包含广义Euler函数φ2(m)的一方程的正整数解

张四保，姜莲霞

(喀什大学 数学与统计学院， 新疆 喀什 844008)

0 引言

Euler函数φ(m)是数论中的一个极为重要的函数，对于Euler函数φ(m)的性质以及包含Euler函数φ(m)的方程是内容极为丰富的研究课题，其有着大量的研究成果。文献[1]讨论了方程φ(n)=2ω(n)3ω(n)5ω(n)的可解性，给出了其正整数解的情况；文献[2]讨论了方程φ[φ(x)]=2t的可解性；文献[3]讨论了方程φ(m)=2Ω(m)+ω(m)3Ω(m)+ω(m)与φ(m)=2Ω(m)-ω(m)3Ω(m)-ω(m)的可解性，给出这两个方程的正整数解的情况；文献[4]利用初等方法给出方程φ[φ(n)]=2Ω(n)的所有正整数解；文献[5]基于整数的分解给出了方程φ(n)=2Ω(n)3Ω(n)的正整数解；文献[6]给出了方程φ{φ[φ(n)]}=2ω(n)的所有正整数解。

为将Lehmer同余式的模从素数的平方推广到任意正整数的平方，CAI等[7]引入了广义Euler函数φe(n)，其中e为正整数。对于包含广义Euler函数φe(n)的方程的可解性问题也有着丰富的研究内容。文献[8]讨论了方程φe(n)=2tω(n)的可解性，给出了其部分正整数解，其中e=2,3,4,6；文献[9]讨论了方程φ2(n)=2ω(n)与方程φ2[φ2(n)]=2ω(n)的可解性，获得了这2个方程的所有正整数解；文献[10]利用初等方法及广义Euler函数φ2(m)的性质给出了方程φ2(m)=2ω(m)3ω(m)的一切正整数解。笔者将利用函数φ2(m)的性质以及分类分段的讨论方式来讨论方程式(1)的可解性问题，给出该方程的正整数解的情况。

φ2(m)=2ω(m)3Ω(m)，

(1)

式中函数Ω(m)均为正整数m的质因子个数函数，函数ω(m)均为正整数m的互异质因子个数函数。

1 主要结论及其证明

定理1方程式(1)有正整数解m=13, 91, 95, 111, 146, 436, 665, 741, 777, 962, 1 022, 1 090, 1 304, 2 812, 3 052, 3 260, 5 187, 6 734, 7 030, 7 630, 8 322, 8 502, 9 128, 11 688, 19 684, 22 820, 24 852,25 428,29 220, 49 210, 62 130, 63 570, 74 328, 81 816, 177 996, 185 820, 204 540, 520 296, 434 910, 1 300 740, 3α×37, 3α×247, 3α×259, 3α×1 729, 3α×2 834, 3α×3 896, 3α×8 284, 3α×8 476, 3α×9 740, 3α×19 418, 3α×19 838, 3α×20 710, 3α×21 190, 3α×24 776, 3α×27 272, 3α×59 332, 3α×61 940, 3α×68 180, 3α×144 970, 3α×173 432, 3α×433 580,其中α≥2,为整数。证明显然m=1,2不是方程式(1)的正整数解，则m≥3，可分m为单数与m为双数的情况进行讨论。

情况1当m为单数，此时设m=q1α1q2a2…qtαt≥3是m的标准分解式，其中q1

(2)

即有

q1α1-1(q1-1)q2α2-1(q2-1)…qtαt-1(qt-1)=2t+1×3α1+α2+…+αt。

(3)

在式(3)的右端只有唯一的单因数3，则指数α1,α2,…,αt中只能有1个可以满足αi≥2，1≤i≤t。因q1

(q1-1)(q2-1)…(qt-1)=2t+1×3t，

(4)

而当t≥2，且α=α1≥2时，由式(3)有

(q2-1)…(qt-1)=2t×3t。

(5)

① 当t=1时，有：

当α1=1时，由式(4)有q1-1=22×3，则q1=13，因而此时m=13是方程(1)的1个解。当α1≥2时，由式(3)有q1α1-1(q1-1)=22×3α1，此时无单质数解。

② 当t=2时,有：

当α1=α2=1时，由式(4)有(q1-1)(q2-1)=23×32，因而有q1=3，q2=37或q1=5，q2=19或q1=7，q2=13，因而此时方程(1)有3个解m=3×37=111，m=5×19=95，m=7×13=91。

当α=α1≥2时，由式(5)有q2-1=22×32，则q2=22×32+1=37，则此时方程(1)有解m=3α×37，其中α≥2为整数。

③ 当t=3时,有：当α1=α2=α3=1时，由式(4)有(q1-1)(q2-1)(q3-1)=24×33，因而有q1=3，q2=7，q3=37或q1=3，q2=13，q3=19或q1=5，q2=7，q3=19,因而此时方程(1)有3个解m=3×7×37=777，m=3×13×19=741，m=5×7×19=665。

当α=α1≥2时，由式(5)有(q2-1)(q3-1)=23×33，则有q2=7，q3=37或q2=13，q3=19，因而此时方程(1)有2个解m=3α×7×37=3α×259，m=3α×13×19=3α×247，其中α≥2为整数。

④ 当t=4时,有：

当α1=α2=α3=α4=1时，由式(4)有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)=25×34，因而有q1=3，q2=7，q3=13，q4=19，因而此时方程(1)有解m=3×7×13×19=5 187。

当α=α1≥2时，由式(5)有(q2-1)(q3-1)(q4-1)=24×34，则有q2=7，q3=13，q4=19，因而此时方程(1)有解m=3α×7×13×19=3α×1 729，其中α≥2为整数。

⑤ 当t≥5时,有：

情况2当m为双数，此时设m=2βq1α1q2a2…qtαt>3是m的标准分解式，其中q1

(6)

即有2β-1q1α1-1(q1-1)q2α2-1(q2-1)…qtαt-1(qt-1)=2t+2×3β+α1+α2+…+αt。同m为单数时的讨论可知，只可能有α=α1≥2，而αj=1;j=2,3,…,t，并且此时有q1=3。因而当α1=α2=…=αt=1时，有

(q1-1)(q2-1)…(qt-1)=2t+3-β×3β+t，

(7)

而当t≥2，且α=α1≥2时，则有

(q2-1)…(qt-1)=2t+2-β×3β+t。

(8)

① 当t=1时，有：

当α1=1时，由式(7)有q1-1=24-β×3β+1。当β=1时，有q1-1=23×32，则q1=73，则此时方程(1)有解m=2×73=146；当β=2时，有q1-1=22×33，则q1=109，则此时方程(1)有解m=22×109=436；当β=3时，有q1-1=2×34，则q1=163，则此时方程(1)有解m=23×163=1 304；当β≥4时，方程(1)无解。当α=α1≥2时，有2β×3α-1=23×3β+α，不可能，故此时方程(1)无解。

② 当t=2时,有：

当α1=α2=1时，由式(7)有(q1-1)(q2-1)=25-β×3β+2。当β=1时，有(q1-1)(q2-1)=24×33，则q1=5，q2=109或q1=7，q2=73或q1=13，q2=37，则此时方程(1)有3个解m=2×5×109=1 090，m=2×7×73=1 022，m=2×13×37=962；当β=2时，有(q1-1)(q2-1)=23×34，则q1=5，q2=163或q1=7，q2=109或q1=19，q2=37，则此时方程(1)有3个解m=22×5×163=3 260，m=22×7×109=3 052，m=22×19×37=2 812；当β=3时，有(q1-1)(q2-1)=22×35，则q1=3，q2=487或q1=7，q2=163，则此时方程(1)有2个解m=23×3×487=11 688，m=23×7×163=9 128；当β≥4时，方程(1)无解。

当α=α1≥2时，由式(8)有q2-1=24-β×3β+2，则当β=1时，有q2=217非质数，此时方程(1)无解；当β=2，有q2=325非质数，此时方程(1)无解；当β=3，有q2=487，此时方程(1)有解m=23×3α×487=3α×3 896，其中α≥2为整数；当β≥4时，方程(1)无解。

③ 当t=3时，有：

当α1=α2=α3=1时，由式(7)有(q1-1)(q2-1)(q3-1)=26-β×3β+3。当β=1时，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)=25×34，则q1=3，q2=13，q3=109或q1=3，q2=19，q3=73或q1=5，q2=7，q3=109或q1=5，q2=19，q3=37或q1=7，q2=13，q3=37，则此时方程(1)有5个解m=2×3×13×109=8 502，m=2×3×19×73=8 322，m=2×5×7×109=7 630，m=2×5×19×37=7 030，m=2×7×13×37=6 734；当β=2时，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)=24×35，则q1=3，q2=5，q3=487或q1=3，q2=13，q3=163或q1=3，q2=19，q3=109或q1=5，q2=7，q3=163或q1=7，q2=19，q3=37，则此时方程(1)有5个解m=22×3×5×487=29 220，m=22×3×13×163=25 428，m=22×3×19×109=24 852，m=22×5×7×163=22 820，m=22×7×19×37=19 684；当β=3时，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)=23×36，则q1=3，q2=7，q3=487或q1=3，q2=19，q3=163，则此时方程(1)有2个解m=23×3×7×487=81 816，m=23×3×19×163=74 328；当β≥4时，方程(1)无解。

当α=α1≥2时，由式(8)有(q2-1)(q3-1)=25-β×3β+3，则当β=1时，有q2=13，q3=109，此时方程(1)有解m=2×3α×13×109=3α×2 834，其中α≥2为整数；当β=2时，有q2=5，q3=487或q2=13，q3=163或q2=19，q3=109，此时方程(1)有3个解m=22×3α×5×487=3α×9 740，m=22×3α×13×163=3α×8 476，m=22×3α×19×109=3α×8 284，其中α≥2为整数；当β=3时，有q2=7，q3=487或q2=19，q3=163，此时方程(1)有2个解m=23×3α×7×487=3α×27 272，m=23×3α×19×163=3α×24 776，其中α≥2为整数；当β≥4时，方程(1)无解。

④ 当t=4时，有：

当α1=α2=α3=α4=1时，由式(7)有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)=27-β×3β+4。当β=1时，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)=26×35，则q1=3，q2=5，q3=13，q4=163或q1=3，q2=5，q3=19，q4=109或q1=5，q2=7，q3=19，q4=37，则此时方程(1)有3个解m=2×3×5×13×163=63 570，m=2×3×5×19×109=62 130，m=2×5×7×19×37=49 210；当β=2时，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)=25×36，则q1=3，q2=5，q3=7，q4=487或q1=3，q2=5，q3=19，q4=163或q1=3，q2=7，q3=13，q4=163，则此时方程(1)有3个解m=22×3×5×7×487=204 540，m=22×3×5×19×163=185 820，m=22×3×7×13×163=177 996；当β=3时，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)=24×37，则q1=3，q2=7，q3=19，q4=163，方程(1)有1个解m=23×3×7×19×163=520 296；当β≥4时，方程(1)无解。

当α=α1≥2时，由式(8)有(q2-1)(q3-1)(q4-1)=26-β×3β+4，则当β=1时，有q2=5，q3=13，q4=163或q2=5，q3=19，q4=109或q2=7，q3=13，q4=109或q2=7，q3=19，q4=73，此时方程(1)有4个解m=2×3α×5×13×163=3α×21 190，m=2×3α×5×19×109=3α×20 710，m=2×3α×7×13×109=3α×19 838，m=2×3α×7×19×73=3α×19 418，其中α≥2为整数；当β=2时，有q2=5，q3=7，q4=487或q2=5，q3=19，q4=163或q2=7，q3=13，q4=163，此时方程(1)有3个解m=22×3α×5×7×487=3α×68 180，m=22×3α×5×19×163=3α×61 940，m=22×3α×7×13×163=3α×59 332，其中α≥2为整数；当β=3时，有q2=7，q3=19，q4=163，此时方程(1)有解m=23×3α×7×19×163=3α×173 432，其中α≥2为整数；当β≥4时，方程(1)无解。

⑤ 当t=5时，有：

当α1=α2=α3=α4=α5=1时，由式(7)有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)(q5-1)=28-β×3β+5。当β=1时，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)(q5-1)=27×36，则q1=3，q2=5，q3=7，q4=19，q5=109，则此时方程(1)有解m=2×3×5×7×19×109=434 910；当β=2时，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)(q5-1)=26×37，则q1=3，q2=5，q3=7，q4=19，q5=163，则此时方程(1)有解m=22×3×5×7×19×163=1 300 740；当β=3时，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)(q5-1)=25×38无互异的单质数解，则此时方程(1)无解；当β≥4时，方程(1)无解。

当α=α1≥2时，由式(8)有(q2-1)(q3-1)(q4-1)(q5-1)=27-β×3β+5，则当β=1时，有q2=5，q3=7，q4=19，q5=109，则此时方程(1)有解m=2×3α×5×7×19×109=3α×144 970，其中α≥2为整数；当β=2时，有q2=5，q3=7，q4=19，q5=163，则此时方程(1)有解m=22×3α×5×7×19×163=3α×433 580，其中α≥2为整数；当β=3时，此时方程(1)无解；当β≥4时，方程(1)无解。

⑥ 当t≥6时，有：

综合以上讨论，可得本文定理1的结论。证毕。