例析带电粒子在电场中的运动

广东 陈庆贺

带电粒子在电场中运动问题是电场问题的重点和难点，是学生学习高中物理的痛点，也是高考考查的热点。其实，带电粒子在电场中运动问题与高一所学的力与运动问题并没有本质的区别，仅仅是多了电场力及其相关的电场能而已，相当于“披着电场的外衣、做着力学的行当”。所以，在处理带电粒子在电场中的运动问题时，需把电场的知识与力学的方法有机地结合起来，用心体会力学方法在电场中的灵活运用。下面通过实例进行细致剖析，以供参考。

一、带电粒子在电场力作用下的平衡

【题型简述】带电粒子在电场中受到电场力和其他力的作用，处于静止状态、匀速直线运动状态或缓慢变化状态，即带电粒子在电场力作用下的平衡问题。

【例1】如图1所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ。一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行。小球A的质量为m、电荷量为q。小球A的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B，两球心的高度相同、间距为d，静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球可视为点电荷。小球A静止在斜面上，则

( )

图1

【解题突破】本题考查学生对库仑定律、力的平衡规律的理解。审题时要注意到斜面是“光滑”的，不考虑摩擦力；A是带电“小球”，须考虑自身重力，即小球A在重力、库仑力、细线拉力和斜面支持力这四个力的作用下平衡。若细线拉力或斜面支持力为零时，四力平衡问题转化为三力平衡问题，可灵活选用三角形定则进行求解。

【归纳反思】带电粒子在电场力作用下的平衡问题，遵循力学中的质点平衡的处理方法，即分三步走，首先，选好研究对象(可以是整体法，也可以是隔离法)，然后，对研究对象按正确顺序(已知力→场力→弹力→摩擦力)进行受力分析，最后，根据平衡类型进行相应的处理(如表所示)。

受力个数常见处理方法备注二力平衡平衡力(二力等大反向)容易忽略这一类平衡三力平衡合成法、分解法、三角形定则高考最为常考多力平衡正交分解法注意建立坐标轴的技巧动态平衡动态三角形法、相似三角形法、矢量圆法“缓慢”等标志性文字

二、带电粒子在电场力作用下的直线运动

【题型简述】带电粒子的初速度v0与场强方向平行时，它在电场中仅受电场力作用做直线运动。如果电场力方向与初速度方向相同，则带电粒子做加速直线运动；如果相反，则做减速直线运动。

【例2】(2020年天津卷第12题)多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图2所示，从离子源A处飘出的离子初速度不计，经电压为U的匀强电场加速后射入质量分析器。质量分析器由两个反射区和长为l的漂移管(无场区域)构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏B上被探测到，可测得离子从A到B的总飞行时间。设实验所用离子的电荷量均为q，不计离子重力。

图2

(1)求质量为m的离子第一次通过漂移管所用的时间T1；

(2)反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x；

(3)已知质量为m0的离子总飞行时间为t0，待测离子的总飞行时间为t1，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量m1。

(2)根据动能定理，有qU-qEx=0 ④

【归纳反思】带电粒子在电场中做直线运动，与力学中的单物体直线运动的处理方法几乎相同，但需要注意以下三个方面：

(一)带电粒子重力的处理。对于如电子、质子、α粒子、离子等基本粒子，通常都不考虑重力(但不能忽略质量)；对于液滴、油滴、尘埃、小球等带电颗粒，一般都要考虑重力。

(二)带电粒子做直线运动的条件。带电粒子所受合外力F合=0，则带电粒子做匀速直线运动；带电粒子所受合外力F合≠0，且与初速度方向共线，则带电粒子做变速直线运动。反之，根据带电粒子的运动情况同样可以判断带电粒子所受合外力的情况。

(三)粒子做直线运动，共有三套方法可供选择：

常见处理方法选用条件牛顿第二定律、匀变速直线运动公式涉及加速度a动能定理涉及位移s和做功W动量定理涉及时间t和冲量I

三、带电粒子在电场力作用下的类平抛运动

【题型简述】带电粒子垂直电场方向射入匀强电场，由于只受电场力作用，故沿初速度方向做匀速直线运动，沿电场力的方向做初速度为零的匀加速直线运动，此类现象可称为类平抛运动。

【例3】(2020年浙江卷第7题)如图3所示，电子以某一初速度沿两块平行板中线方向射入偏转电场中，已知极板长度l、间距d、电子质量m、电荷量e。若电子恰好从极板边缘射出电场，由以上条件可以求出的是

( )

图3

A.偏转电压 B.偏转的角度

C.射出电场速度 D.电场中运动的时间

电场力提供加速度eE=ma

结合上述方程可知，由于初速度v0未知，所以偏转电压和电场中运动的时间无法求出，故AD选项错误。

由于初速度v0未知，粒子飞出电场时的竖直方向速度vy无法求出，所以粒子射出电场的速度无法求出，故B选项正确，C选项错误。

【归纳反思】带电粒子在电场中做类平抛运动，基本的处理原则就是分解速度v或位移s，而两个分运动的时间t相等。除此之外，还需注意以下三个方面：

(一)(类)平抛运动中物体任意时刻速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的两倍；

(二)(类)平抛运动中物体任意时刻速度的反向延长线必过分运动中匀速运动的位移中点；

四、带电粒子在电场力作用下的圆周运动

【题型简述】带电粒子在电场力作用下绕着某个点做圆周运动，可以分为两种情况：一种情况是在没有约束条件下做圆周运动，另一种情况是在约束条件下做圆周运动。

【例4】某原子电离后，其核外只有一个电子。若该电子在原子核的静电力作用下绕核做匀速圆周运动，那么关于电子运动，下列说法正确的是

( )

A.圆周运动半径越大，加速度越大

B.圆周运动半径越大，角速度越小

C.圆周运动半径越小，周期越大

D.圆周运动半径越小，线速度越小

【解题突破】本题涉及库仑力公式及向心力公式，侧重于对学生建模能力和类比推理能力的考查。只要能把电子绕核做匀速圆周运动的模型与天体模型相类比，就可以顺利地列出相关表达式，从而正确求解。

【归纳反思】带电粒子在电场力作用下的圆周运动常见以下情况：

有无约束典型情景模型草图无约束在场源点电荷+Q(或-Q)的电场中,另一个点电荷-e(或+e)绕场源点电荷做匀速圆周运动。两个等量同种正电荷Q(或负电荷-Q)的电场中,在过它们连线的中垂面内,一个负电荷-e(或正电荷+e)绕两者连线的中点做匀速圆周运动。两个异种点电荷Q1、-Q2,以相同的角速度ω绕其连线上某一点O做匀速圆周运动(类似于天体运动的双星模型)。有约束在只有电场或重力场和电场同时存在的情况下,带电粒子沿圆弧形轨道做圆周运动。此情况下,轨道弹力总与运动方向垂直,不做功。注意区别“物理最高点”和“几何最高点”,常用到“等效场”的处理方法。先求出重力与电场力的合力,再将这个合力视为一个“等效重力”,将a=F合m视为“等效重力加速度”,再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。

分析清楚带电粒子在电场中做圆周运动的具体运动情形后，处理的基本思路与力学中圆周运动的处理思路相仿，可以归纳为三大方法：运用向心力公式求力、利用动能定理求速率和过最高点的临界条件(轻绳模型与轻杆模型)。

五、带电粒子在周期性变化电场中的运动

【题型简述】带电粒子在周期性变化的电场中运动时，由于电场的变化使粒子所受电场力发生变化，其加速度、速度等都会相应发生变化，从而做加速、减速或往返运动。

【例5】如图4甲所示，为两水平金属板，在两板间加上周期为T的交变电压u，电压u随时间t变化的图线如图4乙所示。质量为m、重力不计的带电粒子以初速度v0沿中线射入两板间，经时间T从两板间飞出。下列关于粒子运动的描述错误的是

( )

甲

A.t=0时入射的粒子，离开电场时偏离中线的距离最大

C.无论哪个时刻入射的粒子，离开电场时的速度方向都水平

D.无论哪个时刻入射的粒子，离开电场时的速度大小都相等

【解题突破】本题考查电场力公式、匀变速直线运动规律、匀强电场中电场强度与电势差的关系、运动的对称性和周期性以及读图、用图的能力。由U=Ed可知，题中的u-t图相当于E-t图像，也就相当于F-t图像和a-t图像，从而顺利得到t=0时刻入射粒子在竖直方向的v-t图像。水平方向上，粒子一直做匀速直线运动。根据运动的合成规律，可得到粒子在电场中的运动情况。在此基础上，还可以根据不同入射时刻对坐标轴进行平移，从而得到不同时刻入射的粒子在竖直方向的v-t图像，从而进行正确判断。

【归纳反思】常见的产生周期性变化电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等。处理带电粒子在周期性变化电场中的运动方法是：首先，要明确电场(U、E等)的变化规律，然后要根据电场的变化规律做好受力分析和运动分析，抓住粒子的运动过程在时间上具有周期性和空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移等，并确定与物体运动过程相关的边界条件。一般具有以下三种情况：

题目类型选用方法粒子做单向直线运动一般用牛顿运动定律结合运动学公式求解粒子做往返运动通常根据交变电场的特点分段研究,可借助运动图像粒子做偏转运动一般分段研究,特别需要注意对称性

【总结】不管带电粒子在电场中的运动问题属于哪一种类型，其本质仍然是力学知识和方法在电场中的具体运用。在平常的学习过程中，需要注意对知识的分类归纳和总结，有意识地运用力学知识和方法进行解题，这是突破带电粒子在电场中运动问题的主要解法。