一类Rosenau方程Cauchy问题整体解的存在性

王 科，华 洋

1.成都工业学院 大数据与人工智能学院，成都 611730；2.电子科技大学 数学科学学院，成都 611731

utt+uxxxxtt-γuxx+uxxxx=f(u)xx

当f(u)=β|u|pu，β≠0和初始能量E(0)>0时，利用势井方法得到了其弱解的整体存在性．

目前，在国内外有很多波浪数值模拟的理论模型，比如缓坡方程、KdV方程、Navier-Stokes方程以及Boussinesq类水波方程等．其中，荷兰数学家Korteweg和他的学生de Vries在研究浅水表面波运动时建立了KdV方程，它是能对包含弱非线性和弱色散效果的非线性系统很好逼近的模型，并在理论上证实了孤立子波的存在性．KdV方程描述了与孤立子波的产生有关的一维非简谐晶格的振动问题．近年来，人们对于KdV方程的初值问题做了大量工作，由于此方程是在假设弱非调和的条件下建立起来的模型，坡度和高振幅波的性态不能由KdV方程准确预知．在对紧离散系统的研究中，KdV方程不能描绘波与波、波与墙的相互作用关系，为了弥补KdV方程的不足，文献[1-2]提出了Rosenau方程来处理紧离散动力系统．它的两个经典方程为：

ut+uxxxxt-ux+uux=f(u)x

(1)

和

utt-γuxx+α1uxxxx+α2uxxxxtt=f(u)xx

(2)

文献[3-8]给出了这两个方程解存在性和唯一性的大量结果．文献[9]在有移动边界的区域里得到了方程(1)解的存在性．

本文将考虑方程(2)Cauchy问题解的存在性．不失一般性，在方程(2)中，假设α1=α2=1，也即我们将研究如下Rosenau方程的Cauchy问题

utt+uxxxxtt-γuxx+uxxxx=f(u)xx

(3)

u(x，0)=φ(x)，ut(x，0)=ψ(x)

(4)

则T0=∞．

引理2[10]假设引理1的条件成立，T0>0是问题(3)-(4)解的最大存在时间，则对于所有的0

(5)

我们引入如下能量函数

(6)

和函数

(7)

(8)

证由d的定义，我们得到u∈N，这里N={u∈H1{0}|I(u)=0}，即I(u)=0，所以

再由(8)式得到

(9)

另一方面，由(6)，(7)，(8)式和I(u)=0，有

(10)

即

当f(u)=-β|u|pu时，作者建立稳定集和不稳定集，在初始能量E(0)

utt-uxxtt+uxxxxtt=-αuxxxx+uxx+f(u)xx

(11)

用同样的方法得到了方程(11)解的整体存在性和爆破．但是这些文献都是在低初始能量E(0)0时对方程的整体解进行研究．当β>0时，文献[13]通过定义新的函数和势井法，在初始能量E(0)>0时，得到了方程(3)整体解的存在性，但是这种方法不适合β≠0的情况．我们将采用文献[14-16]中的方法，构建一个新的势井来讨论问题．

本文分别用Lp和Hs来表示空间Lp(R)和Sobolev空间Hs(R)，其范数分别为

‖u‖p=‖u‖Lp(R)‖u‖=‖u‖L2(R)‖u‖Hs=‖u‖Hs(R)

其中

再定义一个空间

其范数为

通过(7)式，我们定义与文献[10]中不同的稳定集

K1={u∈H1|I(u)>0}∪{0}

(12)

不稳定集

K2={u∈H1|I(u)<0}

(13)

和势井深度

对于满足u∈C1((0，T)，H1)，ut∈C((0，T)，H)的解u(x，t)，为了在任意正能量时得到解的整体存在性，我们定义一个新的函数空间

下面证明本文中新定义的稳定集和不稳定集是不变集．

引理4(不变集) 假设f(u)=β|u|pu，β≠0，φ∈H1，ψ∈H，u(x，t)∈C1([0，T0)；H1)是问题(3)-(4)的唯一解，这里T0是解的最大存在时间．如果E(0)

证因为1)和2)的证明是类似的，所以我们只需证明2)．假设u(t)是问题(3)-(4)满足E(0)

d≤J(u(t*))≤E(u(t*))=E(0)

(14)

则由引理 3和(14)式，可得

所以

其实对于1)，由I(t)和E(t)的定义有

如果I(u(t))>0，则

所以，

得证．

利用本文新定义的不变集和文献[10]中的方法也能得到文献[10]中同样的结果，这里不再赘述．

本文的主要结果如下：

定理1假设2≤s≤p+1，φ∈H1，ψ∈H，如果

E(0)>0

(15)

(16)

(17)

则问题(3)-(4)的解整体存在．

引理5假设u(x，t)是问题(3)-(4)带初值条件(φ，ψ)(φ∈H1，ψ∈H)的解，如果初值条件满足(15)和(17)，则当u(x，t)∈WT时，映射

是严格递减的．

证我们定义

(18)

两边对t求导得到

(19)

由(3)式得到

其中X={u∈C1((0，T)，H1)∩C((0，T)，H)|u(x，0)=φ，ut(x，0)=ψ}．

因为u(t)∈WT，所以当t∈[0，T)时，

F″(t)<0

再由(17)式得到

所以F′(0)<0．又因为F′(t)

是严格递减的．

引理6假设2≤s≤p+1，φ∈H1，ψ∈H，u(x，t)是问题(3)-(4)在最大存在区间[0，T)满足u∈C1((0，T)，H1)，ut∈C((0，T)，H)的弱解．如果初始值满足(15)-(17)式，则u∈WT．

证我们将证明对任意的t∈[0，T)，u(t)∈WT．

反证法：假设存在第一个t*∈(0，T)满足

(20)

和对任意的t∈[0，t*)，

(21)

由(18)，(19)式和引理5可知F(t)和F′(t)在区间(0，t*)上都是严格递减的．由(17)可得对所有的t∈(0，t*)，

(22)

另一方面，由(5)-(7)式和引理2，可得

由(5)式有

由下面的等式

‖utx(t*)‖2=‖utx(t*)+ux(t*)‖2-‖ux(t*)‖2-2(ux(t*)，utx(t*))

和引理5可得

(25)

所以

(26)

显而易见，(18)和(21)式矛盾．引理得证．

定理1的证明由引理 1，可知问题在最大存在区间[0，T)上有唯一的局部解．假设u(x，t)是问题满足u∈C1((0，T)，H1)，ut∈C((0，T)，H)和(15)-(17)式的弱解．由引理6可得，u(x，t)∈WT，即当t∈[0，T)时，

(27)

因而，由引理2，(5)，(7)和(25)式，可得

由此可得u(x，t)和ut(x，t)分别在空间C1((0，T)，H1)和空间C((0，T)，H)中是有界的．所以由引理 1 可知T=∞，即问题的解整体存在．