幂律流体在多孔介质中球向渗流的分形模型

王世芳,吴 涛,苏 怡

(1.湖北第二师范学院 理论物理研究所， 武汉 430205;2.武汉工程大学 光学信息与模式识别湖北省重点实验室,武汉 430205)

1 引言

自20世纪60年代以来，在油田开发过程中越来越多的使用聚合物溶液、泡沫液和乳状液等非牛顿流体作为驱油剂，因此研究非牛顿流体的渗流规律具用重要的现实意义。非牛顿流体的显著特征是流量和压力梯度不满足线性关系。目前，诸多文献研究了各种流体在多孔介质中的传热传质特性，取得了较大的研究进展[1]-[6]。文献[4]研究了幂律型流体在多孔介质作平面平行流的渗透率分形模型，得到了幂律流体有效渗透率随幂律指数n的增加而增加的结论。文献[6]研究了幂律流体在树状分叉网络中的有效渗透率和相对渗透率的解析表达式。尽管这些研究结果有助于人们理解幂律流体在多孔介质中的流动机理，但是幂律流体在多孔介质中作球向流动的研究鲜有报道。

2 幂律流体在多孔介质中球向渗流的渗透率分形模型

球向渗流模型假设毛细管沿球径向分布，该模型是石油开采中的一个重要模型。一般在没有完全射开的油层开采时，球向渗流模型更符合实

图1 多孔介质中幂律流体球向渗流的示意图

际情况[7]。三维的球向渗流广泛应用于油、水、气等储集层，流体从井筒外部向渗流中心(即井筒中心)流动，其中r为渗流区域的半径，r0为井筒半径，图1为多孔介质中幂律流体球向渗流的示意图。

假定多孔介质的孔隙大小分布满足分形分布，在一个多孔介质代表性单元体内，孔隙直径大于或等于λ的累计孔隙数目可以表示为[8]：

(1)

对上式微分，于是得到：

dN=Dfλmaxλ-(Di+1)dλ

(2)

其中Df与λmax分别代表孔隙面积分形维数及最大孔隙直径。

多孔介质的孔隙总面积可以写成；

(3)

由孔隙率的定义得一个代表性单元的总横截面积为：

(4)

其中代表性单元体面孔隙率φ与分形维数Df的关系满足下列关系式[2]：

(5)

其中dE为欧几里得空间维度数，在二维欧氏空间dE=2，在三维欧氏空间dE=3，下面我们推导多孔介质中幂律流体球向渗流的渗透率。

多孔介质的毛细管一般是弯曲的，毛细管的实际长度可表示为：

Lt=rDTλ1-DT

(6)

迂曲度分形维数Dr代表了毛细管的弯曲程度，其值越大代表毛细管越弯曲。

幂律流体流过单根弯曲毛细管的流量为：

(7)

通过积分得到幂律流体流过球形多孔介质某个截面的总流量为:

(8)

(9)

则幂律流体流过半径为r的球形横截面的平均流速为：

(10)

令式(10)中，上式就可以表示为牛顿流体在半径为r处的平均流速：

(11)

方程(11)与苗同军[21]模型结果一致，从而说明了本模型的正确性。

接下来我们要推导幂律流体的视粘度μa。幂律流体在毛细管管壁处所受的剪切应力τw与压强梯度满足下面关系式：

(12)

联立公式(2)和(12)，推导出总剪切应力为：

(13)

根据幂律流体的视粘度定义为：

(14)

幂律流体的本构方程为：

(15)

根据式(13)(14)和(15)，推导出幂律流体的视粘度为：

(16)

幂律流体渗流满足的广义达西定律为[4]：

(17)

根据(11)(16)(17)从而推导出幂律流体在半径r处球形横截面的有效渗透率公式为：

(18)

如果n=1，上式(18)可以简化为：

(19)

上式(19)表示多孔介质中牛顿流体在离球中心r处有效球向渗透率，此结论与苗同军[21]研究的结论一致；式(18)表示在多孔介质中幂律流体球向渗流时的有效渗透率分形表达式。式(18)中包含分形维数DP、Dr，最大孔隙直径λmax，最小孔隙直径λmin及半径r，没有任何经验常数，每一个物理量都有意义。所以式(18)反映了多孔介质中幂律流体球向渗流的有效渗透率的物理机理。当r=r0时，式(18)可以写为

(20)

式(20)表示幂律流体在球形井筒壁处的有效渗透率，为了得到归一化渗透率，用式(18)除以式(20)，得到幂律流体球向流动时无量纲渗透率：

(21)

方程(21)反映了幂律流体无量纲球向渗透率只取决于迂曲度分形维数DT、井筒的半径r0和渗流半径r，与幂指数n无关。此结果与文献[20]研究的结果形式相同，该表达式也说明了无量纲渗透率与坐标系的选择无关，仅取决于多孔介质的微结构参数和渗流半径及井筒半径。

3 结果分析

为了检验模型的正确性，我们将得到的无量纲渗透率模型(式21)与Chang和Yorttsos[9]提出的渗透率模型作比较：

(22)

其中θ是分形网络的谱指数，是无量纲参数，一般是由分形多孔介质的微结构参数来确定，一般由蒙特卡洛模拟方法确定。

方程(22)也可表示为无量纲渗透率：

(23)

图2 本模型(式21)与Chang and Yortsos’s模型Eq.(23)的比较，赋值参数如下：DT=1.7，φ=0.4，θ=1，DP=1.5。对于大多数多孔介质来说，孔隙率一般在0.1～0.5之间，本文孔隙率φ=0.4。从图2可以看出：渗流半径r越大，无量纲球向渗透率越小，当r>r0时，无量纲球向渗透率趋近于零。这是因为半径r越大，球形横截面上毛细管的数目越少，从而导致无量纲渗透率越小，这和现实情况相吻合。从图2中也可以看出我们的模型与已有的Chang and Yortsos模型吻合的非常好，这说明我们的模型是正确的。

图2 显示了幂律流体无量纲球向渗透率随径向半径比r/r0的变化关系

图3显示了球向有效渗透率(式18)和迂曲度分形维数DT的关系，所用参数赋值如下：r0=0.1m，r=100m，n=1.1。我们发现幂律流体球向有效渗透率随迂曲度分形维数的增大而变小。这是因为迂曲度分形维数越大，说明幂律流体流动路径越弯曲，幂律流体所受的流动阻力越大，导致渗透率越小，这与实际情况相符。另外，还可以看出孔隙率越大，幂律流体球向有效渗透率越大。这是因为孔隙率越大，流体流动越容易，渗透率越高，这也与实际情况相符。

图4显示了有效球向渗透率随幂指数的变化关系图，所用参数赋值如下：r0=0.1m，r=10m，DT=1.2。从图4中我们发现幂律流体的幂指数n越大，球向有效渗透率越大。这是因为幂律流体的幂指数越大，表明非牛顿流体特征越弱，从而导致渗透率越大。

图3 幂律流体球向渗透率随孔隙率及迂曲度分形维数的变化关系

图4 幂律流体球向有效渗透率随幂指数的变化关系图

4 结论

本文根据幂律流体满足的达西定律和多孔介质的分形几何理论，推导出了多孔介质中幂律流体球向渗流时的有效渗透率，该有效渗透率方程与多孔介质微结构参数和幂律流体的特性有关，每个物理量物理含义明确。