半开式叶轮离心泵气液两相条件下内部流动特性分析

司乔瑞，郭勇胜，田 鼎，马文生，张皓阳，袁寿其※

半开式叶轮离心泵气液两相条件下内部流动特性分析

司乔瑞1，郭勇胜1，田 鼎1，马文生2，张皓阳1，袁寿其1※

（1. 江苏大学流体机械工程技术研究中心，镇江 212013；2. 重庆水泵厂有限责任公司，重庆 400033）

半开式叶轮离心泵输送气液两相流时，其性能经常随入流含气率（）的增加而下降，主要由内部的气液两相不稳定流动造成。为解决传统欧拉双流体模型不能考虑气泡直径变化及气泡形变的问题，采用一种群体平衡模型（Musig模型）数值计算了某设计比转速为88.6的半开式叶轮离心泵在不同入流含气率下的内部流场，并进行了试验验证。研究结果表明：模型泵在1 000 r/min可输送液体的最大入流含气率为4.6%；>3%以后，Musig模型由于能表征气泡形态及破碎与聚合过程等气液两相流演化规律，其外特性计算结果比欧拉-欧拉双流体模型准确，且与可视化试验流型测试结果较为吻合；4%时扬程系数和效率与试验结果的最大误差分别为1.6%和5%；随着入流含气率的增加，叶轮和蜗壳流道内逐步出现均匀泡状流、聚合泡状流、气穴流和分离流等流型分布，设计流量下≤1%时以均匀泡状流为主，=3%时以聚合泡状流为主，=4%时以气穴流为主，≥4.2%时出现分离流并逐渐堵塞流道；叶顶间隙是影响泵内气液两相流型分布的重要原因，叶轮流道中存在大尺度漩涡和出口回流现象，且随着含气率的增大越发明显，进而在高含气率区域引发较大的湍动能分布，加剧了泵内部的不稳定流动，最终导致≥4.6%后的泵空转。该研究可为综合分析离心泵内部不稳定流动规律提供一定参考。

离心泵；气液两相流；Musig模型；数值模拟；可视化

0 引 言

半开式叶轮离心泵具有结构简单、无堵塞性好等优点，被广泛应用于农业、市政、石化工业等领域[1]。与闭式叶轮相比，半开式叶轮易于加工，但由于叶片与壳体间存在叶顶间隙其内部流动更加复杂，流动损耗较高[2-4]。农业工程领域常会遇到泵输送气液两相流的现象，如长距离有压管道内气体的析出、生物质发酵和村镇污水处理等[5-6]。气相的加入会增加泵内流动结构的复杂性，严重时会造成流道堵塞，进而引起泵的性能陡降，甚至产生气锁，危害机组的安全运行[7]。

国内外学者对半开式叶轮离心泵内部流场进行了大量的研究，大都认为其性能受叶顶间隙、叶轮和蜗壳的动静干涉作用影响较大[8-10]。半开式叶轮离心泵流体输送领域常出现入流含气问题，杨敦敏等[11]利用高速摄像和图像处理技术获得了某模型泵不同掺气量和运行工况下多气泡滞留图谱。Shao等[12]采用高速摄影观测到叶轮内的四种流型，即：孤立泡状流、泡状流、气穴流和分离气泡流。Si等[13]试验研究了某开式离心泵不同入流含气率下泵性能变化和气液两相流型位置分布。但受泵外形结构及气液两相流体属性的限制，获得泵内部流场的速度、湍动能等特性较难实现。Zakem等[14-15]最早开发了基于一维不可压缩双流体模型的数值预测方法，通过对叶轮内气泡运动进行理论受力分析，提出气体的积聚是由于气泡在叶轮内的受力不均匀导致的。Minemura等[16]提出了一种基于均匀泡状流模型的三维数值方法。随着计算流体力学技术的快速发展，基于欧拉双流体模型的气液两相数值模拟方法首先在离心泵泵送气液两相流领域进行了应用。卢金玲等[17]基于泡状流并结合欧拉模型方法对离心泵叶轮内的气液两相流动进行了数值模拟。袁建平等[18]采用欧拉非均相流模型计算了气液两相流条件下离心泵内部流动，发现当含气率达到10%时在叶轮流道内靠近吸力面处已经出现比较明显的相态分离。但传统的欧拉-欧拉双流体模型在考虑气泡离散相粒子直径变化以及气相之间的聚合作用与破碎方面作用有限，导致在高含气量时的模拟与试验结果误差较大。Trupen等[19]采用体积比（Volume of Fluid）气液两相模型结合SST湍流模型模拟了带诱导轮开式叶轮离心泵气液两相流场，但没能预测出入流含气率为5%时的扬程陡降。Musig模型是将气泡按照直径分成多组，针对每一组建立平均气泡数量密度模型，在处理高沸点流体的流动中已广泛应用[20-21]。研究结果表明，Musig模型对于当地气泡尺寸的预测能力及适用范围明显优于单一的气泡直径分布函数。在旋转机械领域，Musig模型在泵送气液两相动的研究还较少。袁寿其等[22]基于Musig模型数值分析了某不锈钢闭式叶轮离心泵不同入流含气率下的内部气液两相流动分布，但仅与外特性试验进行了对比，缺乏对流型分布的验证。

本文以某有机玻璃造半开式叶轮离心泵为研究对象，通过流场数值模拟和高速摄影试验，探究能更准确地描述流场内气泡破裂和聚合的群体平衡模型（Musig模型）在泵内气液两相流动模拟的实用性，进而分析入流含气率、叶顶间隙等对半开式叶轮离心泵气液两相流场特性的影响。

1 数值计算模型

1.1 模型泵

模型来源于某农田灌溉泵，主要参数为：设计流量d=12.8 m3/h，设计比转速s=88.6，泵进、出口管直径均为65 mm，叶轮进口直径1=87 mm，叶轮出口直径为2=174 mm，叶片出口宽度2=12 mm，叶顶间隙=1 mm，叶片数=6，转速=1 000 r/min。为了方便流场可视化试验，模型泵的蜗壳及进口管做成一体，与半开式叶轮一样均采用聚甲基丙烯酸甲酯透明有机玻璃加工，最终与不锈钢泵盖、托架、轴等普通单级单吸离心泵部件一样组装成样机，实物模型如图1所示。

1.2 计算域与网格划分

计算域如图2所示，包括进口、叶轮、蜗壳、泵腔、出口5个部分，为保证进出口边界处的流动充分发展，对进、出口分别进行了5倍管径的延长。

采用Ansys ICEM对计算域进行网格划分，除叶轮采用非结构网格外，进出口，泵腔和蜗壳均采用结构化网格，如图3所示。为使最终网格数既可以保证计算精度，又可以平衡计算资源和计算时间，对半开式叶轮离心泵计算域网格进行无关性分析。对5套不同网格数量半开式叶轮离心泵进行0.75d工况下的定常数值计算。为了便于分析，对泵的流量和扬程进行了无量纲处理，流量系数和扬程系数的定义如式（1）和式（2），最终获得了如图4所示的扬程系数变化曲线。由图可知，当网格数大于430万后，扬程系数值2%以内波动，故取430万作为最终的计算网格数。

式中表示体积流量，m³/h；2表示叶轮半径，m；2表示叶片出口圆周速度，m/s；2表示叶片出口宽度，m；表示扬程，m。

1.3 物理模型设置

进行泵送气液两相流计算时需设置湍流模型和气液两相流模型。计算时湍流模型选取标准-模型。气液两相流计算时分别选用欧拉-欧拉双流体[18]和Musig模型计算，由于空气和水之间没有热量或质量的传递，因此只考虑质量和动量守恒。欧拉-欧拉双流体模型把两相流场中各项分别假设为连续介质，各相的流动参数在相界面上发生间断，相界面的质量、动量和能量传递用两相流模型表征，不足之处在于无法考虑气泡直径变化及形变。

Musig模型是一种考虑不同直径的离散相气泡的多尺寸组模型，其忽略了传统均匀离散相的假设（即所有气泡具有相同的直径和形状），能捕获气泡的聚结和破裂演变，在非均匀相化学反应模拟方面广泛应用。Musig模型通过将出现的气泡按照直径大小分成组来分析气泡之间发生的物理现象，每一组粒子拥有各自独立的连续性方程，但却拥有同一套动量方程，对于第(=1，2，…，)组气泡，其数量密度运输方程如式（3），定义f为单位控制容积内第组气泡的总体积与当地气相体积分数的比值，式（3）两侧乘以气相密度ρ，可以将其转化为第组气泡的连续性方程，如式（4）所示。第组气泡的质量变化与数量密度变化如式（5）所示[23-24]。

其中

计算时，将25 ℃的纯水以及空气混合作为流体介质，入口边界设定气相体积分数，入口压力为101.325 kPa，出口设置为质量流量。选用欧拉-欧拉双流体模型时将气泡设置为0.2 mm的等直径的球形气泡，动量传递方式采用Schiller Nauman模型。选用Musig多组分模型时选择10组气泡，最小气泡直径为0.1 mm，最大气泡直径为1 mm，设置进口气泡直径50%为0.5 mm，50%为0.6 mm。泵转速为1 000 r/min，计算时间步长为0.000 5 s，计算总时间1.74 s，取最后计算稳定的一周模拟数据进行分析。

2 试验台搭建及测试方法

2.1 试验台

为验证数值模拟结果，搭建了如图5所示的泵送气液两相流试验台[23]，水循环系统主要包括有机玻璃泵、扭矩仪、电机、电动控制阀、可升降导轨、开式水箱、闭式水箱、球阀、气液分离器、电磁流量计、压缩机、稳压罐、气体流量控制器和气液混合器等。通过升降台导轨调节开式水箱的高度，可保证不同试验工况下泵进口压力保持在恒定值。压缩机提供的气体，经气体质量流量控制器调控后可以恒定的压力和体积流量与闭式水箱的来水在气液混合器中混合。泵出口的气液混合流体经开式水箱和汽水分离器后，剩余纯水重新与压缩机提供的气体混合，以预设的含气率进入泵。

数据采集系统包括LabVIEW程序、NI 6343采集卡、Bürkert 8711型气体流量控制器和Phantom VEO 710S型高速摄影机，主要进行不同入流含气率下的泵外特性和内部气液两相流型的可视化试验。纯水试验时，整个试验台仪器测试精度符合GB/T 3216—2016规定的2级精度。

2.2 测试方法

进行不同入流含气率下的泵外特性试验时，首先使泵稳定运转在某一流量下，根据需要的入流含气率计算相应的通气量并输入Bürkert气体流量控制器控制程序，同时启动压缩机，根据使用说明待稳压罐储存气量达到输出压力0.4 MPa后打开通气阀门。入流含气率的计算公式如下：

式中Q为试验泵进口的纯水体积流量，m³/h；Q为气体体积流量，m³/h。根据电磁流量计和气体质量流量计的精度可计算得入流含气率的不确定度为0.005%。结合LabVIEW程序和NI 6343采集卡获取不同入流含气率下泵进、出口压力传感器输出的压力数据，以及扭矩仪输出的扭矩值，经过计算可得试验泵不同入流含气率下的外特性曲线。

可视化试验拍摄时要尽可能使运动部位处在画面中部且运动平面法线与摄像机镜头平面垂直，以尽量减小圆弧误差和角度误差。考虑到拍摄图像的清晰度以及便于同时观察气泡在叶轮、蜗壳隔舌附近的流动以及两者动静干涉的影响，选取图6中的I区域作为拍摄区域。试验时将试验泵后盖部位进行涂黑，并采用特制的光源对拍摄区域进行补光，通过调节拍摄距离和镜头焦距等方法获得最佳的拍摄效果。最终选取的拍摄帧速率为每秒传输8 000 帧，对应的图像分辨率为1 024×800，曝光时间为30s。

3 结果与分析

3.1 不同含气率下两种气液两相流模型外特性对比

模型泵1 000 r/min时不同含气率下的流量-扬程性能曲线如图7所示。由图可知：1 000 r/min时模型泵能达到的最大含气率为4.6%（设计流量下q=0.06），且随着含气率的增加，半开式叶轮离心泵的可运行范围逐渐减小；当=1%时，泵扬程与纯水工况相比几乎不变；小流量工况，泵扬程对气体更加敏感。

图7 不同入流含气率下模型泵流量-扬程性能曲线

Fig.7 Flowrate head coefficient pump performance curves under different inlet air void fraction

值得注意的是，试验泵的进口为水平管，为观测水平管内的气液两相流动情况，进行了设计流量下不同入流含气率时可视化试验，进口管气泡分布如图8所示。由图可知：随入流含气率从1%到4.6%增加，进水管内气泡数量也随之增加，由于重力的原因气泡从注气口至叶轮进口逐渐聚为气泡团并且分布在管道和叶轮进口的上部；含气率4.6%以下，管道内的气液两相流动（团状流）没有造成流道堵塞；每种入流含气率下的气泡团在进入叶轮时均首先聚集在叶片顶端靠近前泵腔处，由于气泡直径远大于叶顶间隙，继而被旋转的叶片打碎后进入流道，由于叶片旋转速度远大于气泡轴向移动速度，可认为气泡均匀的进入叶轮各流道。

图9为q=0.06时分别采用欧拉-欧拉双流体模型和Musig模型进行数值计算获得的模型泵外特性与试验结果的对比。由图可知：小含气率下两种模型预测的结果相似，均与试验所得结果相差不大，在误差允许的范围之内，欧拉-欧拉双流体模型计算的扬程与试验值更接近，Musig模型计算所得的效率与试验值更加接近；含气率大于3%以后，Musig模型计算所得结果的误差更小，含气率4%时扬程系数和效率最大误差分别为1.6%和5%，说明大含气率下Musig模型更能表征气泡形态及破碎与聚合过程等气液两相流演化规律。综上，Musig模型相对于双流体模型更适用于试验泵不同入流含气率下内流场分析。

3.2 气泡分布及可视化验证

图10为q=0.06时基于Musig模型计算的不同含气率下泵内部流场场中间截面气体分布，入流含气率分别为1%～4.6%不等间距取值。由图可知：当入流含气率比较小（=1%）时，除个别叶轮流道出口处出现的气体聚集之外，大部分叶轮流道含气较少，此时流型分布主要为均匀泡状流，且气泡主要聚集在叶片出口背面，随液流流向叶轮出口；入流含气率由2%增加至3%时，叶轮流道内高含气率范围逐渐扩大，在叶轮流道出口靠近叶片吸力面附近出现极高含气率分布，表明在该位置处发生了明显的气泡聚合现象，此时叶轮流道内气液两相流流型分布从聚合泡状流向气穴流过度；当含气率达4%以上时，叶轮内气体从出口向进口逐渐蔓延，主要分布在叶片吸力面和出口边处，局部区域体积含气率达到了100%。离心泵叶片吸力面压力小于压力面，受压差作用，气泡向吸力面运动，并沿吸力面向进口运动，一定程度上堵塞了叶轮流道，导致半开式叶轮离心泵性能变差，此时的气液两相流流型分布可判定为气穴流为主；当入流含气率比较小（≤3%）时，蜗壳处有少量气体出现，局部区域气体体积分数达到0.3，随着入流含气率的增大，蜗壳处局部区域体积含气率也逐渐增大。当入流含气率达到4.5%时，蜗壳出口处的气体体积分数达到0.7。

上述结果与图11可视化气泡分布结果（相同叶片隔舌位置处）对应良好，证明在较高入流含气率的情况下叶轮流道内流型分布发生了明显的变化。随着入流含气率的增加，小气泡（=1%时以均匀泡状流为主）数量逐渐增加并汇聚，形成较大的气泡（=3%时聚合泡状流为主），并最终形成气穴（=4%时的气穴流为主），堵塞部分叶轮流道，导致泵性能下降。入流含气率的进一步增加会导致在半开式叶轮离心泵隔舌附近的流动结构发生变化，在叶轮出口区域附近可以观察到强烈的气液分离，进一步阻塞整个叶轮流道，但蜗壳内仍然存在一些孤立的气泡。当入流含气率提高至4.6%时，叶轮出口的气泡在隔舌附近聚集，造成堵塞，最终导致泵空转。Musig模型计算的半开式叶轮离心泵气体分布图与试验可视化结果相似度高，说明Musig模型计算的内部流动分布更符合实际情况。

图10 Musig模型计算的不同入流含气率下模型泵内气体分布

图11 不同入流含气率半开式叶轮离心泵内可视化结果（Cq=0.06）

3.3 湍动能分析

图12为模型泵q=0.06时不同含气率下半开式离心泵中间截面的湍动能。由图可知：当入流含气率较小（=1%）时，叶轮内的湍动能较小，尤其是叶轮进口和叶轮流道内；随着入流含气率的增加，叶轮内湍动能逐渐增大；当入流含气率超过3%时，在叶轮出口处湍动能增加明显，靠近蜗壳隔舌处叶轮流道出口的最大值为1 m2/s2，能量耗散较严重。湍动能与叶轮内的含气率有密切的联系，含气率的增加引起了湍动能的显著增加，说明气体的聚集加剧了叶轮流道内流体流动不稳定性，导致湍流脉动的增大，这对此半开式叶轮内流体能量交换和传递造成了影响，使其运行性能降低。

图12 不同含气率下半开式离心泵中间截面的湍动能

3.4 叶顶间隙涡变化规律分析

半开式离心泵由于叶片与泵体存在间隙，会影响叶轮内气泡的分布。q=0.06时不同含气率下叶顶间隙中间截面的气相速度分布如图13所示。由图可知，半开式叶轮离心泵的气体速度沿叶轮的半径方向呈现增加的趋势，最大速度分布在叶轮出口和蜗壳的间隙，最大值为7 m/s。并且叶轮流道中可以观察到大尺度漩涡和回流，这种现象随着含气率的增大越发明显。结合图11试验可视化结果分析，这是因为随着入流含气率的增加，叶轮流道内的气泡越来越多，且由较小的气泡变为较大的气泡，叶轮流道内流型分布随入流含气率的增加发生明显变化，从低含气率时的均匀泡状流变为高含气率时的大量分离流和回流。

为研究叶片与蜗壳隔舌间动静干涉作用对叶顶间隙处的流动的影响，需进行不同叶片与隔舌相对位置的流场瞬态分析。假定为一个叶轮流道旋转通过蜗壳隔舌的时间，则=60/=0.01 s。图14为q=0.06时3种入流含气率下1/6内的6个′时刻时叶轮轴截面上的气体分布，彩色区域为聚集的气泡团。由图可知：不同时刻泵内气泡主要集中于叶轮流道出口附近，即图中的上下区域。当入流含气率=1%时，气泡团的体积较小，随着入流含气率增大，气泡团逐渐变大，当入流含气率=4.6%时，叶片出口处的气体占据了轴向大部分流道，结合图10可认为此含气率下流道堵塞，是恶化泵性能进而造成泵空转的主要原因。三种入流含气率下，气泡团均随时间从叶片工作面（0时刻）往叶顶间隙转移，穿过间隙（0.6′时刻）至叶片背叶面（0.8′时刻），在1.0′时刻开始新的循环。

4 结 论

本文探索了半开式叶轮离心泵内气液两相流场数值模拟方法，搭建了试验台对模拟结果进行外特性和流场可视化试验验证，然后基于Musig模型计算结果分析了不同入流含气率下的模型泵内部流动特性。主要结论如下：

1）设计流量下，欧拉-欧拉双流体和Musig两种模型计算的外特性曲线均与试验曲线趋势一致，小含气率时两种模型预测的结果相似，均与试验所得结果相差不大，随入流含气率增大，尤其是入流含气率大于3%以后，Musig模型计算的结果与试验值更接近，含气率4%时扬程系数和效率与试验值最大误差分别为1.6%和5%，说明大含气率下Musig模型更能表征气泡形态及破碎与聚合过程等气液两相流演化规律，相对于双流体模型更适用于试验泵气液两相流流场分析。

2）随着入流含气率的增加，叶轮和蜗壳流道内逐步出现均匀泡状流、聚合泡状流、气穴流和分离流等不同的气液两相流流型分布，设计流量下入流含气率小于1%时以均匀泡状流为主，随着入流含气率逐渐增大至入流含气率等于3%时以聚合泡状流为主，入流含气率等于4%时以气穴流为主，入流含气率大于4.2%时出现分离流并逐渐堵塞流道，最终入流含气率大于4.6%以后泵出现空转现象。

3）基于Musig模型分析了不同含气率下半开式叶轮离心泵的流场特性，叶顶间隙是影响泵内流型的重要因素，气泡的聚并和破碎严重影响到流场内部能量的波动，而能量的波动导致泵内流场的不稳定性加剧。叶轮流道中有大尺度漩涡和回流现象，这种现象随着含气率的增大越发明显。同时，含气率高的区域引发了较大的湍流动能分布，说明气体的进入加剧了离心泵内部的不稳定流动。

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Yuan Shouqi, He Wenting, Si Qiaorui, et al. numerical simulation of internal flow in gas-liquid two-phase flow centrifugal pump based on MUSIG model[J]. Journal of Drainage and Irrigation Mechanical Engineering, 2021, 39(4): 325-330, 337. (in Chinese with English abstract)

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Study on the inner flow characteristics of an inside unshroud impeller centrifugal pump under gas-liquid two phase condition

Si Qiaorui1, Guo Yongsheng1, Tian Ding1, Ma Wensheng2, Zhang Haoyang1, Yuan Shouqi1※

(1.,,212013,;2..,.,400033,)

The unsteady gas-liquid two-phase flow has often posed a great threat to thepump performance, particularly with the increase of inlet gas void fraction during transportation. The traditional two-fluid model cannot consider the variation of bubble diameter and the interaction between bubbles. In this study, a group equilibrium model (Musig model) was proposed to simulate the internal flow in the centrifugal pump with the semi-open impeller under different inlet gas void fractions. The simulation works were then verified by the experimental pump performance and visualization test. Some parameters were obtained, including the pump performance, the bubble distribution in the middle section, and the turbulent kinetic energy distribution under different inlet void fractions at the design flow rate. A proper cause was analyzed for the deterioration of pump performance under a large void fraction, together with the velocity distribution and bubble variation at the tip clearance between blade and pump casing. The results show that the maximum handing ability was 4.6% about the inlet gas void fraction of the model pump at 1000 r/min. When the void fraction was greater than 3%, the Musig model was more accurate to predicate the pump performance, particularly suitable for the evolution of gas-liquid two-phase flow, such as bubble morphology, fragmentation, and polymerization, compared with the Euler-Euler two fluid model. Specifically, the maximum errors of head coefficient and efficiency were 1.6% and 5%, respectively, when the inlet gas void fraction was 4% at a pump design flow rate. Moreover, the predicted bubble distribution and flow pattern were consistent with the visualization experiment. The flow patterns (such as the uniform/polymeric bubble, cavitation, and separated flow) gradually appeared in the impeller and volute channels, with the increase of inlet gas void fraction. There was a mainly uniform distribution of bubble flow inside the channel at a design flow rate when the inlet gas void fraction was less than 1%. The polymeric bubble flow appeared, when the inlet gas void fractionreached 3%. The cavitation flow then dominated, when the inlet gas void fractionreached 4%. Further, the separate flow appeared, when the inlet gas void fraction reached 4.2%, where the flow channel was gradually blocked. The tip clearance was an important parameter to determine the distribution of gas-liquid two-phase flow pattern in the pump, which promoted the bubbles’ transposition from the blade pressure side to the suction side. The maximum velocity was distributed at the gap between the impeller outlet and the volute, where was the place with the most bubble aggregation and distribution patterns of gas-liquid two-phase flow. There were the increasing large-scale vortex and outlet reflux in the impeller channel, with the increase of inlet gas void fraction, leading to the large distribution of turbulent kinetic energy in the high void fraction area, where the unstable flow was intensified inside the pump, and finally leading to the pump idling after the inlet gas void fraction reached 4.6%. This finding can also provide a sound reference for the comprehensive analysis of unsteady flow characteristics in a centrifugal pump.

centrifugal pump; gas liquid two-phase flow; Musig model; numerical simulation; visualization

司乔瑞，郭勇胜，田鼎，等. 半开式叶轮离心泵气液两相条件下内部流动特性分析[J]. 农业工程学报，2021，37(24)：30-37.doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2021.24.004 http://www.tcsae.org

Si Qiaorui, Guo Yongsheng, Tian Ding, et al. Study on the inner flow characteristics of an inside unshroud impeller centrifugal pump under gas-liquid two phase condition[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2021, 37(24): 30-37. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2021.24.004 http://www.tcsae.org

2021-09-18

2021-11-15

国家自然科学基金（51976079）；国家重点研发计划项目（2020YFC1512403）

司乔瑞，研究员，研究方向为水力机械内部流动理论。Email：siqiaorui@ujs.cn

袁寿其，研究员，研究方向为水力机械基础理论。Email：shouqiy@ujs.cn

10.11975/j.issn.1002-6819.2021.24.004

S277.9

A

1002-6819(2021)-24-0030-08