基于SimMechanics 二代的6-DOF 并联平台参数化动力学建模方法

魏林霄， 贾乾忠， 魏春雨

（沈阳建筑大学 机械工程学院， 辽宁 沈阳 110168）

0 引言

6-DOF 并联平台是一种典型的并联机构，应用十分广泛，如运动模拟器[1-3]、空间对接机构[4，5]、隔振平台[6，7]等。针对6-DOF 并联平台的各种基础理论研究已经相当深入，尤其是在动力学建模与仿真方面，更为突出。 北京航空航天大学侯立果等设计了一种基于6-PUS 并联机构的多维力加载装置，建立了加载装置的动力学模型，并且通过对比ADAMS 和MATLAB 模型的仿真结果， 验证了动力学模型的正确性[8]。 燕山大学李永泉等围绕6-DOF Stewart 并联平台的多能域动力学建模展开研究，给定平台末端轨迹，对比Matlab 理论计算、ADAMS 软件仿真以及实验实测驱动力结果，验证了Stewart 平台机构本体旋量键合图模型的正确性[9]。 华北电力大学邢迪雄等对一种新颖的6－PSS 并联机构应用ADAMS 软件进行了刚柔耦合动力学建模以及仿真分析[10]。这些研究所采用的建模方法几乎都用到了三维软件建模、ADAMS 与MATLAB 的仿真分析。 除了6-DOF 之外的其他并联平台的建模与仿真方法，也与此基本一致，比如谢志江等进行的3-PPR 并联机构动力学建模与分析[11]；张浩强进行的4-RRR 冗余并联机构的动力学分析[12]；梁超等进行的3-RPS 并联机器人动力学分析及控制[13]以及张国英等进行的3-DOF 类球面并联机构的动力学建模及分析[14]。

上述研究所采用的建模及仿真方法都实现了预期目的，但是缺点也是显而易见的。 比如，6-DOF 并联机构中动静平台尺寸以及铰点位置发生了变化， 重新进行建模时会经过再次返回三维软件修改而后再导入到ADAMS中去等复杂过程， 如果需要再与MATLAB 进行机构与控制的联合仿真时则更为繁琐。 为解决这一问题，本文提出了一种基于SimMechanics 二代的并联机构参数化建模方法，可以快速生成用户指定参数的模型，同时与Simulink处于同一环境下，为与控制的联合仿真带来了极大便利。

1 6-DOF 并联平台零部件参数化方程

1.1 零部件建模思想

在SimMechanics 第二代开发环境下， 各零件需要根据结构形式指定生成方式，如拉伸、旋转等，尺寸可以直接指定也可以给定变量。

基于SimMechanics 第二代进行建模的最大优点在于，所有零部件的结构尺寸参数等均可通过变量定义，结构形式可由带有这些变量的参数方程定义， 从而实现整个机构模型的参数化建模。

1.2 零部件建模的参数化方程

本文以6-SPS 构型作为参数化建模的研究对象。 静平台主体结构为圆环板，铰链为球铰，结构尺寸参数均设置为变量。 目标模型如图1 所示。

该静平台部件包括主体结构的圆环板、 球铰底座和球铰柱。应分别予以参数化建模，然后通过设定接合点坐标系完成固接。 主体圆环板可以通过旋转矩形截面来成形， 即采用旋转法给定截面四点坐标。 但该方法成形单一，对于诸如连杆等复杂形状的零件不具有可移植性。因此，本文采用拉伸法，构造可移植的参数化方程。 将圆环视为左右两个半圆环拼接而成，如图2 所示，然后用参数方程分别描述每个半圆环的逆时针轨迹。 方程如下：

图1 静平台的目标模型简图

图2 两半圆环的逆时针轨迹

式中：α、β、θ 和γ 分别为按照步长从初值递增或递减到终值的角度矩阵，T—矩阵转置符号（下同）；G1～G4—图2 中所示的两半圆的逆时针轨迹坐标；Gb—合成的圆环板的拉伸截面参数方程。

球铰底座拉伸截面为矩形， 参数为长Lz和宽Wz，如图1 所示。 球铰柱只能采用旋转生产法，如图3 所示，则其旋转截面的参数方程为：

图3 球铰柱旋转截面的逆时针轨迹

式中：ψ—角度矩阵；Z1～Z4—图3 中所示的拐点坐标矩阵和弧逆时针轨迹坐标矩阵；Rs—图1 和图3 中所示的内球面半径；Zc—合成的旋转截面参数方程。

本文为减少过多的参数变量， 将球铰柱和球铰底座的结构参数建立线性关系：

式中：Dc—图1 中所示的球铰柱底面直径；Tc—球铰柱高；Tz—球铰底座高。

粉碎：液体饲料加工工艺有粉碎和磨浆之分。建议玉米粉碎粒度小于0.8 mm，碳酸钙99.9通过200目筛(Φ0.074 mm)，97.5通过325目(Φ0.043 mm)，95.5通过400目(Φ0.038 mm)。

圆环板、球铰底座和球铰柱三者之间的定位，需求出设计接合处点的坐标，用以建立接合点局部坐标系。该坐标系原点坐标即为接合点位置， 坐标轴方向决定二者之间姿态关系。 根据图3 给出的几何关系，可分别确定。

双击静平台模型模块后弹出变量参数设置对话框，用户设定具体参数。本文设定参数如表1 所示。其中ρ 为静平台材料密度。 运行后得到的模型如图4 所示。

表1 静平台结构参数

图4 静平台参数化模型

动平台也包含主体结构的圆环板、球铰底座和球铰柱，同样采用与前述类似的方法，可得到预期的动平台模型。

1.2.2 油缸筒、活塞杆的参数化方程

油缸筒和活塞杆的目标模型如简图5 所示， 以油缸筒为例说明所采用的参数化建模方法。将其分解为球头、连接杆和缸筒三部分，如图5 中的1～3。 球头1 可以直接建立球体模型，变量参数为半径Rcs；连接杆2 为一带有弧面的回转体模型，需要建立弧面部分的参数方程，进而连同右端两拐点的坐标形成整个回转截面的参数方程，具体过程同图3 零件建模过程类似，不再赘述。缸筒3 也用回转法建模，其截面的参数方程为由A～H 点坐标构成的逆时针轨迹坐标组。

图5 油缸筒和活塞杆的目标模型简图

活塞杆几何特征与油缸筒类似，建模方法相同。

2 6-DOF 并联平台装配方法

在各零部件参数化建模后，需要进行整体装配。本文提出的建模方法在总体装配时有三个关键点：

第一， 静平台球铰柱内球面与油缸筒球头面为球铰副， 建模时与球铰副相连的球铰柱内球面一侧接合坐标系必须位于内球面球心； 与球铰副相连的油缸筒球头一侧输出坐标系必须位于球头球心。 动平台球铰柱内球面与活塞杆球头面之间的装配要求与此相同。

第二，油缸筒模型与活塞杆模型之间为圆柱副。该副要求与之相连的两零部件接合坐标系的z 轴都必须为两者相对移动方向。

第三，6-DOF 并联平台属于开链结构，其末端的动平台在装配之后的初始位姿完全依赖于具有配合关系的两零部件之间的初始相对位置， 对于大多数运动副而言可直接设置初始值， 但是由于球铰可使两零部件空间任意方向相对转动，故无法给定在变参数情况下的初始值。因此如何建立动平台初始位姿是一个难点。这与采用“三维软件建模定型然后导入到分析软件中” 的传统研究方法完全不同。对此，本文提出了一种专门针对此种情况的初始位姿形成方法，即通过SimMechanics 二代环境下的“6-DOF joint”运动副将开链结构转为闭链结构，从而直接在该副中设置动平台相对静平台的初始相对位置。由于该副使两零部件之间存在6 个自由度，因而不增加新的约束。

静、 动平台和油缸缸筒、 活塞杆的参数如表1～3 所示， 其中表2 变量名与表1 大小写不同时表示具有相同涵义，仅用以区分归属于静、动平台。 在用户指定对话框中输入后，运行结果如图6 所示。

表2 动平台结构参数

表3 油缸缸筒和活塞杆结构参数

3 数字液压缸模型

针对图6 给出的6-DOF 并联平台整机模型，需要给执行部件添加动力。本文建立了“数字液压缸”模型，以油缸行程为控制目标，通过测量活塞杆相对油缸筒的实时位移和速度，作为反馈控制量， 构造PID 控制器，形成控制力，在油缸筒与活塞杆之间的圆柱副上输入该力。所建立的模型框图如图7 所示。

图6 6-DOF 并联平台整机模型

图7 数字液压缸PID 控制模型

框图中左侧中间的 “正弦波和常量通过加运算和乘积运算”构造成油缸的目标位移量，其与实际位移反馈量的偏差作为控制器“PI”的输入。速度反馈量经转换后作为控制器“D”的输入。 三者求和后同样需要将数据类型通过“Simulink-PS”转换器再次转换回动力学数据类型，形成油缸控制力，通过圆柱副输入端的“力输入”端口输入。

4 运动仿真

针对两种典型情况进行运动仿真测试。

4.1 六支油缸具有相同的运动规律

给定油缸活塞杆行程位移随时间的变化规律为：

运行后， 动平台在三个方向上的移动位移曲线如图8所示。 从图中可以看出，动平台仅在垂直方向即Z 轴方向上做一定规律的运动，另外两个方向位移均为零，与实际相符。Z 轴方向的位移在初始时刻的震荡是由于给定的目标位移与初始的零位移差值较大， 产生一个阶跃输入，在PID 控制器的作用下会出现一定的震荡现象，而后逐渐稳定。 此外，绕三个坐标轴的旋转角度都为零，曲线图不再给出。

4.2 六支油缸运动规律交叉相同

六支油缸运动规律交叉相同， 即第1、3、5 支相同，第2、4、6 支相同，两组间不同。 给定两组的运动规律为：

运行后，动平台边绕Z 轴旋转边沿Z 轴做直线运动，这是六支油缸交叉运动规律相同产生的必然结果， 与实际相符。 动平台沿着三个坐标轴的位移曲线和绕着三个坐标轴的角位移曲线分别如图9、10 所示。

图8 第一种情况下动平台沿三个坐标轴的位移曲线

图9 第二种情况下动平台沿三个坐标轴的位移曲线

图10 第二种情况下动平台绕三个坐标轴的角位移曲线

5 结论

本文基于SimMechanics 第二代提出了一种针对6-DOF 并联平台的参数化建模方法，以6-SPS 构型为例，给出了各关键零部件建模的参数化方程以及装配整机的方法和关键点，建立了动力部件的数字液压缸模型，并进行了运动仿真测试，结果表明，本文给出的参数化建模方法正确， 对于其他并联平台甚至其他机构的机械与控制的参数化、一体化建模具有重要参考意义。