基于人工神经网络的湍流大涡模拟方法1)

谢晨月 袁泽龙 王建春 万敏平 陈十一

(南方科技大学力学与航空航天工程系,深圳 518055)

引言

湍流现象广泛存在于航空航天、天体物理、大气边界层等各类工程问题和自然现象中[1].受限于巨大的计算量,直接数值模拟(direct numerical simulation,DNS) 方法无法求解高雷诺数湍流问题.雷诺平均(Reynolds-averaged Navier-Stokes,RANS)方法基于雷诺平均方程,主要求解湍流的平均场,因此无法精确地模拟湍流在不同尺度上的流动结构.大涡模拟(large eddy simulation,LES) 方法采用粗网格计算大尺度上的湍流结构,并用亚格子模型近似表达滤波尺度以下的流动结构对大尺度流场的作用,从而能够有效地预测湍流在大尺度上的动量、能量和热量的传输[1-9].

在大涡模拟方法中,亚格子不封闭项表征亚网格尺度对大尺度运动的影响[10-17].大涡模拟方法的一个核心问题是:如何通过大尺度的流场信息构造亚格子模型? 传统亚格子模型包括Smagorinsky 模型[6,10,18-19]、相似模型[20-21]、梯度模型[21-23]、优化模型[24-26]、一方程模型[11,27-28]和二阶矩模型[27,29-31]等.

最近几年来,机器学习方法发展迅速,并且在湍流建模问题中得到了越来越多的应用[32-59],包括:用机器学习方法重构雷诺平均应力[32-34]、基于全连接人工神经网络的亚格子模型[35-36]、基于机器学习的反卷积亚格子模型[39-41]、基于循环神经网络和Mori-Zwanzig 公式的时空亚格子模型[48]等.

作者的研究团队从2019 年开始,发展了一系列基于人工神经网络的大涡模拟模型,主要有以下3 种情况.(1) 人工神经网络显式代数模型,包括人工神经网络混合模型(artificial neural network mixed model,ANNMM)和非线性代数模型[49-50].这类模型类似于传统代数模型,具有显式表达式,并通过人工神经网络方法对模型中的无量纲系数做优化.(2)人工神经网络隐式结构模型,包括七点模型(ANN-7) 和空间人工神经网络(spatial artificial neural network,SANN)模型[51-55].这类模型的输入和输出的映射关系封装在人工神经网络中,没有具体的显式表达式.这类模型是亚格子模型的一种,和传统的隐式大涡模拟方法有所区别:隐式大涡模拟方法主要采用耗散型的数值格式去直接求解粗网格上的流体力学方程,不加亚格子模型这一项,而是用数值黏性去代替亚格子能流的耗散作用.(3)反卷积人工神经网络(deconvolutional artificial neural network,DANN)模型[56].

本文详细地介绍了利用人工神经网络方法重构亚格子不封闭项的最新进展.具体内容安排如下:在第1 节中,讨论了可压缩湍流的人工神经网络模型,包括人工神经网络混合模型和空间人工神经网络模型;在第2 节中,介绍了不可压缩湍流的反卷积人工神经网络模型.在第3 节中,对本文的内容进行了总结和展望.

1 可压缩湍流大涡模拟

可压缩湍流的速度场和热力学场存在强耦合,同时涡量场、声波、激波和膨胀波之间存在非线性的耦合作用[60-67].可压缩湍流的大涡模拟需要同时封闭动量方程和能量方程.理想气体的可压缩湍流的无量纲化纳维−斯托克斯方程如下[3,60-62]

其中,σij=2µSij−2µSkkδij/3 是黏性应力张量;

Fi是单位体积的大尺度外力;Λ 是单位体积的大尺度冷却函数[61-62].

上述方程通过以下的特征物理量进行归一化:特征长度Lr,密度ρr,速度Ur,温度Tr,单位体积的两倍动能动力学黏性系数µr,热扩散系数κr和压力pr=雷诺数Re=ρrUrLr/µr,马赫数M=Ur/cr,普朗特数Pr=µrCp/κr=0.7 是流场的三个无量纲控制参数,其中声速cr=√比热比γ=Cp/Cv=1.4,R=Cp−Cv是气体常数,无量纲参数α=PrRe(γ −1)M2.

可压缩湍流的泰勒雷诺数Reλ和湍流马赫数Mt分别定义为[61-62]

其中〈 〉 是空间平均,urms=是速度均方根(rms),泰勒微尺度定义为

柯尔莫哥洛夫尺度η 和积分尺度LI分别为[61-62]

为高效地求解湍流场中的大尺度运动,对纳维−斯托克斯方程做滤波,从而得到大涡模拟方程.滤波器定义为=D f(x′)G(x,x′;∆)dx′,其中G是滤波算子,D是滤波范围,∆是滤波宽度,代表滤波后的物理量.对于可压缩湍流,采用Favre 滤波,定义为[68],其中ρ 是密度,f代表速度或温度.无量纲的可压缩湍流大涡模拟控制方程如下[3]

亚格子不封闭项包括

其中τij是亚格子应力,Qj是亚格子热通量.假设运动学黏性系数在不同尺度上保持一致,其他亚格子不封闭项可以忽略[26].在本文中,对亚格子应力τij和亚格子热通量Qj发展高精度模型.

1.1 传统的亚格子模型

可压缩湍流的动态Smagorinsky 模型(DSM) 基于涡黏假设,并考虑到了湍流能量从大尺度向小尺度的级串过程[6,10,69-70],表达式如下[26,69]

可压缩湍流的动态混合模型(DMM) 由涡黏项和尺度相似项构成[21-22,26,72],基本形式如下

同理,亚格子热通量Qj可以通过DMM 模型写成如下形式

1.2 人工神经网络混合模型(ANNMM)

人工神经网络混合模型(ANNMM)属于人工神经网络显式代数模型.首先,将亚格子应力分解为各向异性和各向同性部分[49]:τij=其中=τij−δijτkk/3,=δijτkk/3.然后,Qj可以通过梯度模型和Smagorinsky 模型的线性组合来建模,具体形式如下

表1 人工神经网络的输入集与输出集Table 1 Set of inputs and outputs for the ANNs

ANNMM 模型的人工神经网络的具体结构如图1 所示,包括:输入层、隐藏层、输入基函数层、输出层[49].ANNMM 模型通过优化人工神经网络不同层的权重因子和偏置因子构建了滤波后物理量和目标函数(亚格子应力和亚格子热通量)之间的非线性关系.模型系数通过ANN1,ANN2 和ANN3 网络分别训练.人工神经网络在不同层上的神经元个数为M:20:20:2,其中M是输入层的神经元个数,最后隐藏层输出模型系数C1和C2.隐藏层的激活函数取为tan-sigmoid 函数

图1 ANNMM 模型的人工神经网络结构Fig.1 Schematic diagram of the ANNMM’s network structure

1.3 可压缩各向同性湍流的大涡模拟

在可压缩各向同性湍流中验证各个亚格子模型.得到了可压缩各向同性湍流的直接数值模拟数据,具体的参数和统计量如表2 所示.湍流马赫数Mt在0.4～1.0 的范围内,泰勒雷诺数Reλ约为250[63-66].网格分辨率满足条件:0.98 ≤η/δx≤1.03,其中δx是直接数值模拟的网格宽度,同时2.61 ≤kmaxη ≤3.3 (最大有效波数kmax等于单个方向上的网格数的一半).网格分辨率kmaxη ≥ 2.61 能够保证湍流小尺度物理量的统计收敛性[61].速度散度和涡量的均方_根分别定义为θrms=ωrms=√采用紧致差分格式和加权基本无振荡(WENO) 格式相结合的混合方法,来开展可压缩均匀各向同性湍流的数值模拟[73].该混合方法在光滑区域用八阶中心紧致差分格式[74],在激波区域用七阶WENO 格式[75].

表2 网格规模为10243 的可压缩各向同性湍流直接数值模拟的参数和统计量Table 2 Parameters and statistical quantities for DNS of compressible isotropic turbulence at 10243 grid resolution

采用盒式滤波器对物理量进行滤波,一维盒式滤波器定义如下[66,69]

其中滤波宽度∆=nδx,主要考虑滤波宽度∆=16δx.如图2 所示,该滤波宽度位于惯性区,同时约5%的湍动能被滤掉了[26].

图2 可压缩湍流直接数值模拟数据的速度谱,菱形表示滤波宽度为∆/δx=16,32Fig.2 Velocity spectrum from DNS.Diamonds represent filter widths ∆/δx=16,32

1.3.1 ANNMM 模型的先验分析

使用可压缩湍流的直接数值模拟数据,开展ANNMM 模型的先验验证研究.通过计算亚格子不封闭项的相关系数和相对误差,研究神经网络超参数对ANNMM 模型先验预测精度的影响[49].模型预测的亚格子不封闭项Hmodel与真实亚格子不封闭项H的相关系数和相对误差分别为

表3 展示了不同的神经网络超参数对应的ANNMM 模型的预测结果.其中ANNMM-M1 和ANNMM-M2 模型的网络结构分别为M:40:40:2 和M:20:20:20:2.不同超参数的人工神经网络模型预测的τ11的相关系数和相对误差在0.4 ≤Mt≤1.0 的情况下保持一致,ANNMM 模型的预测结果不随神经元个数和隐藏层深度的增大而显著变化.速度梯度(VG)模型预测的相对误差约为40%.ANNMM 模型预测的相对误差约为25%,远低于VG 模型.同时ANNMM 模型预测的τ11的均方根值更接近于滤波后的直接数值模拟(fDNS)的结果.

1.3.2 ANNMM 模型的后验分析

在后验测试中,LES 的网格分辨率为 1283(hLES=∆/2,FGR=∆/hLES=2)[76-78],滤波宽度∆=16δx.FGR=2 使得LES 的误差主要来自亚格子模型的误差,而数值误差的影响非常小.

ANNMM 模型和传统亚格子模型预测的速度谱如图3 所示.不加任何亚格子模型的情况(No-model)无法提供足够的耗散,导致预测的速度谱高于fDNS结果;DSM 和DMM 模型在低波数出现能量聚集现象,同时在高波数耗散过大.ANNMM 模型预测的速度谱在全波数范围更接近fDNS 结果.

表3 不同亚格子模型在Mt=0.4,0.6,0.8,1.0 的情况下预测τ11的相关系数(C)、相对误差(Er)和均方根值(D)Table 3 Correlation coefficient(C),relative error(Er)and root mean square value(D)of τ11for different models at Mt=0.4,0.6,0.8,1.0

不同亚格子模型预测的瞬态速度散度云图如图4 所示.相比DSM 和DMM 模型,ANNMM 模型可以重构出更多的小尺度结构,同时预测的速度散度更接近滤波后的直接数值模拟(fDNS)的结果.

图3 大涡模拟模型在1283(hLES=∆/2)网格下的速度谱Fig.3 Spectrum of velocity for LES at grid resolution of 1283(hLES=∆/2)

综上所述,ANNMM 模型可以高精度地预测不同湍流马赫数情况下的可压缩湍流的统计特性和瞬态空间结构.还发展了另外一种人工神经网络显式代数模型:基于人工神经网络的非线性代数模型(ANN-NAM),具体内容见参考文献[50].

1.4 空间人工神经网络(SANN)模型

空间人工神经网络(SANN) 模型的神经网络结构如图5 所示[51-55].SANN 模型属于多点对单点的人工神经网络隐式结构模型.该模型构建了不同空间点上的滤波后的物理量和当地点上的亚格子不封闭项之间的非线性映射关系.

人工神经网络(ANN) 的输入层XI的神经元取为滤波后的速度和温度梯度.亚格子应力和亚格子热通量的分量通过ANN 分别训练.ANN 的不同层神经元数量为:M:1024:512:1,其中M是输入层神经元个数,输出层为亚格子不封闭项的分量.隐藏层的激活函数为Leaky-Relu 函数

输出层的激活函数为线性函数σ(a)=a.ANN 的损失函数采用反向传播算法最小化[51-55].

湍流的多尺度结构表明尺度接近滤波宽度∆的湍流结构对重构亚格子模型至关重要[79-82].SANN模型采用两个控制参数主导神经网络输入层的结构:

图3 大涡模拟模型在1283(hLES=∆/2)网格下的速度谱(续)Fig.3 Spectrum of velocity for LES at grid resolution of 1283(hLES=∆/2)(continued)

图4 Mt=0.4 和t/τ=3.37(τ= LI/urms 是大涡翻转时间)情况下的归一化速度散度云图,同时LES 网格为1283(hLES=∆/2),滤波宽度为∆=16δxFig.4 Contours of the normalized velocity divergenceon an arbitrarily selected x–y slice,at Mt=0.4,and t/τ=3.37(here τ= LI/urms is the large-eddy turnover time)for LES at grid resolution of 1283(hLES=∆/2)with the filter width ∆=16δx

输入量的空间模板宽度∆s和滤波宽度∆之比:Rs=∆s/∆;滤波宽度∆和空间模板的网格尺度∆g之比:Rg=∆/∆g.SANN(Rs,Rg)模型的输入参数空间为

图5 SANN 模型网络结构示意图Fig.5 Schematic diagram of the SANN’s network structure

其中下标p=1,2,3 是笛卡尔坐标,下标i=1,2,3 代表滤波后的速度分量,上标l,m,n表示间距为∆g的离散空间位置.SANN(Rs,Rg)模型的输入层神经元总数是M=12N=12(6RsRg+1).一维情况下的输入层的空间点个数与(Rs,Rg)的关系如图6 所示,M随着Rs和Rg增大而变大.

输入层XI和输出层XO通过它们的均方根和进行归一化

图6 SANN 模型的输入参数:(Rs,Rg)=(2,2)Fig.6 Input variables for the SANN model:(Rs,Rg)=(2,2)

ANN 的训练数据集是从直接数值模拟的数据中提取的包含15×643个点的空间子集,其中70%数据为训练集,30%数据为测试集.SANN(Rs,Rg) 模型通过Adam 算法训练1000 次(epoch)[83],同时训练样本集大小(batch size)为1000.SANN(Rs,Rg)模型预测的损失函数随迭代步数的变化曲线如图7 所示,训练集和测试集的损失函数随着迭代步数的增大而收敛.

图7 SANN(2,1)模型在Mt=0.4 时预测τ11的学习曲线Fig.7 Learning curves of the proposed SANN(2,1)model of unclosed SGS terms τ11,at Mt=0.4

1.5 SANN 模型的先验和后验分析

滤波宽度∆=32δx的DNS 数据被用于验证SANN 模型精度.DNS 数据参数如表2 所示.如图1 所示,滤波宽度∆=32δx位于惯性区,流场中约10%的湍动能被滤掉.

表4 展示了在测试集上不同参数(Rs,Rg) 对SANN(Rs,Rg) 模型预测亚格子应力分量τ11的影响,其中Rs=2.在不同湍流马赫数情况下,SANN(Rs,Rg)模型预测的相关系数和相对误差结果基本上是一致的.速度梯度(VG) 模型预测的相关系数约为0.88.SANN(Rs,Rg) 模型预测的相关系数达到0.995,相对误差小于10%,远低于VG 模型的50%.当Rg≥1 时,SANN 模型预测的相关系数接近1.随着Rg的增大,SANN 模型预测的亚格子不封闭项与DNS 数据提供的真实值趋于一致.

在后验测试中,LES 的网格分辨率为643(hLES=∆/2,FGR=2),滤波宽度为∆=32δx.SANN(2,1)模型和传统亚格子模型预测的速度谱如图8 所示.Nomodel 模型(即隐式大涡模拟,ILES) 预测速度谱的误差随着波数增大而明显变大.DSM 和DMM 模型在低波数k≤10 的情况下出现能量聚集,同时在高波数耗散过大.SANN(2,1) 模型预测的速度谱几乎与fDNS 的结果重合.

表4 在∆/δx=32 和Rs=2 的情况下,不同亚格子模型预测τ11的相关系数(C)和相对误差(Er): Mt=0.4,0.6,0.8,1.0Table 4 Correlation coefficient(C)and relative error(Er)of τ11for different models at filter width ∆/δx=32 and Mt=0.4,0.6,0.8,1.0 with Rs=2

不同亚格子模型预测的瞬态速度散度云图如图9 所示.DSM,DMM 和SANN(2,1) 模型均能预测出大尺度结构.SANN(2,1) 模型重构出更多的小尺度结构,更接近滤波后的直接数值模拟结果,在预测效果上优于DSM 模型和DMM 模型.

图8 SANN 模型在643(hLES=∆/2)网格下预测的速度谱Fig.8 Spectrum of velocity with SANN models for LES at grid resolution of 643(hLES=∆/2)

综上所述,SANN 模型在先验验证中的精度远高于传统模型,在后验验证中预测的能谱和瞬态流动结构都和滤波后的直接数值模拟结果保持一致,优于ILES 方法、DSM 和DMM 模型的预测结果.SANN模型在不可压缩湍流大涡模拟中的研究见参考文献[55].

2 反卷积人工神经网络(DANN)模型

上述介绍的两种人工神经网络模型(ANNMM和SANN 模型)是对亚格子不封闭项直接建模,而反卷积人工神经网络(DANN) 模型[56]是一种间接建模的人工神经网络半隐式结构模型.在这类模型的输入和输出的映射关系中,出现了卷积算子和反卷积算子,其中,反卷积算子采用人工神经网络隐式结构模型.首先通过人工神经网络建立不同空间点上的滤波后物理量和当地点上的原始未滤波物理量之间的非线性映射关系;然后将人工神经网络重构的原始未滤波物理量代入亚格子不封闭项的计算公式,得到建模的亚格子不封闭项.

本文将DANN 模型应用于不可压缩均匀各向同性湍流,亚格子不封闭项仅包含亚格子应力,通过人工神经网络建立滤波后速度与原始未滤波速度的非线性映射关系,其神经网络结构如图10 所示.

类似于SANN 模型,DANN 模型采用两个控制参数主导神经网络输入层的结构:输入量的空间模板在每个方向上的点数D(D=2Rs+1);滤波宽度∆和空间模板的网格尺度∆g之比:Rg=∆/∆g,则输入层的神经元个数为M=3×D3.DANN(D,Rg)模型共包含输入层XI、4 个隐藏层Xh和输出层XO,其中输入和输出参数空间分别为

图9 Mt=0.4 和t/τ=3.37(τ= LI/urms 是大涡翻转时间)情况下的归一化速度散度云图,其中LES 网格为643(hLES=∆/2),滤波宽度为∆=32δxFig.9 Contours of the normalized velocity divergenceon an arbitrarily selected x-y slice,at Mt=0.4,and t/τ=3.37(here τ= LI/urms is the large-eddy turnover time)for LES at grid resolution of 643(hLES=∆/2)with the filter width ∆=32δx

图10 DANN 模型网络结构示意图Fig.10 Schematic diagram of the DANN’s network structure

DANN 模型的不同层神经元数量分别为M:128:128:64:64:3,其中输入层神经元个数M=3×D3,输出层为原始未滤波速度分量.隐藏层的激活函数为Leaky-Relu 函数.

DANN 模型的输入输出层分别选取滤波后速度的均值和标准差进行归一化

将人工神经网络预测的原始未滤波物理量代入亚格子未封闭项的计算公式,即可得到DANN 模型重构的亚格子应力

相比于人工神经网络全隐式结构的SANN 模型,DANN 模型具有良好的物理性质,满足对称性和可实现性条件[56].

类似于SANN 模型,DANN(D,Rg)模型的训练样本集是从DNS 数据中随机选取包含2×643个点的空间子集,其中70%数据为训练集,30%数据为测试集.通过Adam 算法训练2000 次[83],学习率为0.01.显式滤波选取高斯滤波器,滤波宽度∆=32δx.

表5 展示了在测试集上不同控制参数(D,Rg)对DANN(D,Rg)模型预测亚格子应力各个分量的影响,其中滤波宽度∆=32δx.速度梯度(VG) 模型预测的相关系数约为0.91.DANN(D,Rg)模型预测的相关系数达到0.99,相对误差小于15%,远低于VG 模型的49%.随着Rg的增大,空间模板的网格尺度越小,DANN 模型预测的亚格子应力与DNS 数据计算的真实值趋于一致.

在后验测试中,LES 的网格分辨率为643(hLES=∆/2,FGR=2),滤波宽度为∆=32δx.DANN 模型和传统亚格子模型预测的速度谱和局部放大图如图11所示.No-model 模型(即隐式大涡模拟,ILES)预测的速度谱与fDNS 偏差较大,且预测误差随着波数的增大而显著增大.DSM 和DMM 模型在滤波尺度附近耗散过大,导致能量不能从大尺度顺利地传递到小尺度,在低波数k≤10 的情况下出现能量聚集,同时在高波数区域耗散过大.DANN(5,2)和DANN(9,2)模型预测的速度谱几乎与fDNS 的结果完全重合,很好地模拟了湍流的能量级串过程.

表5 不同参数的DANN 模型预测亚格子应力分量的相关系数(C)和相对误差(Er)(∆/δx=32)Table 5 Correlation coefficient(C)and relative error(Er)of SGS stress components for different DANN models at filter width ∆/δx=32

不同亚格子模型预测的瞬态涡量云图如图12 所示.DSM 和DMM 模型耗散过强,仅能预测出大尺度结构.DANN(5,2)模型可以重构出更多精细的小尺度结构,更接近于滤波后的直接数值模拟结果,在预测效果上明显优于DSM 模型和DMM 模型.

综上所述,DANN 模型在先验验证中的精度远高于传统模型,在后验验证中预测的能谱和瞬态流动结构都和滤波后的直接数值模拟结果保持一致,优于ILES 方法、DSM 和DMM 模型的预测结果.此外,相比于人工神经网络全隐式结构的SANN 模型,基于近似反卷积算子的DANN 模型具有良好的物理性质,满足对称性和可实现性条件[56].

图11 DANN 模型在643(hLES=∆/2)网格下预测的速度谱Fig.11 Spectrum of velocity with DANN models for LES at grid resolution of 643(hLES=∆/2)

图12 t/τ=5 情况下的瞬态归一化涡量云图,其中LES 网格为643(hLES=∆/2),滤波宽度为∆=32δxFig.12 Contours of the normalized vorticity magnitudeon an arbitrarily selected x–y slice,at t/τ=5 for LES at grid resolution of 643(hLES=∆/2)with the filter width ∆=32δx

3 结论

本文讨论了用机器学习方法重构湍流大涡模拟中的亚格子不封闭项的最新研究成果.传统的亚格子模型具有计算量小、泛化能力强的优点.但由于只利用了单点流场信息和简单的函数关系,传统亚格子模型存在先验误差大、后验耗散过大的问题.

本文总结了几种不同的基于人工神经网络的高精度亚格子模型.根据建模方法的不同,分别介绍了人工神经网络显式代数模型中的ANNMM 模型,人工神经网络隐式结构模型中的SANN 模型,以及基于反卷积算子的DANN 模型.和传统的亚格子模型相比,SANN 模型和DANN 模型考虑了湍流的多尺度特征,特别是尺度在∆/2 和2∆之间的流动结构对亚格子不封闭项的作用.SANN 和DANN 模型的先验预测精度高,相关系数达到0.99 以上,相对误差小于15%,同时在后验验证中,能够精确地预测湍流场的统计性质和空间结构.

上述这些研究结果,展示了人工神经网络方法在发展高精度、高效率的亚格子模型方面的巨大潜力.为了提高人工神经网络模型的可解释性和泛化能力,需要将更多的湍流物理特性融入到人工神经网络模型中,包括:多样化的几何外形、复杂的湍流类型、涡结构与激波结构的相互作用,以及湍流的时空特征等.