基于核心素养的直线与圆的位置关系的教学与反思

蔡琼辉

摘  要：直线与圆的位置关系是高中课程中的重要内容。对于本节内容的复习，本文从生活情境出发，回归课本，让学生发现本质;同时通过变式训练，发展学生的思维，提高学生解决问题的能力。在教学过程中，渗透用数学的眼光看世界的观念。

关键词：直线与圆的位置关系、数学核心素养、教学反思

一、基本情况

1、授课对象

四星高中高三理科班学生，基础较好，具备一定的推理论证、运算求解能力。

2、教材分析

直线与圆的位置关系是高一必修2中的内容，根据 《普通高中数学课程标准》（2017版）[1]中指出，本节课的教学目标是：（1）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系;（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题。

本节内容是应用坐标去研究直线与圆的位置关系，初步让学生体会用代数的方法去研究几何问题，也为后面研究直线与圆锥曲线起着铺垫作用。在高考中常常以选择题的形式出现，是高中阶段很重要的学习内容。

结合新课标要求，本节高三复习课制定了以下教学目标：（1）熟练判断直线与圆的位置关系，掌握圆的切线的求法;（2）熟练运用直线与圆的相关知识来求解相关数学问题和实际问题;（3）培养学生数形结合的思想方法，提高学生的分析问题、解决问题的能力。

教学重点 判断直线与圆的位置关系

教学难点 直线与圆的位置关系相关的实际问题

二、教学过程

1、设计情境引入，回顾基本知识

情境 展示太阳从海平面升起来的三幅图。

师：同学们可以想到哪些几何知识？

师：前面学习过直线方程，掌握了通过直线方程研究直线与直线的位置关系，那如何通过直线与圆的方程来研究两者的位置关系呢？

问题1 已知单位圆的方程为 ，直线 ，请问分别在以下三种情况下直线与圆的位置关系是？

生8：过圆心 作弦长AB的垂线CD，由垂径定理以及勾股定理，可以得出点 到直线的距离。

师：是不是又回到了例2了？设出所求直线的斜率，根据距离解出参数 ，不要忘记考虑斜率不存在的情况。

由于时间有限，后面就留给学生课后去解了。

2、结合实际问题，题高能力

例3 台风中心从 地每小时10千米的速度向西北方向移动，离台风中心30千米的地区为危险区。城市 在 的正西方向40千米处， 城市处于危险区的时间是多少？

思考几分钟后……

生9：需画图，画出以 为圆心，半径为30千米的圆，与西北方向所在直线所交的弦长即为 城市处于危险区时，台风中心移动的一段路程。

后计算出弦长为20千米， 城市处于危险区的时间是2小时。

三、教学反思

1、设计思路与原理

本节课是从三幅海上日出图引出本节课的课题，定性的分析了直线与圆的三种位置关系，结合刚复习过的直线与圆的方程，以及通过直线方程来判断直线与直线的位置关系，自然过渡到定量分析直线与圆的位置关系。问题1 是设置的简单问题，让学生回忆起以前学习过的课本上的基本知识，加深对基本概念的理解，在开篇引入的整个过程中，培养了学生发现问题、分析问题、解决问题的数学核心素养，体会了从数学研究上定性与定量的思想方法。

例1和变式1是对基本知识的简单应用，学生通过几何法、代数法的计算，得出参数的取值范围。学生通过计算体会代数法与几何法的使用，也会发现几何法更加便捷。高三的课堂更要注重学生思维的培养，因此，两种方法的优劣不必直接告诉学生。学生通过自己的计算会发现几何法更便捷。这样也培养了学生的数学计算、归纳总结等数学核心素养。

例2和变式2也是基础知识的简单应用，让学生通过例2和变

式2的学习，抓住本节内容的本质，在讲到例2时，学生思维活跃，首先计算发现给出的 点是在圆的外部，自然想到可以做出圆的两条不同切线。同时学生很快想到設出切线方程的斜率，通过相切的性质来解题，结果计算结果出来后，发现少了一条切线。矛盾的出现，吸引了学生的注意力，促进了思维的发展。变式2是圆的性质与本节知识的结合，提高学生的综合应用能力。

例3的设计是围绕课标的要求，将所学理论知识落实到实际问题的解决中，同时也渗透数形结合的思想方法。

2、课堂反馈与思考

由于本节内容是高三的复习课，知识内容都是在高一时候学过的。因此，整个教学过程是较为顺畅的。学生很积极，思维也很活跃，教学效果较好。

祁建新教授曾指出，高三复习需要回归课本。回归课本，就是回忆、唤醒以前学习的重点概念和基本问题，由此增强学生对数学概念的认识，进而增强学生发现问题本质的能力[2]。因此，在上课之初，设置简单的情境与问题引入了本节的复习内容，就是引导学生回忆课本的基本知识。高三的课堂教学要注重对学生核心素养的培养，例题的设置要合理。

新高中数学课程标准理念要求教师从片面注重数学知识的传授转变到注重提高学生的数学思维能力的培养上来[3]。本节就是通过变式教学发展学生的思维，让学生既能深刻地体会到所学知识的本质，又能融会贯通地应用所学知识去解决实际问题。同时贴近生活的例题设置，让学生体会到数学来源于生活又服务于生活。在这个过程中，无形中渗透了用数学的眼光去看世界的观念。

课堂是学生的，教师只是一个引导着，高三的课堂更是如此。本节课的实施过程中，以学生为主体，让学生自己去发现问题往往更利于学生数学核心素养的培养。本节直线与圆的位置关系中，几何法的使用比代数法更方便以及求圆的切线方程时，切线斜率不存在的情况要考虑都是预留给学生思考的时间，让学生自己发现问题、解决问题，这样是对学生数学能力、数学思维的培养。数学核心素养的培养往往不是一蹴而就的，它体现在每一堂数学课上，作为教师，要把握学生，要多思考设计好每一堂数学课。

参考文献：

[1] 《普通高中数学课程标准》（2017版）.

[2] 祁建新.“基本不等式的应用研究”的教学设计与反思[J].中学数学月刊，2016（08）：1-4+9.

[3] 陈唐明.新课标理念下数学课堂教学的反思[J].《中学数学研究》.2007年第2期，第4-6页.

（江苏省苏州市吴中区东山中学）