基于马尔科夫链的电力系统运行可靠性快速评估

毛澍， 张丽*， 谈军， 赵永生， 赵爱华

(1. 国家能源局 电力可靠性管理和工程质量监督中心, 北京 100031；2. 国网电力科学研究院， 江苏 南京 210000； 3. 国网安徽省电力有限公司， 安徽 合肥 230001)

0 引言

近年来，随着我国经济的迅速发展，输电线路建设变得越来越重要。我国的电力系统增长规模巨大，但越来越复杂的输电线路和电力系统造成电力系统运行的可靠性降低[1]。同时由于广泛的地理分布和多变的气象环境都对电力系统可靠性检测带来了很大的困难。因此，通过统计学理论模型，构建一套完整全面的可靠性分析方法对电力企业来说至关重要。我国对此起步较晚，主要开始于上世纪80年代，在1985年成立了电力可靠性管理中心，积极培育输电系统领域的科研成果[2]。电力系统的可靠性分析重点在于对输电线路的可靠性，对于电力线路的可靠性分析多采用故障树分析法、贝叶斯评估法、灰色预测技术和模糊综合评价等方式[3]。为了高效地处理输电线路的问题，采用马尔科夫过程理论，对输电网拓扑结构的线路故障快速响应，解决输电线路连锁故障问题[4]，针对电力系统灵活性差、维护困难的缺点，防御停电的重大事故，保障运行安全。

1 电力系统运行可靠性评估方法

1.1 可靠性概念

可靠性的定义在不同领域有着不同的说法，而对于工业领域来说，通常定义为“设备在规定时间和规定的环境条件下，完成规定功能的概率学意义”。从定义中，可以知道，可靠性是基于时间变量的，可靠性的分布函数设为R(t)，用以表示无故障设备占总体设备的百分率[5]，R的取值范围是0≤R≤1;不可靠性则设为F(t)，由于两者是互补的关系，则满足式(1)。

R(t)+F(t)=1

(1)

假设时间变量T表示从正常工作到设备发生故障的时间，概率密度是f(t)，可靠性的积分函数定义，如式(2)。

(2)

对于设备进行分类，可修复设备与不可修复设备的可靠性估值是不同的[6]。而故障率则表示到某一时刻的失效概率，其利用极限方式进行定义，如式(3)。

(3)

而平均故障率的计算值，如式(4)。

(4)

假设在(t1,t2)的时间段内。

1.2 马尔科夫随机过程

马尔科夫理论的优势就是无记忆性[7]，尤其在电力系统中，电力系统当前可靠性状态与历史状态无关，而是基于下个未来状态[8]。同时由于电力系统故障的随机性，往往使用状态空间转移图来表示输电线路的全部状态，通常分为正常运行状态与故障状态。马尔科夫的随机过程中的参数可以是连续的或者是离散的[9]。对于某一个随机过程{X(t)，t∈T}，X(t1),X(t2),X(t3),…,X(tn)相应的状态为a1,a2,a3,…,an∈A。马尔科夫过程,如式(5)。

P{X(tn)≤an|X(tn-1),…,X(t1)}=P{X(tn)≤an|X(tn-1)}

(5)

而对于马尔科夫链来说，随机过程{X(t)，t∈T}，n∈T以及状态为a1,a2,a3,…,an∈A，满足的条件概率函数,如式(6)。

P{xn=an|x1=a1,x2=a2，…,xn-1=an-1}=P{xn=an|xn-1=an-1}

(6)

式中，{xn,n∈T}就是马尔科夫链。在条件概率P{xn=j,xn-1=i}中，xn=j表示在n时刻系统处在j状态。因此定义马尔科夫链的转移概率为P{xn=j,xn-1=i}表示了某个系统在时刻n-1，状态条件为i时，在n时刻从状态i转移到状态j的概率，记为pij(n)。由转移概率构成转移概率矩阵，如式(7)。

(7)

定义设备的故障率和可修复率分别为λ和μ，p(k)表示第k次的转移概率矩阵，p(k)=pk；p(0)起始向量，n次后的状态概率向量为p(n)，其关系表达式，如式(8)。

p(n)=p(0)p(n)

(8)

当步数n趋于无穷时，设备平稳状态下的运行概率为p0，停止运行的概率为p1，如式(9)。

(9)

2 基于马尔科夫方法的电力系统可靠性模型

2.1 实时运行的可靠性模型分析

输电线路的电力系统构建可靠性模型会考虑线路自身的老化故障，老化故障的概率涉及输电线路失效概率密度函数f(t)，与设备使用年龄有关[10]，假设役龄为T年，在后续时间t内产生故障的概率pa，如式(10)。

(10)

(11)

拟合曲线，如图1所示。

图1 基于潮流变化的输电线路故障概率模型

依据电力系统外界天气环境的不同，考虑正常天气状态与恶劣天气状态[11]。假设w=1时，状态为恶劣天气；w=0时，状态为正常天气。恶劣天气的持续时间为S，发生故障比例为F，λ为统计平均值。可以得出线路失效的概率，如式(12)。

(12)

由上述结果，电力系统的故障概率，如式(13)。

pc=1-e-λct

(13)

综合上述的自身故障、线路潮流、外界天气环境的因素[12]，整体电力系统的可靠性模型综合故障概率，如式(14)。

p=pb+pc-pbpc

(14)

2.2 基于马尔科夫的可靠性评估模型

在构建基于马尔科夫的可靠性评估模型时，首先定义几个物理量，表示可靠性的指标，分别是可靠度R、可用度A、故障率λ、修复率μ、首次故障前平均时间Tav。在分析基于马尔科夫链模型的电力系统可靠性模型时，将运行状态划分为正常状态、事故状态和风险状态[13]。那么电力系统的三状态模型的状态转移概率矩阵，如式(15)。

(15)

Пi是ti时刻的电力系统状态分布，如式(16)。

(16)

假设电力系统的初始状态为П(0)，经过m个Δt之后的电力系统转移，如式(17)。

C(m)=C(m-1)P=C(0)Pm

(17)

电力系统的长期稳定运行状态概率，如式(18)、式(19)。

(18)

(19)

将式(14)写成分块矩阵形式，如式(20)。

(20)

式中，B表示电力系统的接受状态转移的概率；C表示从非接受状态到接受状态转移的概率；D表示电力系统从不可接受状态向可接受状态转移的概率；E为电力系统在不可接受状态间转移的概率。当分块矩阵D=0，E=I时，此时的马尔科夫模型，计算电力系统的首次故障前平均时间，如式(21)。

(21)

3 基于马尔科夫方法的可靠性仿真分析

从上述的分析中系统采用IEEE RBTS BUS6配电系统作为算例应用系统。其等值电网接线图，如图2所示。

图2 IEEE RBTS BUS6等值电网接线图

包含负荷基本数据、网络拓扑结构等等数据。首先假设Δt时间的时间间隔内的电力系统的故障率为0.000 5，修复率为0.014。为了验证马尔科夫链模型，保持其他电力元件的故障率为0。通过常用的蒙特卡洛方法对RBTS BUS6配电系统进行数据模拟，统计经过8 000次模拟后的系统状态变化情况，如表1所示。

通过状态转移数据的分析，获得电力系统的状态转移概率矩阵，如式(22)。

(22)

每次模拟的开始都是从状态1起，t=0时作为电力系统无故障状态，如式(23)。

П (0)=[1 0 0]

(23)

将式(22)、式(23)代入到式(16)，经过300次矩阵乘法，可以得到П (1)- П (300)的值，通过模拟，可以得到模拟值П′ (1)- П′(300)。其对比图，如图3—图5所示。

图3 300个时间间隔内电力系统的解析值与统计值处于状态1的概率对比图

图4 300个时间间隔内电力系统解析值与统计值处于状态2的概率对比图

图5 300个时间间隔内电力系统解析值与统计值处于状态3的概率对比图

图3—图5分别显示处于状态1、状态2、状态3的概率。对于解析值与统计值的误差可以通过式(24)得到。

(24)

本电力系统中，各个电力元件的故障概率值较小，8 000次模拟结果中，有3 030次电力系统处于状态2的条件。为了精确得出故障前平均时间，将时间间隔内的故障概率和修复概率修改成0.113 1、0.285 4，重新代入到马尔科夫模型进行模拟，统计得到状态转移概率矩阵，如式(25)。

(25)

则可以由式(20)得到故障前平均时间为6.994 1s，而由统计结果计算出的故障前平均时间为7.614s。上述结果说明由基于马尔科夫模型的状态转移概率矩阵得出的解析值，与进行电力系统的统计值相一致。电力系统的可靠性通过马尔科夫链模型可以进行快速的评估，更为简单和实用。

4 总结

电力系统的可靠性评估问题已经成为电力领域中长期困扰企业的问题。是电力企业发展的重要系统工程。首先总结了电力系统的当前研究现状以及输电线路的发展趋势。在总结了3种可靠性分析方法后，采用马尔科夫理论模型。为了提高电力系统的可靠性，本文充分论证了状态空间转移的性质。由电力系统的状态转移概率矩阵P解析系统状态的转移变化。依据首次故障前平均时间的可靠性指标，用于检修、规划电力系统的实际运行状态。从而使得电力企业的维护设计更加灵活，也为智能电网的发展带来极大的参考意义。在后续的研究中，还会考虑电力变压器、开关设备的影响，同时增加对可靠性参数及电力负荷不确定性的影响。