基于Chebyshev逼近的分数阶谱微分算子矩阵

张光辉

(宿州学院 数学与统计学院，安徽 宿州 234000)

分数阶微分方程作为一种新的建模工具，在弹性材料、信号处理、流体力学和控制系统等领域有非常广泛的应用[1-5].分数阶微分方程解的存在唯一性已被众多学者给出和讨论[6].下文将基于Chebyshev逼近，推导整数s阶和分数α阶谱微分算子矩阵，并建立用于计算α阶导数的Chebyshev谱微分算子矩阵的递推公式.

1 预备知识

定义1Caputo意义下的分数阶导数[7]：

(1)

其中a≤x≤b,m-1<α≤m，m∈N.

Tn(x)=cos(narccosx)，|x|≤1.

(2)

引理1关于Caputo意义下的分数阶导数算子Dα，满足[7]：

Dα(λ1f1+λ2f2)=λ1Dαf1+λ2Dαf2，λ1,λ2∈R.

(3)

引理2n次Chebyshev多项式[8]Tn(x)=cos(narccosx)，对∀n≥1，成立：

(a)Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)，

2 Chebyshev谱微分矩阵的构建

2.1 整数阶谱微分矩阵

记区间[-1,1]上次数不大于n的所有代数多项式空间为:

(4)

例如n=5时，(4)式为

2.2 分数阶谱微分矩阵

当-11时可做类似分析)，由定义1得f(x)的α阶导数为：

(5)

(6)

其中J=[J0(x),J1(x),…,Jn(x)]|X，T=[T0(x),T1(x),…,Tn(x)]|X.

下面给出计算Jk(xi)的迭代公式，以完成矩阵J的计算[10].

定理1[-1,1]上由Chebyshev多项式Tn(x)生成的序列Jn(x)满足递推关系：

(1+x)1-α(-1)n+1，

考虑积分式

类似的，有

考虑积分式

由引理2(a)递推关系，进一步计算，得

整理，得

2.3 [0,T]上谱微分算子矩阵

当0

3 数值实验

N图1 函数的阶Chebyshev谱导数精度

N图2 函数的阶Chebyshev谱导数精度

4 结 论

将用分数阶谱微分算子矩阵计算的数值结果和解析解进行比较，发现随着f(x)的Chebyshev级数展开式中截取项数n的增加，解析解和数值解误差的无穷范数迅速收敛，且在算例2中达到了谱精度，从而验证了谱微分算子矩阵的有效性和高精度.