Julia集“爆炸”的一族二次有理函数的参数空间

孙 霞

(云南开放大学 公共教学部，云南 昆明 650500)

早在1918年，Lattès就找到了一个Julia集为整个Riemann球面的有理函数，即

利用Weierstrass椭圆函数的性质对此进行了证明，但deg(P)=4.在本文中，笔者找到了一族度为2的有理函数，其Julia集也是整个Riemann球面，由于该函数族中的函数与Lattès发现的函数不共轭，所以它们是新的Julia集为整个Riemann球面的有理函数，此外，熟知的有理函数

的Julia集也是整个Riemann球面，但它和我们函数族中的一个函数是共轭的，所以在函数族中.

若2个有理函数是共形共轭的，则它们就具有相同的动力学性质，从而在二次多项式的研究中，只需要研究如下的多项式即可：

Pc(z)=z2+c.

上述含有单参数的多项式族是一个动力学性质比较丰富的函数族，但由于∞是其超吸性不动点，所以它的Fatou集不会是空集，即Julia集不会是整个Riemann球面，也即不会出现Julia集“爆炸”的情况.而对同样的含有单参数的二次有理函数族

找到了使得其Julia集“爆炸”的具体参数值，并发现这些参数值构成的集合是一个无穷集，结论如下：

1 预备知识和引理

1.1 不动点及其分类

1)称z为R的超吸引不动点，如果λ=0；

2)称z为R的吸引不动点，如果|λ|<1；

3)称z为R的排斥不动点，如果|λ|>1；

4)称z为R的中性不动点，如果|λ|=1，进一步，若λ=e2πiθ且θ为有理数，则称z为有理中性不动点；若θ为无理数，则称z为无理中性不动点.无理中性不动点可以在Fatou集F(R)中，也可以在Julia集J(R)中.若无理中性不动点z∈F(R)，则称z为Siegel点；若z∈J(R)，则称z为Cremer点.

引理2[8-10]有理函数R的吸引和超吸引周期点属于F(R)，排斥周期点属于J(R).

1.2临界点

1.3 Sullivan定理

在介绍Sullivan定理之前，先介绍如下定义：

设R为次数不小于2的有理函数，D是Fatou集F(R)的一个分支，则称D是

1)周期的，如果存在某个正整数n，使得Rn(D)=D；

2)预周期的，如果存在某个正整数m，使得Rm(D)是周期的；

3)游荡的，如果集合{Rn(D),n≥0}是两两互不相交的.

早在上个世纪初，Fatou就猜想，对有理函数来说，不存在游荡的Fatou分支，这个猜想直到Sullivan引进了有理函数的拟共形形变才获得证明，结论如下：

引理4[8-10](Sullivan定理) Fatou集的每一个分支都是预周期的.

1.4 Sullivan分类定理

引理5[8-10]设R是有理函数，deg(R)≥2，如果D是R的不变Fatou分支(即R(D)=D)，那么，D为下列5种情形之一.

1)吸引的:存在R的吸引不动点z0∈D，其乘子λ满足0<|λ|<1，Rn在D内局部一致收敛于z0;

2)抛物的:存在R的有理中性不动点z0∈∂D，乘子λ=e2πiθ且θ为有理数，Rn在D内局部一致收敛于z0;

3)超吸引的:存在R的超吸引不动点z0∈D，乘子λ=0，Rn在D内局部一致收敛于z0;

4)Siegel盘:D共形等价于单位圆盘Δ，而R共形共轭于Δ上的无理旋转z|→e2πiθ，z∈Δ，θ为无理数;

5)Hermann环:D共形等价于环域A(r,1)={z|0

1.5 稳定域与临界点之间的关系

引理6[8-10]设R为度deg(R)≥2的有理函数，则R的每个吸引(超吸引)循环的直接吸性域中至少含有R的一个临界点.

引理7[8-10]设R为deg(R)≥2的有理函数，则R的每个抛物循环的直接吸性域中至少含有R的一个临界点.

1.6 Julia集为整个Riemann球面的充分条件

1.7 代数学基本定理

2 定理的证明

……

λ+4=0.

(1)

4λ2+(λ+4)2=0.

(2)

4λ3(λ+4)2+((λ+4)2+4λ2)2=0.

(3)

从上述证明中不难发现，Α⊂{λ||λ|≥1}.因为0为Rλ的其中一个不动点，若0<|λ|<1，则0是Rλ的吸引不动点，由Sullivan分类定理，存在包含原点的Fatou分支D，此时Julia集不会是整个Riemann球面；若|λ|=1且λ为有理数，则0为有理中性不动点，此时也存在Fatou分支D，使得0∈∂D，Julia集也不会是整个Riemann球面；若|λ|=1且λ为无理数，则0可以是Siegel点也可以是Cremer点，此时只有0是Cremer点时Julia集才会是整个Riemann球面.但对集合A的具体状况不得而知，猜测A可能有内点或者有有限的聚点.