基于商空间的语言型Z-number多准则决策方法*

郭海艳，苏静文，李燕飞，吴 涛,3

(1.安徽大学 数学科学学院，合肥 230601；2.安徽大学 经济学院，合肥 230601；3.安徽大学 计算机智能与信号处理教育部重点实验室，合肥 230039)

0 引 言

在现实生活中，大多数的信息都是不确定的，在不精确、不确定的环境下进行决策不可避免，故Zadeh[1]在模糊集的概念上，提出了一种新的模糊集理论——Z-number来描述不确定问题，Z-number是一对有序模糊数，记作Z=(A，B)，其中第一部分A是实值不确定变量X取值的限制，第二部分B是对A的可靠性度量。Z-number反应了变量的模糊性和随机性，基于语言型Z-number对变量的描述，更符合人类的表达习惯，因为它具有可以描述感知信息模糊性和可靠性的优越性，所以被越来越多的用于评估信息。但在基于Z-number语言环境的多准则决策问题中，通常伴随着计算量大，计算复杂度高等问题，Kang等[2]提出了将Z-number转化为经典模糊数的方法，方法将第二部分可靠性B转化为一个确切数α，Z-number转化后的模糊数可通过第一部分A和α结合可得，有效减小了处理Z-number问题中的计算量。

QUALIFLEX决策方法利用了序数和基的信息，是一种灵活有用的决策方法，因此被用于处理各种语言环境下的决策问题，Shuyang Song等[3]在区间粗糙数的环境下利用上、下近似使用QUALIFLEX方法决策，Zhang等[4]在犹豫模糊集的环境下基于符号距离比较使用QUALIFLEX方法进行多准则决策。QUALIFLEX方法对处理准则数较大的问题时颇具优越性，但是不适用于方案集较大的决策问题。将QUALIFLEX方法与商空间理论结合，有效降低计算复杂性，减少计算量，使得在语言型Z-number决策环境下，QUALIFLEX方法在方案集较大的决策问题中也变得可行。

在Z-number转化为经典模糊数[2]方法的基础上，构建了一种基于商空间的Z-number多准则决策问题的方法。首先，通过定义的模糊度公式计算出各准则的权重，然后，通过提出的两两比较方案的可能度公式得出方案与方案之间的优劣程度，将其结果与所得权重集结，得出最终的决策矩阵。最后，根据商空间的保假原理，选择合适的粒度空间搜索最优排列，改进了QUALIFLEX排序方法，得到方案的最优排列，并用案例分析验证该方法的可行性与有效性。

1 基本理论

令S={si|i=0,1,2,…,2t,t∈N}为有限的语言型语集[6]，其中si为语言变量的可能取值，对∀si,sj∈S，需满足两个条件：

(1)有序性：若i

(2)若i+j=2t，则-si=sj。

定义1[5]：给定论域U上的一个模糊集A，存在隶属函数μA:U→[0,1]，若μA满足：

则称A为三角模糊数，记为(a1,a2,a3)，图像如图1所示。

图1 三角模糊数

(4)不可比较关系：若Zi，Zj不存在上述3种关系，则称Zi，Zj不可比较，记Zi⊥Zj。

商空间理论是张钹等在1990年提出的问题求解理论，该理论将问题放在各种不同的粒度空间上进行分析和研究，然后综合得出对原问题的解。在商空间理论中，用三元组(X，f，T)描述一个问题，其中X表示问题的论域；f表示论域的属性，f:X→Y；T是论域的结构，指论域X中各元素的相互关系。

定义3[7]：给定(X，f，T)和一个等价关系R之后，称([X]，[f]，[T])为问题(X，f，T)对应于等价关系R的商空间(其中R对应于一定的粒度)，若满足：

(1)[X]是对应于等价关系R的商集。

(2)[T]：{u|p-1(u)∈T,u∈[X]}，p:X→[X]是自然投影。

(3)[f]：[X]→Y。

定义4[7]：设R1，R2∈R，若x,y∈X，xR1y→xR2y，则称R1比R2细，记R1

不同粒度世界之间存在的“保真”“保假”原理，为粒度推理提供了理论依据。

保假原理[8]：若一个命题在粗粒度空间为假，则命题在细粒度空间中也为假。

保真原理[8]：若一个命题在两个粗粒度空间为真，则在一定条件下在其合成的商空间中的命题也为真。

在商空间理论中，选取适当的商空间对问题的解决至关重要。一般可以从3个方面进行粒度的划分,一直接对论域X进行颗粒化，将较小的粒度合成为新的粒度，二是通过属性的粒度对论域X进行划分，三是对结构进行划分，都得到粗粒度的结构。

2 基于商空间的QUALIFLEX改进方法

可能度是描述一个方案不差于另一个方案的程度，构造由Z-number转化后的三角模糊数两两比较的可能度公式如下：

(1)

模糊度是衡量一个模糊集的模糊程度，模糊度数值越大，则模糊集的不确定性越大。模糊度的定义如下：

定义6[9]：若映射d:F(A)→[0,1]满足条件：

(1)当且仅当A∈P(X)时，d(A)=0；

∀x∈U,当μB(x)≤μA(x)≤0.5，

则d(B)≤d(A)；

∀x∈F(X),d(A)=d(AC)。

称映射d为F(A)上的一个模糊度，称d(A)为模糊集A的模糊度。

定义7：设有映射d:F(A)→[0,1]，x∈[0,1]令

(2)

则d(A)为A的模糊度。

证明：(1)当A是清晰集时，即μA(x)=0或1，此时d(A)=0；当d(A)=0⟹μA(x)=0或1，此时，A是清晰集。

(2)μA(x)=0.5⟺d(A)=1，此时，模糊集A的模糊度最大。

同理可得μB(x)≥μA(x)≥0.5时，

有d(B)≤d(A)。

4(1-μA(x))dx=

故d(A)为模糊集A的模糊度。

2.1 经典QUALIFLEX决策方法

QUALIFLEX决策方法通过上述定义的可能度大小作为一致性指标，然后找到综合一致性最大的排列来确定最优排列，进而找出决策的最优解。假设方案集A包含n个备选方案，则n种方案共存在n!种序关系。令Pl是所有排序中的第l种序关系。

Pl=(…,Aρ,…,Aβ,…),l=1,2,…,n!

(1)若L(Aρ≻Aβ)>0，即备选方案Aρ优于备选方案Aβ，则在该预次序中，一致性存在。

(2)若L(Aρ≻Aβ)=0，即备选方案Aρ等价于备选方案Aβ，则在该预次序中，称他们等价。

(3)若L(Aρ≻Aβ)<0，即备选方案Aρ劣于备选方案Aβ，则在预次序中，不一致性存在。

通过计算n!种序关系的综合一致性指标找到最优排列，综合一致性越大，则排列越优。例：Pl的综合一致性指标计算如下：φl=∑Aρ,Aβ∈Pl(L(Aρ≻Aβ)).

2.2 QUALIFLEX改进方法

Z-number的直接计算是复杂的，其优劣比较通常需要经过大量复杂的计算，但是在基于Z-number的多准则决策中，通过定义2叙述的Z-number的优势关系下，可以直接比较两个方案的优劣。若在每个准则下，方案Aρ都不差于(强优势、弱优势、等价)方案Aβ，即Aρj≻sAβj、Aρj≻wAβj或Aρj～Aβj,(j=1,2,…,m)，此时，就可以说方案Aρ是不差于方案Aβ的。由此可知，在基于QUALIFLEX的多准则决策方法找到的最优排列中，方案Aρ的排列次序肯定是先于方案Aβ的。

在处理多准则决策问题时，根据属性对论域X进行划分。用商空间理论中的三元组(X，f，T)描述一个基于Z-number的QUALIFLEX多准则决策问题的决策方法，其中，X表示论域中最细的粒度，即QUALIFLEX方法中存在的n!种序关系，这里f:X→Y是属性函数，T为所有优序构成的半序结构。

假设观察原始信息表，能够得到k条基于定义2的Z-number的优势关系，将每个优势关系作为一个划分论域的属性函数，得到一个满足该优势关系的粒度空间Xq1(q=1,2,…,k)和一个不满足优势关系的粒度空间Xq2(q=1,2,…,k)，则原问题转化为一个较粗的粒度上的问题([X],[f],[T])。且由上述分析，QUALIFLEX决策方法得到的最优排列需同时满足k条优势关系，在粗粒度空间Xq2中第q(q=1,2,…,k)条优势关系为假，故由保假原理，因粒度空间Xq2(q=1,2,…,k)内的所有序关系均为假，所以粒度空间Xq2(q=1,2,…,k)中不存在最优排列，所以不需要在Xq2中搜索最优排列。通过不断划分粒度空间Xq1(q=1,2,…,k)，并且结合保假原理，排除掉不满足优势关系的粒度空间，不断缩小搜索最优排列的粒度空间，并在最终得到的粒度空间上使用QUALIFLEX排序方法搜寻综合一致性指标最大的最优排列，得到所求的最优排列。如图2所示。

图2 根据优势关系划分的粒度空间

由于商空间的规模比原空间小，所以在经典的QUALIFLEX决策方法中运用方案之间的优序关系，就可以在较小的粒度空间内求解多准则决策问题，有效减少计算量。优序关系越多，则存在最优排列的粒度空间越细，搜索范围越小，QUALIFLEX决策方法越高效。

3 基于粒度的语言型Z-number决策方法

基于上述基本知识，提出的多准则决策方法如下：

(3)在每个准则下构建可能度矩阵。由上述可能度式(1)计算每个准则下方案与方案的优劣度Hj=(lij)n×n,(j=1,2,…,m)。

(3)

(4)

(5)得出最终的决策表。基于前面得到的权重与可能度公式，计算最终的决策矩阵：

(5)

(6)基于商空间粒度的QUALIFLEX方法，得到最优方案。运用改进的QUALIFLEX决策方法选择合适的粒度空间并计算粒度空间中所有可能的排列的综合一致性指标

φl=∑Aα,Aβ∈Pl(Qαβ)

(6)

4 实例分析

工作满意度是员工对当前工作的积极感受的心理状态，影响企业运行效率与活力。ABC公司为了调查企业现状及提高员工工作质量，现对4个部门A={A1,A2,A3,A4}的员工进行工作满意度评估。由一个个人管理专家、一个社会学家和一个心理学家组成的专业团队帮助评估，考虑影响工作满意度的4个准则：c1：工作环境；c2：人际关系；c3：社会公益服务；c4:福利。4个准则的权重ω={ω1,ω2,ω3,ω4}是未知的。专家通过对每个部门提交的问卷进行评估，部门ai在准则cj下的评估信息用Z-number表示，并且使用了如表1所示的两个连续的语言尺度函数，在激烈的讨论之后，产生了4个部门的工作满意度评估信息表，见表2。

表1 不同语义下的连续型语言集

表2 工作满意度评估信息

步骤二：将Z数评估信息表转化为经典模糊数评估信息表，结果如表3所示。

表3 将Z-number转化为经典模糊数

步骤三:构建可能度矩阵。由式(1)在每个准则下两两比较部门与部门工作满意度优劣的可能度。得到Hj,(i=1,2,…,m)，结果如下：

步骤四：计算权重。标准化表3中的数据，并且根据式(2)计算信息表中每个模糊数的模糊度，再由式(3)、式(4)计算得出各准则权重。计算得：

ω=(0.254 1,0.260 1,0.242 9,0.242 9)

步骤五：最终决策矩阵。由式(5)得最终决策矩阵：

步骤六：基于商空间的QUALIFLEX方法。由最初的决策信息表可知A4j≻A3j，(j=1,2,3,4)，故A4≻A3，所以由上述讨论，利用这个优势关系，对有4！=24种序关系的空间进行划分，并且在拥有属性A4≻A3的粒度空间X1中寻找最优排列。下面列出X1空间中的所有序关系，并利用上述最终决策矩阵找到最优排列。

比较表4中粒度空间X1内各个排列的综合一致性指标，数值越大，则一致性越强，排列越优，由公式(6)可得：φ1=0.683 8，φ2=1.123 0，φ3=0.865 2，φ4=0.303 6，φ5=0.401 6，φ6=-0.159 0，φ7=1.221 0，φ8=0.840 8，φ9=0.280 2，φ10=0.402 6，φ11=0.022 4，φ12=0.963 2，容易得到，第7种排列的综合一致性指数最大，故P7=(A4,A1,A2,A3)为最优排列。所以部门A4的工作满意度最高。

表4 粒度空间X1的排列

5 方法比较

为了更好的表明提出方法的有效性，用文献[6，16，17]中的方法与方法比较，结果如表5所示。

表5 不同方法排序结果比较

文献[5]定义了直接比较Z-number的优势度，计算繁琐，将ELECTRE与QUALIFLEX结合，比较了n!种排列的综合一致性指标，得到最优排列，对QUALIFLEX决策方法基于粒度做出改进，大大细化了搜索最优解的粒度空间。文献[16]将Z-number转化为梯形模糊数，并使用修正的TOPSIS方法决策，文中的准则权重是根据转化后模糊数的不确定程度——模糊度提出的，模糊程度越大，则权重越小，相较于文献[16]中基于所得梯形模糊数的简单平均更为有效。文献[17]用语言尺度函数来定义Z-number中的语言变量之间的距离，用拓展的TODIM来进行决策。

提出的方法的决策结果与文献[6，16，17]相同，说明了方法的可行性与有效性。QUALIFLEX作为决策中使用最为广泛的方法之一，通过改进，不仅可以应用在准则数较多的情形，也可以应用于方案数较大的多准则决策之中，在多条优势关系的划分下，不断缩小搜索最优排列的粒度空间。

6 总 结

提出的基于商空间的语言型Z-number多准则决策方法有效减少了计算复杂度和计算量，且由上述分析，说明了方法的有效性。QUALIFLEX方法灵活利用了序数信息，评估所有准则对不同方案的支持程度，是一种灵活、有效的多准则决策方法，但随着方案集的增大，n!急剧增大，QUALIFLEX方法也就不再适用，因为要计算n!种排列的综合一致性指标，故而可操作性不强。提出的方法对原始信息表进行分析，确定优势关系后，对n!种排列进行划分，由保假原理，排除掉包含所有不可能为最优排列的粒度空间，减小了计算复杂度，在尽可能小的粒度空间内搜索多准则决策的最优解，有效减少了计算量，克服了QUALIFLEX方法在方案集较大时不可行这一缺点，使得QUALIFLEX决策方法可以更为广泛的应用。

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