(G) 问题 (1) 在区间[0,T]上的广义解, 如果存在问题 (1) 的强解子序列{un(t)},{vn(t)},其初值为(u0n,u1n,v0n,v1n), 使得
(Dut(σ),ω)+((hB-k2(u-v)+-
fB(u)),ω))dσ
(9)
(Dvt(σ),ν)+((hS+k2(u-v)+-
fS(v)),ν))dσ
(10)
定理2.4[10]设u,v∈H,H是一个Hilbert空间, 其内积和范数分别为(·,·)和‖·‖H. 那么存在依赖于γ的正常数Cγ, 使得
推论2.5[10]令D(μt)=‖μt‖pμt.由定理2.4可得
(D(μt)-D(υt),μt-υt)≥Cp‖μt-υt‖p+2,
p≥0,μt,υt∈V0
(11)
从而阻尼算子D是强单调的.
定理2.6设任意的T>0.在假设 (3),(4) 的条件下, 以下结论成立:
(ut,utt,vt,vtt)∈L∞([0,T];V2×V0×V1×V0),
(ut,vt)∈Cr([0,T];V2×V1),
(utt,vtt)∈Cr([0,T];V0×V0),
Au(t)+Dut(t)∈Cr([0,T];V0′),
其中Cr表示右连续函数的空间, 且方程的解满足能量关系
(12)
其中
(13)
(14)
(ii) 对任意(u0,u1,v0,v1)∈V2×V0×V1×V0, 存在唯一的广义解, 使得
(u,ut,v,vt)∈C([0,T];V2×V0×V1×V0)
(15)
定理2.6的证明类似于文献[10]中定理2.3的证明, 故我们只给出上面的结论.
推论2.7问题 (1) 在空间H上生成了一个动力系统(H,S(t)), 其中
S(t)(u0,u1,v0,v1)=(u(t),ut(t),v(t),
vt(t)),
而(u(t),v(t))是初值为(u0,u1,v0,v1)的方程 (1) 的解.
为了证明主要结论, 我们还需要下面的一些定义和结果.
其中dX{A,B}=supx∈AdistX(x,B)是Hausdorff 半距离.
定义2.9[12]一个有界闭集A⊂X被称为是系统(X,S(t))的全局吸引子, 如果
(i)A是不变集, 即对任意t≥0有S(t)A=A;
(i) ∀s>0,r(s)
(iii) 下列不等式成立:
d(S(T)y1,S(T)y2)≤r(d(y1,y2)+
(16)
其中{S(τ)yi}由空间C(0,T;X)中的函数yi(τ)=S(τ)yi,i=1,2给出. 则(X,S(t))是渐近光滑的动力系统.
定理2.11[12]设(X,S(t))是一个完备度量空间X上的耗散动力系统.则(X,S(t))拥有一个紧的全局吸引子当且仅当它是渐近光滑的.
3 全局吸引子
定理3.1假设条件(3),(4)成立,且由问题(1)生成的动力系统(H,S(t))在空间H是耗散的.则存在R>0, 对任意有界集合B⊂H,t0=t0(B)>0, 使得对所有的y∈B, 当t≥t0时有
‖S(t)y‖H=‖(u(t),ut(t),v(t),
vt(t))‖H≤R.
证明 分别用ut+εu和vt+εv与 (1) 的两个方程在L2(Ω)上做内积, 计算相加后可得
ε‖vt‖2+ε‖v‖2+εk2‖(u-v)+‖2+
(‖ut‖put,ut+εu)+(‖vt‖pvt,vt+εv)+
(17)
结合(2)和(7)式得
(18)
根据Hölder不等式、Young不等式和 (2) 式有
(19)
结合 (13)(14) 式和(18)(19)式有
E(t)≥c0E0(t)-C0, 0(20)
令W(t)=E(t)+(ut,εu)+(vt,εv).根据Hölder不等式和Young不等式有
(21)
结合(20)(21)式, 存在ε0>0, 使得当0<ε<ε0时
W(t)≥c1E0(t)-C1, 0(22)
将(17)式写为
(23)
其中
Y(t)=(‖ut‖put,ut+εu)+
ε2(ut,u)-ε2(vt,v)
(24)
结合 (2) 式和(8) 式可得
(25)
(26)
由Young不等式知,存在c2,c3>0使得
(ut,ut)=‖ut‖2≤c2+c3‖ut‖p+2
(27)
由 (12) 和 (20) 式, 存在CB>0使得
E0(t)≤C(1+E(t))≤C(1+E(0))≤CB
(28)
根据Cauchy不等式、Young不等式及 (2)(28) 式有
|(‖ut‖put,εu)|≤
(29)
同理,由(28)式可得
(30)
结合 (29),(30)式得
|(‖ut‖put,ut+εu)|≥
(31)
|(‖vt‖pvt,vt+εv)|≥
(32)
由 (24) ~ (27) 式及 (31),(32)式可得
取充分小的ε>0, 使得
则有Y(t)≥-εC4.将其代入到 (23) 式可得
(33)
根据Gronwall不等式, 我们有
W(t)≤W(0)e-εt+C4(1-e-εt)
(34)
(35)
显然, 定理3.1意味着集合B0={(u(t),ut(t),v(t),vt(t))∈H:‖(u(t),ut(t),v(t),vt(t))‖H≤R}是与问题 (1) 相关的解半群{S(t)}t≥0的有界吸收集.
定理3.2假设条件 (3),(4) 成立.则存在T0>0及与T无关的常数C>0, 使得对问题 (1) 的任意两个强解(u1,v1),(u2,v2), 当T≥T0时成立下面的关系式:
(36)
其中
ξ(t)=u1(t)-u2(t),ζ(t)=v1(t)-v2(t),
且
‖ζt‖2+‖ζ‖2),
D(t,ξt)=‖u1t‖pu1t-‖u2t‖pu2t,
D(t,ζt)=‖v1t‖pv1t-‖v2t‖pv2t.
证明 注意到ξ(t)=u1(t)-u2(t),ζ(t)=v1(t)-v2(t)满足如下两式:
ξtt+ξxxxx+D(t,ξt)+k2(u1-v1)+-
k2(u2-v2)++fB(u1)-fB(u2)=0
(37)
ζtt-ζxx+D(t,ζt)-k2(u1-v1)++
k2(u2-v2)++fS(v1)-fS(v2)=0
(38)
将 (37), (38) 式分别与ξt,ζt在L2(Ω)上做内积, 计算相加后得
(k2(u1-v1)+-k2(u2-v2)+,ξt)+
k2(u2-v2)+,ζt)+(fS(v1)-fS(v2),ζt)=0
(39)
则
-(k2(u1-v1)+-k2(u2-v2)+,ξt)+
(k2(u1-v1)+-k2(u2-v2)+,ζt)-(fB(u1)-
fB(u2),ξt)-(fS(v1)-fS(v2),ζt)
(40)
对(40) 式在[t,T]上积分可得
k2(u2-v2)+,ξt)dτ+
(41)
将(37), (38) 式分别与ξ,ζ在L2(Ω)上做内积, 计算相加后得
‖ζt‖2+‖ζ‖2+(D(t,ξt),ξ)+
(D(t,ζt),ζ)=-(k2(u1-v1)+-
k2(u2-v2)+,ξ)+(k2(u1-v1)+-
k2(u2-v2)+,ζ)-(fB(u1)-
fB(u2),ξ)-(fS(v1)-fS(v2),ζ)
(42)
对 (42) 式在[0,T]上积分可得
结合 (2) 式和连续嵌入定理有
(43)
因此,我们有
(44)
在 (41) 式中令t=0有
(45)
此外, 因算子D是单调的, 将 (41) 式在[0,T]上积分可得
(46)
由插值不等式有
(47)
根据|(u1-v1)+-(u2-v2)+|≤L|(u1-v1)-(u2-v2)| (L>0是一恰当的常数), 及‖(u,ut,v,vt)‖H≤R. 结合Young不等式和 (2)(47) 式有
|(k2(u1-v1)+-k2(u2-v2)+,ξ)|≤
Lk2‖(u1-v1)-(u2-v2)||·‖ξ‖=
Lk2‖ξ-ζ‖·‖ξ‖≤C(R)‖ξ‖2
(48)
同理可得
|(k2(u1-v1)+-k2(u2-v2)+,ζ)|≤
C(R)‖ζ‖2
(49)
|(k2(u1-v1)+-k2(u2-v2)+,ξt)|≤
C(R)‖ξ‖·‖ξt‖
(50)
|(k2(u1-v1)+-k2(u2-v2)+,ζt)|≤
C(R)‖ζ‖·‖ζt‖
(51)
结合 (44) ~ (51) 式即得(36) 式.证毕.
接下来我们将证明问题 (1) 所对应的解半群{S(t)}t≥0是渐近光滑的.
命题3.3假设条件 (3)(4) 成立.则问题 (1) 生成的动力系统(H,S(t))在空间H上是渐近光滑的.
证明 由定理 3.1 可知, 集合B0是与问题 (1) 相关的解半群{S(t)}t≥0的有界吸收集. 根据定义,我们知道存在t0≥0, 使得对所有的t≥t0有S(t)B0⊂B0.令B=∪t≥t0S(t)B0. 显然B是系统(H,S(t))的有界正不变集. 于是,对任意有界集合B′, 当t≥t(B′)时有S(t)B′⊂B0,即对所有的t≥t0+t(B′)有S(t)B′⊂B. 因此,B也是有界吸收集.
设(u1,v1)和(u2,v2)是问题 (1) 在不变集B上关于两个不同初值的强解, 即对任意y0,y1∈B有
(u1(t),u1t(t),v1(t),v1t(t))=S(t)y0,
(u2(t),u2t(t),v2(t),v2t(t))=S(t)y1
(52)
由于(16)式的所有项对于能量范数‖·‖E所给出的度量d都是连续的, 其也满足定理2.10中的条件. 设T>0. 由于B是有界正不变集, 由能量等式 (12) 式有
(53)
第一步,能量重建.由 (36) 式, 令
进一步, 根据ΦT的定义有
(54)
(55)
(56)
‖fB(u1)-fB(u2)‖2=
(57)
其中0<θ<1. 同理可得
(58)
因此, 由(57),(58)式我们有
(59)
(60)
结合 (54) ~ (60) 式,我们有
(61)
J0((‖u+v‖p(u+v)-‖u‖pu,v))≥
J0(Cp‖v‖p+2)=‖v‖2,u,v∈V2×V1
(62)
由Jensen不等式可得
(63)
(64)
‖u2t‖pu2t)2dx)1/2≤
C‖ξ‖(‖u1t‖2p‖u1t‖2+
‖u2t‖2p‖u2t‖2)1/2≤CB‖ξ‖≤
(65)
同理可得
(66)
结合定理3.2和 (61) ~ (66) 式, 对于任意κ>0有
(67)
第二步,处理阻尼.对于 (67) 式, 令δ=min{ω,η}.则
(68)
(69)
根据 (45)(50)(51)(57) 式和紧嵌入定理有
Em(0)-Em(T)-
(70)
则由(69) 式可得
Em(T)+2Q0(Em(T))≤Em(0)-Em(T)+
(71)
CR‖ξ(t)‖1-η1, 0<η1<1
(72)
CR‖ζ(t)‖1-η2, 0<η2<1
(73)
则对于任意的τ∈(0,1] 有
Em(T)+2Q0(Em(T))≤Em(0)+
(74)
于是
(75)
(76)
(77)
我们有
‖S(T)y1-S(T)y2‖H≤r(‖y1-y2‖+
(78)
显然, 函数r满足定理2.10的全部条件.
最后, 由定理3.1和命题3.3即得我们的主要结论:
定理3.4假设条件 (3)(4) 成立. 则由问题 (1) 生成的动力系统(H,S(t))在空间H上拥有紧的全局吸引子.