混响环境下基于卷积模型的欠定盲源分离

李 帅 刘宏清 彭 鹏 罗 臻 周 翊

(1. 重庆邮电大学通信与信息工程学院,重庆 400065; 2. 重庆邮电大学重庆市移动通信重点实验室, 重庆 400065; 3. 重庆德新机器人检测中心有限公司, 重庆 401147)

1 引言

盲源分离已成为信号处理领域的一个热门研究主题,其起源于人们对鸡尾酒会问题的研究[1- 6]。“盲”表示在没有先验知识的条件下,仅从观测到的混合信号中提取出源信号。随着盲源分离理论研究的深入,基于盲源分离的麦克风阵列多路语音信号处理的应用研究逐渐引起人们的关注。

根据麦克风阵元和声源相对数量,盲源分离可分为两类:第一类属于超定或正定的情况,即麦克风阵元数大于或等于声源数,第二类是欠定情况,即麦克风阵元数小于声源数。独立成分分析(Independent Component Analysis, ICA)是有效解决第一类盲源分离问题最为流行的方法[1]。该方法通过找到非高斯数据的线性表示形式,以使得组成部分在统计上独立或尽可能独立。对于欠定情况,由于受固有不利条件的限制,混合矩阵无法直接求逆,导致ICA方法将失效。近年来,随着语音信号处理研究的深入,学者们通过利用时频域中语音信号的稀疏性来实现信源分离已得到广泛应用[4-7]。然而上述方法都是在窄带假设下进行的,即从声源到麦克风之间的冲激响应的长度小于短时傅里叶变换(short-time Fourier transform, STFT)的窗长,例如时频域中的瞬时混合模型。但是,这种窄带近似在高混响环境中并不能很好地发挥作用;而且有研究发现:基于窄带近似的方法在高混响环境中的性能会急剧下降[8-9]。为了减轻这个问题,文献[4]引入了源信号的满秩空间协方差矩阵,但是在高混响场景中分离性能仍不够理想。文献[8]提出了一种半盲条件下的宽带凸方法,该方法在混响环境下表现出良好的分离性能,但是其运算量高。最近,文献[10]提出了基于卷积传输函数和频域套索优化模型的声源半盲分离算法,该研究结果表明:在混响场景中,采用时频域中的卷积混合模型更合适。受文献[10]的启发,文献[11]深入研究了高混响环境下的盲源分离,并取得非常不错的分离性能。

由上述讨论可看出,大多数基于时频域处理的盲源分离算法都只是将时域中的卷积混合信号利用STFT变换到时频域中,进而采用窄带近似转换为时频域中的瞬时混合形式来进行处理,因而在高混响环境下性能并不理想。于是,本文针对高混响场景,将时频域中的瞬时模型扩展到卷积模型,即信号模型在时频域依旧是卷积混合的形式,结合房间冲激响应(RIR)[14]的统计特性,构建一时频域联合优化问题;进而充分利用优化问题的线性可分离且为凸函数的特性,我们采用了交替方向乘子法(ADMM)[12]对该优化问题进行求解。仿真结果表明:与现有盲源分离算法相比,本文算法具有非常明显的性能优势。

2 问题表述

在时域中,麦克风阵列接收信号遵循如下混合模型:

(1)

其中sj(t)和xi(t)分别表示源信号和观测信号,I和J分别为麦克风和声源的数量,aij(t)表示从第j个声源到第i个麦克风之间的房间冲激响应(RIR),*代表卷积运算,ei(t)为背景噪声。

2.1 瞬时窄带近似

令xi(f,n),sj(f,n),ei(f,n)分别代表式(1)中xi(t),sj(t),ei(t)的STFT系数,其中f=0,…,F-1和n=0,…,N-1分别表示频率和时间帧的索引,F和N分别为频点的数目和时间帧的数目。根据窄带假设,将式(1)中的卷积混合模型转换为时频域中的瞬时混合模型[7,9],即

(2)

其中x(f,n)=[x1(f,n),…,xI(f,n)]T,aj(f)=[a1j(f),…,aIj(f)]T,e(f,n)=[e1(f,n),…,eI(f,n)]T。由于算法在每个频点上进行操作,简洁起见,下文讨论中将略去频率索引f。于是,在各频点f上,式(2)用矩阵形式表示:

X=AS+E

(3)

其中X∈CI×N,A∈CI×J,S∈CJ×N,E∈CI×N分别表示观测信号,混合矩阵,源信号以及噪声。文献[11]中还提出了模型(3)的另一种形式:

X=Aα+E

(4)

值得注意的是(4)中的α∈CJ×N和式(3)中的S是不同的,这里的α是综合STFT系数,用来避免分析STFT系数S带来的附加约束[13]。通过时频表示,选择从合成信号中表示系数族,而不是分析系数族。综合方法提供了一种将先验信息或约束引入表示形式的通用方法,考虑到这种利用先验知识的尝试,因此问题就变成了“如何更好地合成信号,使其合成系数的某些行为具有特权？”。于是,利用α的稀疏性,可以通过求解如下无约束优化问题来实现盲源分离:

(5)

其中||·||F,||·||1,λ分别表示Frobenius范数,1范数以及正则化参数。λ用来平衡数据保真项||X-Aα和正则项为一示性函数,可避免不必要的解并且减轻缩放模糊问题。一种常用的示性函数为:

(6)

其中aj表示矩阵A的第j列。

2.2 卷积窄带近似

从理论上讲,瞬时窄带近似仅在RIR长度小于STFT窗长时才有效;因此,当RIR的长度大于STFT的窗长时,式(2)中的模型无效;但这种情况在实际中很少见,通常对STFT的窗长采取限制以确保音频信号的局部平稳性[10]。因此在高混响的情况下,时频域中的卷积模型更为合适[11],其具体形式如下

(7)

(8)

式(8)代表对应时间索引t的卷积,其中k0表示STFT帧步长,

(9)

利用矩阵表达,对于每个频点f,式(7)中的卷积近似可写成

(10)

(11)

为了联合估计混合系统和源信号,设计如下优化问题:

(12)

(13)

(14)

其中ρ(t)表示房间冲激响应的幅度包络,它取决于混响时间RT60:

ρ(t)=σ10-3t/RT60

(15)

其中σ是缩放因子。显然,惩罚项式(14)被设计为迫使RIR呈指数下降,从而满足房间冲激响应的声学统计。由于时频域中的卷积核通过式(8)与时域中的房间冲激响应相关联,因此在本文中,时频域的惩罚项我们采取相同的形式,即

(16)

3 提出的算法

为了求解式(5)和式(12)的两个优化问题,本文选择使用交替方向乘子法(ADMM)作为优化算法来求解。首先从模型式(5)开始,基于ADMM算法,推导相应的求解过程,文中称作窄带ADMM(narrowband ADMM, N-ADMM)算法。类似地,基于式(12)的卷积模型,我们也给出了相应的求解过程,文中称为卷积ADMM(convolutive ADMM, C-ADMM)算法。

3.1 窄带ADMM

为了应用ADMM算法对优化问题式(5)进行求解,引入辅助变量Z1,于是,优化问题式(5)可表示为

(17)

对应地,式(17)的增广拉格朗日函数为

(18)

其中η1是对偶变量,γ1是惩罚项参数。窄带ADMM通过使用以下更新规则迭代更新原始变量和对偶变量来最小化增广拉格朗日函数:

(19)

为了解决式(19)中第一个子问题,引入以α为自变量的函数

(20)

对式(20)在αk处采用二阶泰勒展开到二次项,则有

(21)

(22)

值得注意的是,求解(19)中的第二个和第三个子问题都采用了近端方法[20],其中1范数的近端算子是软阈值算子的近端算子由归一化算子给出。

3.2 卷积ADMM

同样地,对于优化问题式(12),引入辅助变量Z2,得到如下约束受限的优化问题:

(23)

优化问题(23)的增广拉格朗日函数如下:

(24)

其中η2和γ2分别为对偶变量和惩罚项参数。

观察到式(24)的增广拉格朗日函数和式(18)很相似,这意味着利用N-ADMM算法求解式(18)的步骤同样适用于C-ADMM算法,于是在表1中,C-ADMM算法的步骤总结如下,并进行了适当的修改。

表1 C-ADMM算法步骤

4 仿真实验

在该节,针对4种不同条件下的分离性能对比,其中包括不同混响时间,不同的信噪比,不同的声源个数,以及不同的噪声类型,对文中提出的混响环境下基于卷积模型的欠定盲源分离算法进行性能评估,并将其与四种传统盲源分离算法对比,包括卷积近端近似线性最小化(用C-PALM表示)[11],退化解混估计技术(用DUET表示)[6],1范数最小化方法(用L1-MIN表示)[7],满秩空间协方差矩阵方法(用Full-rank表示)[4]。需要指出的是,由于所有实验均考虑了混响,因此N-ADMM仅用于初始化C-ADMM。

4.1 实验设置

各种算法的分离性能通过信号失真比(signal to distortion ratio, SDR),信号干扰比(signal to interference, SIR),源图像空间失真比(source image to spatial distortion ratio, ISR),以及信号伪像比(signal to artifact ratio, SAR)[19]来评价。其中SDR体现了每个估计源的整体质量,SIR衡量了来自其他源的干扰程度,ISR度量了空间失真量,SAR主要是评估了算法本身产生的一些伪像对信号的干扰。

图1 合成混合信号的房间配置Fig.1 Room configuration for synthesized mixtures

4.2 采用模拟合成数据的仿真实验对比

根据欠定情况,仿真时,将麦克风阵元数和声源数分别设为2和3。图2显示了在无噪声环境中各种算法在不同混响时间下的分离性能。显然,由于采用了卷积近似模型和ADMM优化框架,所提出的算法C-ADMM在SDR,SIR,ISR和SAR这四个性能指标上均优于其他方法,Full-rank,DUET,以及L1-MIN这三种算法在混响较高时性能普遍变差,主要是因为它们的信号模型只考虑了瞬时混合情况,无法适用于混响高的环境。当混响时间为50 ms到550 ms时,C-ADMM在所有指标上均比C-PALM提升将近1 dB。值得注意的是,在低混响条件下,满秩方法(Full-rank)的SAR比C-PALM高,这是因为满秩空间协方差模型更适用于混响较低的情况。由于瞬时窄带近似不再适用于房间冲激响应的长度超过STFT窗长的情况,因此DUET和L1-MIN在混响情况下的效果较差。从图2中的各个性能指标可以看出,采用卷积模型的算法性能要优于瞬时模型。

接下来对比了不同算法在不同信噪比下的性能表现,仿真中选择高斯白噪声作为背景噪声,混响时间固定为130 ms,结果如图3所示。从图3可看到,当输入信噪比为0 dB的时候,所有方法都展示出了较差的性能,尤其是SDR和SAR均为负值。在低信噪比的情况下,C-ADMM的分离性能优于C-PALM,其中在SIR指标上提升的较多。在高信噪比的情况下,C-ADMM在四个性能指标上相比C-PALM有1 dB左右增益,这显示了所提出算法对抗噪声的鲁棒性。

图2 不同算法在不同混响时间下的分离性能Fig.2 Separation performance of different algorithms under different reverberation time

表2中对比了不同声源数量下的分离性能,仿真中将麦克风阵元数设定为2,混响时间设定为130 ms。正如预料,所有算法性能均随声源数的增加而下降,但是文中所提出算法的性能仍优于其他算法,因此所提算法相比于其他算法更加稳健。

表2 不同声源数量的性能对比(SDR/SIR/ISR/SAR,单位:dB)

最后,比较了各种算法在不同噪声类型下的分离性能,用来验证所提出算法在各种场景下的有效性,结果如表3所示。分别在0 dB,5 dB,10 dB,以及15 dB测试了5种类型的噪声,混响时间固定为130 ms,其中babble指餐厅内嘈杂噪声,volvo指车内噪声,leopard指军用车辆噪声,m109指坦克内部噪声,pink指粉红噪声。结果显示:各种算法的分离性能均随噪声的增加而降低,并且在不同的噪声类型下性能也会有所不同。但是无论哪种情况,文中所提算法C-ADMM的性能始终要优于其他算法。此外,通过分析表3中的实验结果,不难发现:不同噪声类型对算法性能的影响是有差别的,尽管提出算法相比于其他算法依旧保持着良好的性能优势。

图3 不同算法在不同信噪比下的分离性能Fig.3 Separation performance of different algorithms under different signal-to-noise ratios

表3 不同噪声类型下的性能对比(SDR/SIR,单位:dB)

4.3 采用实际录音的实验对比

分别测试了SISEC 2013提供的一些真实混合录音,其中包含了3个声源和4个声源的情况,表4列出了不同算法得到的SDR和SIR。对于3个声源的混合语音,C-ADMM算法与C-PALM相比,SDR在混响时间为130 ms和250 ms时分别提升了0.27 dB和0.36 dB,而SIR分别提升了0.49 dB和0.65 dB。对于4个声源的混合语音,C-ADMM算法与C-PALM相比,SDR分别提升了0.34 dB和0.41 dB,SIR分别提升了0.58 dB和1 dB。这些指标都展示了所提算法C-ADMM具有出色的分离性能。

表4 在SISEC 2013实测数据上的分离性能(SDR/SIR,单位:dB)

5 结论

针对欠定情况下的盲源分离问题,本文基于时频域中的卷积近似模型,提出了源信号和混合系统的联合估计,最终的优化问题由ADMM优化框架交替求解。通过对比实验发现,提出算法均比C-PALM,Full-rank,L1-MIN以及DUET等方法性能优越,这表明卷积窄带近似模型比瞬时窄带近似模型更适合于高混响的场景,同时,ADMM优化框架可取得更接近原优化问题的最优解。随着近几年深度学习的发展和应用,在未来工作中,我们将研究如何将深度学习应用到声源分离中,并将其与基于信号处理的经典算法进行比较。