CD播放器与数学

2003年，德国《世界报》不畏艰难，把数学题材引入报纸专栏，结果取得巨大成功。根据该专栏100篇文章结集的图书《五分钟数学》风靡全球，已被翻译成英、法、俄、意、日、韩、土等十几个语种。本书根据该书持续修订后的第四版译出。本书所有文章讲了三个方面的问题，分别是数学是有用的，数学是迷人的，数学是自然的语言。这本书为我们挖掘了当代生活中蕴含的丰富有趣的数学素材，揭去了概率论、模算术、组合论、集合论、极值等高深概念的神秘面纱，也讲述了数学发展史上的传奇故事和伟大人物，启发我们要继续沿着数学道路去理解这个世界。

编码与样本理论

在普通家庭里可以看到的所有电器中，CD 播放器绝对是数学含量最高的装备，它在两个方面非常重要。首先，原始的连续信号，例如柏林爱乐乐团演出的录音，被进行数字化处理，转换成一个由0和1组成的有限集合。它每秒钟的信号被采样大约44000次——关于信号处理的定理告诉我们，这种水平的采样，已经捕捉到人类耳朵能听出来的所有细节。

无论是制作CD的过程，还是播放CD的过程，错误的产生都是不可避免的：也许CD上有一块污渍，也许它被猫挠出了一道印子。想象一下：如果在传输几兆的数据时，仅仅一个数位出现错误，就导致整个文件数据的丢失，那是多么巨大的問题！因此，CD播放器需要能够“容忍”小的错误，这就需要用到更进一步的数学结果。

如果我们希望CD播放器的效果都很完美，那么设备和碟片都将昂贵到难以承受。

但是问题可以在另一种意义上得到解决，其奥妙就是“编码理论”a——我们应该怎样传送数字化信息，才能使接收者总能读出正确的信息，即便传输中出现一些错误也不例外？

如果你想发送十个字母长的摩尔斯电码，但信号可能因编码错误或天气干扰而变形。

那么，你需要怎么做，才能够保证你原始的十字信息能够被完整地送达呢？第一个出现在我们脑海里的想法很可能是：发送者重复不断地发送，接收者则将重复频率最高的信息当作正确信息。对CD播放器而言，这种办法将会增加太多太多的工作。为了更有效地解决问题，人们发明了一种技术，使得在实际传输的“强健”b版信号中，信号长度并没有显著的增加。

同时，传输模式已经变得对错误不敏感，即便出现相当程度的干扰，重现的声音质量也不受影响。例如，甚至划痕严重的CD也可以播放，并且声音听起来也没有什么瑕疵。

很可惜，黑胶唱片没有相应的技术，它上面的一粒灰尘都会被听出来。

采样理论

对音乐或其他声音信号的原始资源，为了使它们能够进入我们家里的音响系统，我们需要完成几个步骤。首先，声音需要数字化，也就是转换成很长很长的，由0和1组成的序列。这个过程把信号从模拟的或说是连续的，转换成数字化的，或者说是离散的形式。这是决定性的一步，因为只有数字化的材料，才不会在复制和处理过程中出现品质的降低。

数字化之所以可能，是因为我们人类听觉的不完美。如果我们可以听到任意高频的“声波”，那就不可能有CD存在。但事实上，我们听不见超过20千赫的超声波，所以声音的数字化才得以成功实现。数字化过程分为两步：

信号首先经过滤波器，信号中人类听不到的高频率部分被滤去。对我们的耳朵来说，所得到的结果与原来的信号没有区别。

接着，我们利用这样一个事实：只要每秒采样的次数足够，限定频率范围内的信号就可以被数字化，并可以根据后者精确地重建。

上述第二点所陈述的事实就是“采样定理”，其准确的描述是这样的：如果一个信号由若干频率组成，其最高频率为f。那么，只要采样时间间隔不大于12f，信号就可以（根据采样结果不失真地）重建。

例如，如果信号中最高的频率是10千赫，那么，采样间隔必须不大于120000秒。这就是说，每秒采样次数要达到20000次。

这么说好像有些抽象，但这个定理可以用另一个领域的例子来说明。假设你有一个录像机，它每秒录像的帧数可以设置。你家小孩正坐在秋千上，而你正在给她录像。在正常的帧数设置下，录像会真实地重现小孩荡秋千的场景。但如果你把每秒录像的帧数设置得太低，场景就会被大大地歪曲：在录像中秋千只移动了一点点，而事实上录像机错过了秋千一个完整的来回。采样定理可以被比作录像机的使用说明：对秋千如此这般的往返频率，录像机的每秒帧数必须达到如彼那般，否则就无法真实地录下荡秋千的场景。

[德]埃温哈德·贝兰茨

柏林自由大学数学教授，主要作品包括《无处不在的数学》等。

吴朝阳

南京大学数学系副教授，科普作者、译者。