概念印象与线性代数教学

周建华， 吴 霞， 卢 伟

(东南大学 数学学院， 南京211189)

1 引 言

网络技术的进步，使得在线教学成了大家关注的重点.但是，提高课程的教学效果不能只依赖教学形式和教学手段的丰富和改进，还需要更深入地理解课程内容的特点和学生的学习规律，更科学地设计教学.

与其它公共数学课程相比，线性代数中会出现更多的抽象概念和定理，而对概念正确、有效的理解对学好线性代数极其重要.针对教学过程中的种种现象，常会自问：

(i) 怎样判断学生对教学内容的理解？

(ii) 哪些因素会影响学生的理解？

(iii) 怎样促进学生的理解？

本文将利用[1]在分析人们对数学概念的认知过程时提出的“概念定义”和“概念印象”，介绍笔者对上述问题的一些思考和在教学过程中的一些尝试.

2 做好教学设计，促进学生对课程内容的理解

2.1 体现“理解”的标志

判断学生对概念是否理解的一个重要依据是他做题的情况.但是，如果结论只是“是”或“否”的话就太笼统了，因为“理解”有不同的层次.举个例子：在讲到线性相关性时，经常会遇到类似下面的情况：

问题已知向量组α1，α2，α3线性无关，证明α1+α2，α2+α3，α1+α3也线性无关.

学生的证明因为α1，α2，α3线性无关，所以，存在全为零的数k1，k2，k3使得

k1α1+k2α2+k3α3=0，

(1)

因为k1，k2，k3都等于零，所以

k3α1+k1α2+k2α3=0，

(2)

(1)+(2)得

(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0，

(3)

将(3)整理，得

k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α1+α3)=0，

(4)

因为k1，k2，k3全为零，由(4)，α1+α2，α2+α3，α1+α3也线性无关.

有类似问题的学生不是个别的.[2]形容学生在遇到类似的概念时，“犹如坠入了云里雾里，不知身在何处，更不知要去何方.”

上述过程显示学生犯了逻辑错误的同时，还表明他没有真正理解线性相关性的概念，他只是试图按定义的表述方式给出形式化的证明.按照[1，3]的说法，他对线性相关性概念没有建立起足够的“概念印象”.

尽管不同国家数学教学的环境不同，课程的设置方式和要求也有差异，但[2-3]的一些观点对我们仍然具有借鉴的价值.

在刻画认知结构时，[1]用到了概念定义和概念印象两个术语.概念定义指对概念非循环方式的准确描述.通常地，在初中及初中之前的数学概念的定义都是非正式的，正式的定义从高中才开始出现.这里所称的概念印象不一定是指视觉意义上的图形，而是指对概念的心里层面印象的总和.并不是所有概念印象都是“好”的.比如，讲到等腰三角形，人们就会想到两腰之夹角的角平分线既是三角形的高，也是中线；谈到函数，有人就会认为凡函数都有代数表示式.这都属概念印象.概念定义和概念印象完全是两码事.在幼时，依靠 “直觉定义”.像 “白云”，“花朵”，“衣服”等是不需要给出文字形式的定义的，但对此却有概念印象.有些概念的定义需采用文字形式，如“森林”可以用“许许多多树在一起就成森林”来引入.这样的定义假定在我们的视觉印象中有很多很多树在一起，具有概念印象.

在线性代数中，所有概念都是用文字形式给出的，相应的概念印象则随学习过程逐渐建立起来.然而，[1]指出，在用到概念时，人们需要的是概念印象，而不是概念定义，概念定义是不活跃的，且容易被忘掉.在思维活动中，概念印象则总要被唤醒.因此，在学习数学时，死记硬背概念的定义没有意义，对理解概念，形成丰富有效的概念印象才是最重要的.

解决问题的能力当然是判断学生掌握所学知识的重要方面，拥有有效的概念印象则是衡量学生理解的标志.是否拥有好的概念印象可以从学生具备的能力上体现出来[3].

(i) 回忆而不仅是记住概念的能力

死记硬背概念的学生学习数学总会有很大的困难，但常常会遇到这样的学生.他们非常努力地想要一字不差地背下概念的定义，但他们的记忆只能保持到期末考试结束.

曾向学生提出过这样的问题：若向量组α1，α2，α3和β1，β2，β3都线性无关，问：α1+β1，α2+β2，α3+β3是否也一定线性无关？

一些学生会这样尝试：设

k1(α1+β1)+k2(α2+β2)+k3(α3+β3)=0，

试探着能否推出组合系数k1，k2，k3都等于零.另一些学生会这样考虑：若

β1=-α1，β2=-α2，β3=-α3，

则α1+β1，α2+β2，α3+β3中的向量都是零向量，而含有零向量的向量组必定线性相关.

显然，前一类学生只是试图逐字逐句地利用概念的定义来回答问题，后一类学生则建立了有效的概念印象，一遇到这个问题，就记起了与概念相关的刻画，运用相应的命题找到了问题的答案.

(ii) 用自己的语言交流的能力

上面的这个例子也显示了表征理解的另一个重要标识：用自己的方式表达概念的能力.只靠死记硬背的学生，在处理问题时，思维被束缚在概念定义的形式上，只能逐字逐句地按照定义，形式地解决问题.拥有丰富概念印象的学生则不然，遇到与概念相关的问题时，只要瞥一下这个概念的名称，他就会将与此有关的各种知识联系起来，他的经验就会起作用.他可以根据自己的理解，用自己的表达方式与人交流，而不必强迫自己从概念的原始定义出发，形式化地表达自己的想法.

(iii) 一般化思维的能力

所有的数学概念都是用一般性的术语定义的，但是，学生未必能用一般性的术语来思考.

还是以线性相关性为例.在大多数情形，学生从语义上理解其定义并没有多大困难.课堂上，在给出定义后，老师都会给出一些具体的行(或列)向量组，判断其线性相关性.对学生来说，这没什么困难.学生也知道，要判断一个具体的向量组的线性相关性，可以把问题化成一个齐次线性方程组，然后用Gauss消元法得出结论.但是，如果讨论的向量组不是“具体的”，而是“抽象的”，许多学生就会感到困难.上文提到的那两个例子就是例证.

(iv) 建立不同主题之间联系的能力

不同主题之间错综复杂的联系是线性代数区别于其它数学课程的重要特征.还是以线性相关性为例.线性相关性概念贯穿于整个课程之中，它与行列式、线性方程组、矩阵、特征值和特征向量、线性变换、内积等都密切相关.曾经有人说过，线性代数可以从任意一个主题出发建立整个理论体系.也许正因为这个原因，我们才能够看到各种不同体系、不同设计的线性代数教材.多视角的特点既是线性代数吸引人的地方，也是学生感到困难的原因.事实上，不会建立不同主题之间的联系，构建有效的概念印象根本无从谈起.

2.2 影响“理解”的因素

(i) 背景因素

知识背景是建立丰富概念印象的重要基础.微积分是与线性代数同时开设的另一门重要的数学课.不难发现在这方面这两门课有明显的不同.

在学生眼里，微积分是高中数学的自然延续.在中学，他们学习实数和实数的函数.微积分的讨论对象基本没变.并且，令人印象深刻的是，运用微积分可以解决他们熟悉的，但原先无法解决的问题，比如，不规则图形的面积、动力学问题等等.相较而言，线性代数与中学数学的联系要少.尽管中学似乎也涉及诸如线性方程组、解析几何、内积等，但中学数学与线性代数内容的联系是表面的.例如，谈及线性方程组时，中学里只涉及2×2，至多3×3的方程组，并只关心它们的求解，不考虑这些方程组的表示、解的存在性和唯一性，更不涉及矩阵代数、行列式等.美国曾有人对数学教育专业的研究生做过调查，他们中13%的人认为微积分于其职业没有什么用处，而对线性代数，这一比例高达45%.数据从一个侧面反映了微积分与线性代数的中学数学背景的差异.

另一方面，在中学数学，具有一般意义的证明仅仅出现在几何.在中学生的印象中，几何是需要证明的，但算术和代数则不需要.而且，与以往相比，几何也已被严重削弱.高考对几何证明的要求也差不多只剩下立体几何中的三垂线定理了，平面几何已不作要求.因此，相对于“计算”，学生对“证明”显得生疏.同时，微积分中定理的数量也很有限，而线性代数则需要很多的定理和定理的证明.

从上述比较可以看出，与微积分相比，线性代数与中学数学的联系要少很多.这也许就是在大学数学中微积分容易引起学生兴趣，而线性代数却不受待见的重要原因.

(ii) 课时因素

皮亚杰曾说过，一个概念在达到最后的平衡时看起来很简单，但它的起源要复杂得多.由于线性代数课程的上述特点，对于大多数学生来说，构建有效的概念印象需要经历一个较长时间的过程.因此，在线性代数中建立有效的概念印象需要老师和学生付出更大的努力，花费更多的时间.然而，线性代数是一门课时少、周期短的课程.在一些场合，甚至被当作速成的课程开设.

有的教材和课堂教学对课程中的一些细节采用了“实用化”的“省时”策略，一些问题被模糊了.有时，这会产生混乱.下面是一个典型的例子：多数教材都称，1×1的矩阵可以等同于数，因此，对矩阵A=(1，2)T，B=(4，-1)，利用乘法结合律可得

(AB)n=(AB)(AB)…(AB)=A(BA)(BA)…(BA)B=A(BA)n-1B=A·2n-1·B=2n-1AB，

最后一个等号是因为用数左乘一个矩阵与右乘一个矩阵是等效的.这里，至少有两点是模糊的：①用数右乘矩阵有没有定义(实际上也没有必要给出这个定义)？②如果把1×1的矩阵与数等同看待，1×1矩阵2n-1又如何与2×2矩阵AB相乘呢？

(iii) 维度因素

在微积分，从一元函数到多元函数的讨论是一个非常耐心、谨慎的过程.先讨论二元函数f∶2→、三元函数f∶3→，然后再过渡到对一般的n元函数f∶n→的讨论.而且，n元函数还只是略提一下，更一般的函数f∶m→n则鲜有要求.

作为线性代数讨论的主要对象，向量和矩阵实际上是多变元的，而且，在许多场合，必须把向量和矩阵作为整体，而不是按其分量来处置.然而，尽管学生在课程之前没有接触过高维空间，在课程中，却没有时间和耐心，完成从低维空间到高维空间的过渡.在一些线性代数课程中，还要讨论抽象的向量，这对学生来说，难度就更大了.

线性代数没有为学生做足够的铺垫，一些过程的缺失会带来明显的后果.比如，在通过对增广矩阵作初等变换求解线性方程组时，总有一些学生会纠结于能否作初等列变换.一些并不是实质性的问题常常会成为一些学生学习进程的障碍.

学生空间想象能力的训练，以及从低维的数组向量到一般的n维向量，再到抽象的向量的过渡，也是影响学生建立概念印象的因素.

2.3 促进“理解”的措施

概念印象的丰富和优化应该贯穿于课程教学的各个环节.

(i) 教材的设计

不同的线性代数教材往往从一些特定的角度助力读者概念印象的构建.虽然不同的学生需要的教材不尽相同，但对大多数学生而言，教材不应象科研著作，不能只是简洁地按逻辑呈现材料.教材需要与学生分享隐藏在概念定义背后的思想过程、定理的智力需求和定理证明的动机.教材也不应该是大量概念、定理的堆砌，如果不帮助学生分析定理和定理的证明，只是致力于让学生弄懂那些对解题有用的定理的结论，其结果往往会导致学生只懂得在解题时找定理、用定理，无助于形成对理论整体的认知.用一句俗话说，这会使得学生“只顾埋头拉车，不知道抬头看路”， 或者“只见树木，不见森林”，在一定程度上妨碍学生的学习.

教材不仅要让学生知道有哪些定理以及这些定理有哪些用处，还应通过那些定理以及定理的证明，让学生意识到，线性代数实际上是在统一的思想下，围绕诸如线性方程组、线性相关性、线性变换等少数几个中心议题展开的，相关的讨论都可转化为对矩阵之间等价、相似、合同等关系的讨论，矩阵之间的这些关系的刻画又可以用相应的标准形，以及相应变换的不变量表达.所有这一切的根本思路只有两个字：化简！

(ii) 教学的设计

要像关注学生知识基础一样关注学生学习经验的积累.人们往往非常关注学生已有的知识是否满足课程内容的逻辑需求，而不太考虑学生是否具备学习课程知识的经验.实际上，既有知识和经验对构建概念印象都是不可或缺的.比如，中学数学大都只涉及数值计算，用符号表达的运算、推理较少，所以，在处理矩阵问题时，基于对其元素作数值计算进行的讨论往往容易为学生掌握，但把矩阵作为整体的符号操作常让学生感到困难.因此，课堂教学应该由易到难，由简到繁，让学生渐渐积累这方面经验.符号操作是学会一般化思考重要的一环，也是在学习抽象的代数概念时构建概念印象的重要背景.

让学生参与概念的建立.学生只有理解构造概念背后的理由以及论证的正当性，才不至于只知道背诵定义及算法.例如，一般地，齐次线性方程组有无穷多个解，但它们可以用有限多个解表达，因而要建立向量空间及基的概念.将向量空间概念更一般化，就可得到用公理化方式定义的线性空间.

培养学生的直觉，并帮助学生建立其直觉与解析表达之间的联系，学会用数学语言表达直觉.例如，这样证明矩阵乘积的结合律：对A=(aij)s×m，B=(bij)m×n，和列向量x=(x1，x2，…，xn)T，由观察可知，如果将B用列向量表示成B=(b1，b2，…，bn)，则

AB=(Ab1，Ab2，…，Abn)，Bx=x1b1+x2b2+…+xnbn，

因此，对任意列向量x，

(AB)x=(Ab1，Ab2，…，Abn)x=x1Ab1+x2Ab2+…+xnAbn，

而

A(Bx)=A(x1b1+x2b2+…+xnbn)=x1Ab1+x2Ab2+…+xnAbn.

因此，对列向量x，有结合律(AB)x=A(Bx).这时，自然就会猜测，对任意C=(cij)n×t，(AB)C=A(BC)应该也成立.其实，这时其证明也水到渠成了：

(AB)C=(AB)(c1，c2，…，ct)=((AB)c1，(AB)c2，…，(AB)ct)
=(A(Bc1)，A(Bc2)，…，A(Bct))=A(Bc1，Bc2，…，Bct)=A(BC).

鼓励学生学会理解证明，而不仅是理解证明的每个步骤.读懂证明是建立不同主题间联系、构建概念印象非常有效的途径.但是，对不少学生来说，理解证明极具挑战性，教师的作用不可少.比如，证明 “若A是实对称矩阵，则存在实对称矩阵B，使得B3=A”.由于每个实对称矩阵都正交相似于实对角阵，且很容易将一个实对角阵写成另一个实对角阵的立方.这里，最重要的是“化简”.其实，“化简”是解决任何问题最基本的策略.线性代数很大的篇幅都是在介绍为什么要将对象化简，化简的办法，以及如何通过化简解决问题.

合理分配学时.与其它数学课程相比，线性代数有更多概念、定理，理解概念是学好线性代数最重要的一环，而理解概念的关键是要建立有效的概念印象，概念印象的建立则是一个复杂的精神活动过程，需要一定的时间周期，不是简单的逻辑推理表演，更不能速成.

(iii) 习题的设置

习题的设置应该配合各层面概念印象的构建.习题可以为推出新的概念或给出困难定理的证明做些铺陈；一些简短而结果又出乎意料的证明题，可以激发学生对于“证明”的兴趣；涉及不同概念的习题可以使学生有更多将不同主题联系起来的机会；许多问题可以用各种标准形(等价、相似、合同变换下的标准形)得到解决，这方面的习题有助于增强从整体上理解线性代数理论的意识.

(iv) 实践活动

实践活动也有助于概念印象的建立.课程中的应用案例、数学建模元素、利用计算机的辅助教学、分小组讨论、学生演讲、撰写小论文等丰富了教学形式.毫无疑问，这些活动都能起到丰富概念印象的效果，只要条件允许，都值得提倡.

3 结 论

教学是一种认识活动，也是一个精神交流过程.充分理解教学内容的特点，了解学生的认知规律，是提高教学效果的基本前提.“以学生为中心的教学”不应只是形式上的，还应落实到教学方案、教学过程的具体设计.笔者在[4-5]曾做过探讨，[1]的分析方法则使我们从新的角度进行了思考.以上是我们在实践过程中一点粗浅的认识和体会.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.