“14.1.4整式的乘法”第4课时修订建议

【摘要】对人教版八年级上册“14.1.4整式的乘法”（第4課时）进行了详细分析，指出了教材编排中影响学生学习的诸多原因，并提出了三条旨在提高课时认知效果、发挥教材使用价值的建议，供教材再版时参考.

【关键词】教材分析;修订建议;学材再建

在人教版八年级上册“第十四章整式的乘法与因式分解”中，有这样一课时的教学内容，它既不是整式的乘法，也不是因式分解，而是整式的除法.在谈及这一节课时，不少教师认为“整式的除法”出现在“整式的乘法”中，是不太合理的.此外，还有老师就教学内容的延续性和时效性上也提出了自己的看法.细想想，有些还是蛮有道理的.现从教材分析出发，将老师们的一些想法整理出来，供教材再版时参考.

1教材分析

1.1教材简述

教材开篇明义，介绍本课时将在学习了整式的加法、减法、乘法运算的基础上，根据“除法是乘法的逆运算”，利用整式的乘法来讨论整式的除法.接下来重点学习了同底数幂除法的性质、单项式相除的法则和商式为整式的多项式除以单项式的法则三个内容.

内容1同底数幂除法的性质

1.2教材分析

本课时的教材编排体系十分清晰：三项探索内容，两组例题和一组练习.整个教学流程始终紧扣“除法是乘法的逆运算”展开，不管是开头的同底数幂的除法法则，还是后来的单项式除以单项式、多项式除以单项式，都是从一个除法算式的结果探索入手，在逆用相关乘法算式的基础上得到结果，并分析结果的特征，从而获得运算的法则.仅就本课时教材的内在联系而言，这样的编排是可行的，一方面，学生对教学内容的认知是有基础的，他们在前面已经深入学习了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等整式乘法的知识，应该具备了将已有知识应用到新知探索过程中的能力;另一方面，本节课的新知探索是有着内在延续性的，同底数幂的除法法则的获得不仅给后面的探索提供了知识基础，还为两个法则的探索积累了宝贵的活动经验.如此紧凑的内容衔接和有序的流程安排，让这一与单元主题“整式乘法和因式分解”不搭的数学知识有了立足之处，按理来说，按照教材给定的流程学习这么多内容，学生是不会有障碍且会学有所获的.

2问题分析

不少老师按照教材给定的内容和流程实施了本节课的教学，但取得的效果却不尽如人意.他们在课后交流中，从教材到学情反映了不少问题.其中，较为典型的有以下几个.

2.1课时内容的单元入编不合理

如文头所言，本章的章名是“整式的乘法与因式分解”.整式的乘法和因式分解是互逆的，把这两个内容放在一章中，还是较为合理的.但是如果将一课时“整式的除法”加到这一单元来，给人的感觉是很突兀的：是乘法吗？不是，是除法.而本节的前后都是乘法：本节是“14.1整式的乘法”，前面几课时探索的都是乘法，后一节“14.2乘法公式”探索的是平方差公式和完成平方公式，也是乘法.在这样一个“乘法”为王的版块中，将这样一课时的除法内容嵌入其中，极容易形成知识的“孤岛”，被孤立与淡忘也就在所难免.要知道，本课时探索的单项式的除法、多项式除以单项式是整式除法的两个类别，而接下来探索多项式除以单项式、多项式除以多项式则要在“第十五章分式”中，这中间要隔着“14.2乘法公式”和“14.3因式分解”整整8课时的新课.完成这些教学任务，至少需要两周的教学时间.如此长的时间间隔，加之学习内容的“地位”又不高，想要学生不忘记是很难的.因此，将这一课时内容编入到“第十四章整式的乘法与因式分解”中，是不太合理的.

2.2活动经验的延续应用不到位

这是为什么呢？在前面几课中，探索同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质，都是应用乘方的意义来推导的.连续多课时的新知探索，同一活动经验的反复应用，让学生形成了探索整数指数幂运算的基本活动经验.当他们看到“计算am÷an（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）”时，自然而然地会想到用乘方的意义来解决问题了.然而，教材给出的探索过程却没有选择这样一条“熟悉的道路”，而是引导学生从“除法是乘法的逆运算”的角度展开探索，通过算式am-n·an=am得出am÷an=am-n.从算理上分析，这是没有问题的.但从实际教学的成效看，学生是不认同这一推导过程的，好些学生对am-n的出现是不太理解的，因为在前面学生学过的整数指数要么是单独的一个数字或字母，要么是加法，这儿突然冒出个指数是m-n幂来，是不太容易理解的.教材没有将本单元前面几课时积累下的活动经验延续应用，而是另起炉灶用了新的思路，这让教师和学生都是十分费解的.

此外，学生对数中的乘法和除法互逆的理解是可以的，但将这一体验迁移到整式中，确实是较为困难的，因而，让学生从除法是乘法的逆运算来生长单项式除法、结果为整式的多项式除以单项式的法则，难度同样不小.从这个层面上讲，教材通过运用“除法是乘法的逆运算”来引导学生发现和归纳新的运算的算理，给学生的认知造成了不小的障碍.

2.3同类例题的分散探索耗时多

本课时的例8是两道计算题：（1）28x4y2÷7x3y;（2）-5a5b3c÷15a4b，这两道题是单项式除以单项式.而在同一本教材的131页“15.1.2分式的基本性质”中，例3的第1题是约分-25a2bc3[]15ab2c，和前面两题一样，这道题也是单项式除以单项式，与前两题最大的差别就是这里得到的结果是个分式，而前两题得到的结果是整式.商式的不同，运算方法是不是也不同呢？不是的.三道题的运算方法是完全一致的：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式（分子）或除式（分母）里含有的字母，则连同它的指数作为被除式（分子）或除式（分母）的一个因式.在学习了因式分解后，这种算法实际上就是“利用分式的基本性质同时约去分子（被除式）、分母（除式）的公因式”.把一组完全可以并到一起的例题，分到整式和分式这两个不同的区域、在较为接近的时段内探索，是不太可能将例题的集中示范价值发挥出来的，而给出两种本质相同但表述不同的运算法则，一定会给学生的算理理解和运算执行产生干扰，对其数学运算素养的发展是不利的.最后，我们有必要来算个时间账，原本可以用一道例题解决的问题，现在用了三道，还不谈例题配套的练习，这样的教学时耗费花在单项式除以单项式上，或许有点多了吧.

3修订建议

3.1课时后移，歸入分式版块

在谈及如何整合教学内容前，我们有必要先来梳理一下《义务教育数学课程标准（2011版）》（下称《课标（2011版）》）对整式运算提出的要求：能进行简单的整式加法和减法运算;能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）.显然，《课标（2011版）》并没有对“整式的除法”提出要求，这就说明教材单独编排“整式的除法”这样一课时的教学内容是完全没有必要的.但在《课标（2011版）》中，对分式提出的“能进行简单的分式加、减、乘、除运算”的要求是肯定涉及到了两个整式相除的问题，事实上，两个整式A、B相除，即A÷B，把除号改写成分数线，就是分式A[]B.这一观点并非笔者提出的，而是教材在抽象分式定义时给出的：在分析实际情境抽象出的一组式子时，教材说“这些式子都是A[]B（即A÷B）的形式”，进而把“A，B表示两个整式，并且B中含有字母的形如A[]B式子叫做分式”.因此，研究两个整式A，B的除法，实际上就是研究分式A[]B的约分.至于约分的结果是什么，在教材131页例3约分前明确陈述：分式的约分，一定要约去分子和分母所有的公因式，使得结果成为最简分式或整式.所以，我们完全没有必要把商式为整式的单项式除以单项式和多项式除以单项式“独立”出去，放在“整式的乘法”中单独研究，而让分式约分类型缺失，不成体系.笔者建议教材再版时，将本课时内容并入“分式”版块.

3.2合理拆分，重组教学内容

从实际教学效果的角度考量，笔者建议将这一课时的内容并到“15.1.2分式的基本性质”中，并根据学生认知的需求和数学发展的需要进行课时（小节）内容的重组：将“分式的基本性质”单列成节“15.1.2分式的基本性质”，主要探索分式的基本性质及其简单应用（教材例2）;将“同底数幂的除法和零指数运算”并入“15.2.3整数指数幂”（分式的乘方除外）并整体前移，放在“15.1.2分式的基本性质”，形成“15.1.3整数指数幂”，探索同底数幂的除法，整数指数幂运算的推广，零指数、负整数指数幂和小于1的正数的科学记数法等知识，为后续分式运算夯实基础;将约分和通分单独编排成“15.1.4约分和通分”，将单项式相除、商为整式的多项式除以单项式等改变为分式形式并入本节.这样的重组编排，每一节课的教学核心都可以凸显出来，对达成《课标（2011版）》中提出关于与之相关的教学目标“了解最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分”能起到很好的促进作用.

教学课时的变动和教学内容的整合，必然会带来配套练习的调整：将“14.1整式的乘法”第四课时“练习”合理分解“15.1.2分式的基本性质”、“15.1.3整数指数幂”和“15.1.4约分和通分”中去，根据原有内容的位置确定练习的新的位置;将“习题14.1”中的与本课时配套题组并入“习题15.1”中去.在练习合并过程中，在将所有除法全部用分式呈现的同时，我们还要做好“削枝强干”的工作，要重新审视课时内容，将一些不能突出课时核心的练习删减剔除.总之，配套练习的设计应服务于课时教学，服务于小节教学，服务于单元教学，无利于这三者的，不用也罢.

3.3延用经验，统一运算原理

对初中生而言，在数学学习活动中，能积累基本活动经验是不太容易的，能够主动提取已有经验并用以解决新的问题，那就更难了.所以，面对“计算am÷an（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）”，学生给出“回到乘方的定义推理”的思路，教师应该感到欣慰：“14.1整式的乘法”前三课时的内容没白学，耗费在性质探索上的时间是值得的.既然学生能想到回到乘方定义去，能想到用老的套路解决新的问题，那么，在教材是不是也可以遵循这样一条“老路”形成知识生长路径，让学生在自己的认知通道上越走越欢呢？笔者建议再版教材时，将“计算am÷an（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）”用乘方的定义来进行推导，具体过程上面已经给了，这里就不再赘述了.除了“同底数幂的除法”外，笔者以为此外，不管是单项式除以单项式，多项式除以单项式，还是单项式除以多项式，多项式除以多项式，它们都是整式的除法，自然应该有同一的运算原理和运算方法.说实话，用“除法是乘法的逆运算”来发现和归纳除法法则，不要说学生晕，就是老师有时也有点晕.但如果我们换个角度：将分数的基本性质及其应用（约分和通分）迁移到分式中来，实际教学效果还是不错的.因此，在上面的内容2、3后移后，将其运算原理与其他类别的约分统一为分式的基本性质，并规定共同的要求：约分，要约去分子和分母的所有公因式，使所得结果为最简分式或整式.

作为人教版教材的忠实拥趸，为了教材的完美，我一直努力地提“意见”，这些意见来自于教学中的不舒服，来自于师生对话中的不顺畅，来自于教材阅读中的不匹配……本文又是一次教学“不适”带来的收获，它是笔者和众多一线八年级教师在教材使用中的感受和想法，观点未必正确，建议也未必可行，但作为教材忠实的践行者，我们有着使用最完美教材的美好愿景，也就期盼着教材再版时，各位专家能够关注到我们的声音.在当下，教材没有修订再版前，一线教师还可以把教材“教学化”处置，整合教学内容，优化教学流程，以本文中的建议为蓝本实施“班本化实践”，努力提升学生对整式除法和分式运算的认识.如果大家真能做到这样，也不枉我对教材编者的多次“冒犯”了，期待大家的批判.

作者简介：印冬建（1978—），江苏如皋人，中学高级教师，南通市一梯队名师培养对象，南通市“226”高层次人才，南通学科带头人.，江苏省青年教师基本功比赛一等奖获得者，南通市优秀教研组长，如皋市石庄镇初级中学副校长，南通市数学会理事，南通市教育学会中学数学专业委员会委员，南通市初中数学学科基地专家组成员.主要从事初中数学教材及教学案例研究.公开发表论文50多篇，有9篇文章被中国人民大学复印报刊资料《初中数学教与学》全文转载.主持多项省市级课题.