“类比”视角下的小学数学教学

赵利琴

[摘  要] “类比”不仅是数学思维的“法宝”，也是数学创造的“法宝”。在小学数学教学中，教师要引导学生在数学概念学习中“类同”，在数学方法学习中“类异”，在数学原理学习中“类推”。通过类比学习，不仅有助于学生建构、创造数学新知，更能有效提升学生的数学学习能力，发展学生的数学核心素养。

[关键词] “类比”视角;类同;类异;类推

所谓“类比”，是指“一种找出两个或者两个以上事物的某些相同、相异、相似、相反等特征，将一事物的有关属性、特质推移到另一事物的过程”。“类比”是学生数学学习常用的一种思想方法、策略方式。“类比”不仅是数学思维的“法宝”，也是数学创造的“法宝”。在小学数学教学中，实施类比教学，能丰富学生的想象力，帮助学生认识数学知识的内在本质、结构，从而深化学生对数学知识的理解。类比教学，有助于学生数学学习积极迁移，能有效地提升学生的数学学习效能。基于“类比”视角，教师在数学教学中要深入发掘类比思维的时空，稳固类比思维的根脉，对不同类型的数学知识进行不同的类比。通过比较、分析，引导学生积极地求同、求异、求似，进而助推学生的数学学习迁移。

一、在数学概念教学中“类同”

概念是学生数学学习的重要组成部分，是数学知识的基本组成要素。概念教学是数学教学的重中之重。作为教师，在数学教学中要深入研究概念教学。从根本上说，概念教学有两个主要的方面：一是引导学生把握概念的内涵，二是引导学生把握概念的外延。概念学习过程说到底就是去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的抽象化、概括化的过程。抽象、概括是概念学习的重要思想。作为教师，要善于引导学生舍弃数学概念的非本质属性，提炼概念的本质属性，这个过程需要学生展开积极的“类同”。

为此，在概念教学中，教师要给学生提供与概念有关联的多样、丰富的素材，引导学生进行比较、抽象和概括。这个过程偏重于同化建构、上位迁移。其中，一种是同类事物的抽象、提炼;另一种是跨层次事物的抽象、提炼。比如教学“高”这一概念，需要教师循序渐进地引导学生认知。首先是学习三角形的高，其次是学习平行四边形的高，再次是学习梯形的高，等等。比如教学“三角形的高”这一概念，教师不仅要呈现标准范式，还要呈现多样的非标准的其他范式。如锐角三角形的三条高、直角三角形的三条高、钝角三角形的三条高等。以“锐角三角形的高”为例，教师不仅可以变化三角形的位置，还可以改变三角形的方向，等等。通过多元化变式引导学生建立本质意义上的“三角形的高”的概念。在此基础上教学“平行四边形的高”，就可以从图形特征、数学概念、位置关系、知识关联等方面引导学生进行类比。比如在图形特征方面，三角形的高是顶点到底边的垂直距离，因此平行四边形的高就是顶点到对边的垂直距离。为此，笔者重点引导学生思考经过三角形一个顶点可以画几条高、经过平行四边形的顶点可以画几条高，等等。比如在位置关系方面，引导学生对比三角形的高的位置和平行四边形的高的位置，从而让学生认识到三角形的高只有三条，而平行四边形的高却有无数条，在平行四边形的两条平行边之间的垂直线段的长度都是平行四边形的高，等等。通过“三角形的高”“平行四边形的高”以及“梯形的高”等概念的建立，才能帮助学生有效地建构“高”的概念。显然，这个过程是一个“类同”的过程，它能集中、有效地体现学生的数学抽象素养。

概念教学过程中的“类同”，要让学生思考并用数学语言描述对象的共同要素和逻辑关系。这个过程需要引导学生完整经历解构、变换、类比等思维、想象的过程。在数学教学中，教师要引导学生进行知识对比，从而让学生厘清易于混淆的知识点，进而对相关的知识进行查漏补缺;要引导学生有效地梳理和整合相关的数学知识，让学生掌握相关的知识结构，帮助学生形成数学的大概念、高端点等，促进学生学习能力的提升，促进学生数学核心素养的生成。

二、在数学方法教学中“类异”

“类同”是一个从多样化到本质化、单一化的思维、推理过程。与此相反，“类异”就是运用数学抽象或直观想象，帮助学生建构不同的数学模型、实施多样化应用的过程。在数学方法教学中，教师要有效地利用“类异”，丰富学生在情境中实践应用的感受与体验。换言之，同样的数学法则、定理等在不同的情境中有着不同的应用。

比如行程问题总体的解题方法、公式、策略等是“路程=速度×时间”，但在具体的应用过程中可以分为“相遇问题”和“追及问题”，因而解题方法、公式、策略等就相应地演变为了“路程和=速度和×相遇时间”“路程差=速度差×追及时間”。不仅如此，在“相遇问题”中，又可以分为“相向而行问题”和“相背而行问题”，而且在这些问题中，情境又有着丰富的变化，如“同时出发”“先出发”“中途休息”等。不同的问题情境必然要对公式、方法等进行变异应用。比如这样的一道习题就需要教师引导学生从整体上进行思考：“甲、乙两车同时从A、B两地相对匀速开出，到达终点后迅速返回，第一次在距离A地50千米处相遇，第二次在距离B地30千米处相遇，两地相距多少千米？”第一次相遇，甲、乙两车一共行驶了一个全程，其中甲车行驶了50千米;第二次相遇，甲、乙两车一共行驶了三个全程，甲车行驶了三个50千米，也就是150千米;而这时甲车也行驶了一个全程再加上30千米，因此全程是120千米。这样的数学问题，运用了基本行程问题的解题方法，但却不是简单的应用，而是一种情境变化式的灵活应用。

在数学教学中，这样的解题方法“类异”的问题有很多，比如著名的“苏步青问题”，即“两人从相距3000米的两地相向而行，甲每分钟行140米，乙每分钟行160米，甲带着一只狗，狗每分钟行250米。狗同甲一起出发后，遇到乙时即转身向甲走，如此反复，直至甲、乙两人和狗同时相遇，狗一共走了多少米？”在解决这类问题的过程中，学生需要运用的就是行程问题的基本数量关系。但显然，这不是机械地套用，而是要求学生灵活地、灵动地应用。在数学教学中，教师首先要让学生掌握最基本的数量关系，如工程问题的“工作效率×工作时间=工作总量”，倍比问题的“一份数×份数=总数量”，分数应用题的“单位‘1’的量×分率=比较量”，等等。在此基础上，通过变式教学，引导学生灵活迁移所学的知识、方法、策略，引导学生有效地观察、猜想、思考、类比、发现，帮助学生解决问题。

三、在数学原理教学中“类推”

所谓“原理”，是指“具有普遍意义的基本规律”。数学中的原理、公理、定理、法则等是人们在大量的观察、实践的基础上，经过比较、归纳、概括、推理而形成的。作为教师，在数学教学中要引导学生积极地进行“类推”，从一类原理、定理、法则等类比出有关联的其他原理、定理、法则等。通过这样的“类推”，助推学生自主建构、创造数学知识。

比如教学“比的基本性质”，教师就可以从学生已掌握的数学原理“商不变的规律”“分数的基本性质”“小数的性质”等展开教学。一方面，教师要帮助学生复习“比与分数、比与除法的联系与区别”，另一方面要帮助学生复习“商不变的规律”“分数的基本性质”，从而催生、唤醒、激活学生的“类推”心理，产生“类推”动力，构建新旧知识的链接点、新知识的生长点。在除法中有“商不变的规律”，在分数中有“分数的基本性质”，在小数中有“小数的性质”，那么在比中是否有“比值不变的规律”，是否有“比的基本性质”呢？正是通过“类推”，能引导学生积极地、大胆地且符合情理地进行数学猜想，并根据除法、分数、小数和比的内在关联，助推学生独立地提出猜想、验证猜想，从而自主地建构数学知识。在数学原理的“类推”过程中，教师不仅要引导学生认识“原理是什么”，更重要的是要引导学生思考、探究“原理为什么”。原理“类推”的关键在于：深入理解事物的本质，把握事物的内容、形式、关系。通过“类推”，学生能积极地、主动地从一类特定对象的原理、规律、性质推导另一类特定对象的原理、规律和性质。可以这样说，“类推”是人类数学知识学习中经常应用的一种模式。通过“类推”的思维模式，逐步培育学生学会“数学地思考”，让学生形成“数学的眼光”和“数学的大脑”。

“类比”在学生的数学学习中发挥着无法比拟的作用。通过“类比”，能帮助学生理顺数学知识的本质联系。数学概念的“类同”、方法的“类异”以及原理的“类推”，其实质是引导学生发现、提炼概念、方法、原理等的本质，以及洞察概念、方法和原理等之间的联系。引导学生完整经历“类比”过程，不仅有助于学生建构数学知识，还有助于提升学生的数学学习能力，发展学生的数学核心素养。

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