+2-p(s)≤Cs-p
(21)
由(17)式知,对任意的t∈[0,v(0)]有f(t)≤C′tq+1。因此,由(5)式与(21)式可得,对任意的s>0与某些C>0有
-(sN*-1|vs|p-2vs)′≤C′sN*-1vq+1
≤{C, 0≤s<1
CsN*-1-pvp-1,s≥1
N*=p时,由vs<0有
=vp-1(0)lnz
N*>p时,由vs<0有
综上所述,z>1时有
zN*-1|vs(z)|p-1
C+Cvp-1(0)lnz,N*=p
因此,对足够大的s有
|vs(s)|≤{s-1,N*>p
(22)
由(18)式与(21)式我们讨论两种情况:
p≤N*
当N*≥p+1时,由s≥1时有|vs(s)|≤Cs-1成立,与vs∈L∞(0,∞)有