基于观测器控制的二维马尔可夫跳跃系统

秦雪

（重庆师范大学数学科学学院 重庆市 401331）

二维系统是在两个独立的方向上进行信息传输的系统。在实际应用中，例如在许多物理过程中，由于系统的复杂性，建立二维模型是有必要的。文献[1]中二维热晶体管中的热流开关和调制可以由二维切换系统进行模拟。本文研究的二维系统是由Roesser 在文献[2]中针对线性图像处理问题首次提出的著名的二维离散系统模型，也即Roesser 模型。到目前为止，许多学者对二维系统的稳定性进行了广泛的研究，遗憾的是，在[3]-[6]这些文献中的切换过程都没有考虑转移概率。实际上，在整个系统中有些模态被激活的概率很大，而有的模态被激活的概率确非常小。这些很少被激活的模态对系统动态行为的影响也非常小。因此，在研究二维系统的稳定性问题时迫切需要引入转移概率。

符号介绍：Rn表示n 维欧几里得空间，上标T 表示向量或矩阵的转置，||·||表示向量或矩阵的欧几里得范数，λ(A)表示矩阵A的最大特征值，E{·}表示数学期望，A>0 表示A 是正定对称矩阵，*表示矩阵的对称部分。

1 模型介绍

考虑如下的二维马尔可夫跳跃系统：

本文需要以下假设条件以及引理

引理1[7]令γk作为假设2.1.2 中的切换信号，π 是的稳态分布并且满足（2）。则对，有以下等式成立

其中Tp(k)表示第p 个模态在区间[0,k]上被激活的总时间。

创建一个依模态的状态观测器如下：

设计基于观测器的控制器如下：

用系统（1）-（3）可以得到以下误差系统：

由系统（1），可得到如下闭环系统：

2 主要结果

那么闭环系统（6）是渐进稳定的。

于是有

故有

其中Np(k)表示第p 个模态在区间[0,k]上被激活的总次数，于是有

根据上式，可得

利用条件（9），可得以下不等式成立

3 数值模拟

令 考虑系统参数为

有观测增益和控制增益为

由图1 和图2 可知闭环系统是渐进稳定的。

图1：闭环系统中状态xh(i,j)

图2：闭环系统中状态xv(i,j)

4 小结

本文研究了二维马尔可夫跳跃系统的基于观测器的控制问题。通过线性矩阵不等式，提出了保证闭环系统指数稳定的充分条件。基于推导出的稳定性条件，解决了基于观测器的控制器的设计问题。通过数值模拟验证了该结果的有效性。