带有指数型非线性项的一维Minkowski-曲率方程
2021-04-10姚燕燕高红亮
姚燕燕, 徐 晶, 高红亮
(兰州交通大学 数学与统计学院，甘肃 兰州 730070)
0 引言
考虑研究一维Minkowski空间中给定平均曲率方程Dirichlet问题：
(1)
正解的确切个数及分歧图, 其中λ>0,0 (2) 起源于可燃气体的动力学,Ω是RN中的有界域,(2)的非平凡解是热反应过程的稳态, 在这里λ>0被称为Frank-Kamenetskill参数, 具体见文献[1-3]. 另外, 问题(1)是Minkowski曲率方程Dirichlet问题： (3) 的一维情况. 众所周知, 平均曲率问题在微分几何和狭义相对论中有着重要的作用. 2007年,Bereanu和Mawhin[4]运用Larea- Schauder度理论研究了非线性边值问题： (φ(u′))′=f(t,u,u′),l(u,u′)=0 解的存在性和多解性, 其中l(u,u′)=0代表在[0,T]上Dirichlet、周期或者Neumann边界条件,φ:(-a,a)→R是增同胚并且φ(0)=0. 2012年,Coelho 等[5]运用变分方法和拓扑度理论研究了一维Minkowski-曲率方程Dirichlet问题(1)正解的存在性和多解性, 其中参数λ>0.2013年,Bereanu等[6-7]通过临界点理论, 上下解方法和Larea-Schauder度理论讨论了Minkowski空间中Dirichlet问题(3)在球域上径向正解的存在性和多解性. 2016年, 马如云等[8]运用分歧理论研究了在球域上问题(3)正解的全局结构. 接着,代国伟[9]运用分歧理论分别对非线性项在零点渐近线性、次线性和超线性情形下球域上问题(3)径向变号解的全局结构进行了讨论. 上述文献对平均曲率问题正解的存在性研究较多, 然而对其正解的确切个数研究较少. 2018年, 张雪梅和冯美强[10]运用时间映像原理研究了问题 (4) 正解的确切个数及分歧图, 其中λ>0,L>0,并且在f满足一定条件下获得了如下的重要结果. (c)若f(u)=up(p>1),则存在λ*>0，使得当λ∈(0,λ*)时, 问题(4)没有正解;当λ=λ*时, 问题(4)恰有一个正解;当λ∈(λ*,)时, 问题(4)恰有两个正解. 对于一维平均曲率问题的其他研究详见文献[13-15].这些研究结果表明, 拟线性问题与半线性问题有很多不同之处, 分歧图也不同. 由于平均曲率问题的时间映像估计相当复杂, 文献[10]只对一些特殊非线性项进行了研究. 注意到对带有指数型的非线性项f(u)=eu并没有研究. 基于以上文献, 本文研究一维Minkowski空间中给定平均曲率方程Dirichlet问题(1)正解的存在性及分歧图. 设u(x)是问题(1)的正解.u(x)在x=0处取得最大值并且关于x=0对称.当-L (5) u(0)=s,u(L)=0,u′(0)=0 从而H(x)=c,其中c为常数. 因为H(0)=c=λF(s),所以 (6) 由此可得 -u′= 进而有 (7) 对式(6)两端从0到L积分,可得 (8) Tλ(s)称为f的时间映像. 由时间映像的定义可知, 问题(1)等价于找到s∈(0,L),使得 T(s)=L. (9) 引理1[10]若f:[0,+)→[0,+)是连续函数且f(u)>0,∀u∈(0,L),则有 引理2[10]若f:[0,+)→[0,+)是连续函数,且f(u)>0,∀u∈(0,L), 则对任意s∈(0,L), 时间映像T关于λ严格递减. 引理2[10]f:[0,+)→[0,+)是连续函数,且满足f(u)>0,∀u∈(0,L). 定理1对任意的λ>0, 问题(1)恰有一个正解. 证明由时间映像的定义可知, 问题(1)等价于找到s∈(0,L)，使得 T(s)=L. 因此,问题(1)的解为方程(9)的解. 下证T′(s)>0. 因为 f(u)=eu>0,∀u>0,f(0)=1>0, ξ=λ(F(s)-F(st))=λ(es-est), ξ′=λ(f(s)-tf(st))=λ(es-test), 由引理1知 Q≥2ξ-sξ′=λ[2(es-est)-s(es-test)]= λ[(2-s)es-(2-st)est]=λ(g(s)-g(st)). 又 g′(s)=(1-s)es,g″(s)=-ses≤0, 则当s∈(0,1]时,g′(s)≥0；当s∈[1,+)时,g′(s)≤0.即g(s)单调递增,s∈(0,1],当t∈(0,1)时,g(s)-g(st)>0.又λ>0,则Q>0. 故 T′(s)>0. (10) 容易计算得 (11) 由引理3得 (12) 由引理2和(10)-(12),知∀λ>0,0 图1 问题(1)解的图形
1 预备知识
2 主要结果及证明
