运用转化思想巧解中考试题

陈海燕

一道中考數学题，可以从不同的知识板块、不同的视角尝试多种解法。通过已知条件，找到其中隐含的关键量是一题多解的基础;合理转化是一题多解的关键。本文以一道中考填空压轴题为例，运用转化思想，将复杂问题转化为简单问题，进而找到解题的突破口。在初中数学学习中，同学们要熟练掌握转化思想，巧妙运用转化方法，开拓解题思路，这样可以帮助我们轻松突破数学问题。

试题呈现（2018·江苏苏州）如图1，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P、C、E在一条直线上，∠DAP=60°。M、N分别是对角线AC、BE的中点。当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为。（结果保留根号）

【思路分析】解决本题的关键是如何表示MN的长度，根据条件可以连接PM、PN。首先证明∠MPN=90°，设PA=2a，则PB=8-2a，PM=a，PN=3（4-a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题。

解法一：连接PM、PN。

∵四边形APCD和四边形PBFE都是菱形，∠DAP=60°，∴∠APC=120°，∠EPB=60°，∵M、N分别是对角线AC、BE的中点，

∴∠CPM=12∠APC=60°，

∠EPN=2∠EPB=30°，

∴∠MPN=60°+30°=90°。设PA=2a，

则PB=8-2a，PM=a，PN=3（4-a），

∴当a=3时，MN有最小值，最小

值为23。

【思路分析】因为M、N是PD、PF的

中点，则中位线MN=12DF，所以转化为

求DF的最小值。考虑到AD平行BF，则DF的最小值就是平行线之间的距离。DF的最小值=BH。

解法二：在Rt△ABH中，∠HAP=60°，AB=8，则BH=43，所以MN的最小值为23。

【思路分析】因为四边形APCD和四边形PBFE都是菱形，所以AC⊥DP，

BE⊥PF，由∠DPF=90°，想到延长MC，交EB于点Q，得到四边形PNQM为矩形，MN=PQ，所以要求MN的最小值，就转化为求PQ的最小值。

解法三：在Rt△ABQ中，AB=8，∠QAB=30°，PQ最短=QH=23，所以MN的最小值为23。

【思考】转化是处理数学问题至关重要的思想方法之一，是攻克数学难题的利器。在平时的学习中，同学们要注意灵活运用转化思想，培养转化意识，走出思想束缚，激活思维灵活性，以此促进数学思维的发展和解题能力的提升。

（作者单位：江苏省丹阳市华南实验学校）