立足高效课堂 培养核心素养

陈畅

摘 要：2016-2020年全国高考数学解析几何题发现，注重考查逻辑推理、数学运算、数据分析等三大数学学科核心素养，而培养学生数学核心素养的主阵地就是课堂教学。注重培养数学思维能力，提升学生解题能力。

关键词：高效课堂;解题能力;核心素养

笔者研究2016-2020年高考数学全国卷发现，重视考查学生逻辑推理，对第21题的解析几何甚至有“重思维，轻运算”的趋势。本文笔者通过一个课例片段，旨在探究数学课堂中解题教学如何帮助学生在解题过程中不断总结经验，积累解题思维方法，促进数学思维能力有效的提高。而遇到难度较大的数学题我们应该如何处理才能让学生能解决问题呢？

一、课例呈现，引证思源

本课是在对直线与圆锥曲线第二轮复习结束之后，针对第21题是解析几何题学生反馈出的问题后一节讲评课的片段：

问题：设抛物线C的方程为x2=4y，M为直线l：y=-m（m>0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B。

（Ⅰ）当M的坐标为（0，-1），时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系;

（Ⅱ）讨论直线AB是否经过定点，若是，写出定点的坐标，若不是，说明理由。

第（Ⅰ）问中点M的坐标已给出来，入手容易。学生由切线，从而求出切点A，B，再利用三点求出圆的方程：x2+（y-1）2=4，最后，利用圆心到直线距离可以判断直线l与此圆的位置关系是相切的。笔者对求解过程“设、列、化简”进行小结，学生整理、规范自己的答题，得到如下规范的解答过程，易知该圆与直线l：y=-1相切。

而第（Ⅱ）问学生感觉不陌生，是判断直线过定点问题，但此题只有抛物线C的方程是已知的，其他无论是直线l，还是点M，A，B都未知。要怎么求直线AB呢？

师：答卷昨天已发回给大家，同学们有没有想办法解决这种个问题？请哪位同学谈谈？

（环顾课堂，已有几个学生举手，我示意学生发言。）

学生1：我没想到怎么做，但我觉得应该是先设A（x1，y1），B（x2，y2）。把切线方程写出，从而得到直线AB的方程。

师：很好，思维严密。解析几何综合性问题求解的第一步是“设”，即引进适当的变量，但引进的变量是否合理，我们应事先做出判断，而判断的标准是，所给的几何条件能否用引进的变量代数化。

师：这位同学设出来的量应该是有效的，那么又有哪位同學有勇气把切线方程写出从而得到直线AB的方程呢？大家可以互相讨论。

师：有哪位同学来说一下？

学生2：我是这样做的。

设过抛物线上点A的切线方程为（y-y1）=k1 （x-x1），代入x2=4y，

整理得

又因为x12=4y1，   所以

从而抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为： （y-y1）=（x-x1），即

又设过抛物线上点B的切线方程为（y-y2）=k2 （x-x2），代入x2=4y，

整理得

又因为x22=4y2，   所以

从而抛物线上点B（x2，y2）的切线方程为： （y-y2）=（x-x2），即

（这时有学生举手要求发言，我就放开了让同学们说自己的想法）

学生3：求抛物线上点B（x2，y2）的切线方程其实不用再求一次，因为它的格式与点A是相似的，所以直接同理得抛物线上点B（x2，y2）的切线方程为：就可以快很多了。但是把两切线方程求出来之后，下一步怎么做我就不知道了。

学生4：我求抛物线上点A的切线方程的斜率k是用求导来做的，也是求得同样的方程。下一步我不知道怎么做，所以就没法继续做了。

师：同学们对求切线方程这个问题解决得非常好，对斜率k的求法也能想到多种方法。特别是学生3同理类比的做法求点B（x2，y2）的切线方程，使得运算量大大减少。但是，两切线方程都已求出来了，为什么就做不下去呢？

学生：因为含字母的未知量太多了。

师：回到刚才的解法。半途而废不是一个好的习惯，当我们遇到挫折时，不要轻易对以前所做的全盘否定，也许我们只是有个别地方做得还不够好，也可能是还有些地方因为生疏暂时没能想到。

师：大家注意我们的已知条件还有哪些没用到？

学生1：（进行实物投影）点M是在两切线上的，可以设点M（x0， -m），

代入两线方程得  和

（同学们在小声议论，似有所悟，但部分同学仍带疑惑表情。）

师：学生1的审题观察能力很好，突破口就在这点M上。

师：有谁愿意把你的答案投影出来？

学生5：可以设点M（x0，-m），由点M在两切线上，

代入两切线方程得  和

即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足  即x0x=2（y-m），

故直线AB的方程为：x0x=2（y-m）

所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）

师：太妙了，对条件进行有效的恒等变换后，利用等式优美的结构特征，把看似复杂的东西给人以简洁及美的享受，这充分体现了解析几何设而不求的解题策略，非常简洁地解答了问题，这就是互相讨论，互相学习的魅力所在。

二、课例反思，真知灼见

通过本节课，笔者发现课前的学生思考与课上老师的引导非常关键，掌握基本公式、基本方法、基本技能是基础，在此之上通过不同情境的迁移应用，再寻求解题的突破口。在讲评课做好以下三点：

（一）在讲评课的教学前，老师不要牵着学生的鼻子走，要帮助学生把例题解答过程中丢失的思维过程找回来，充分暴露解题思维，逐渐培养起分析问题的能力和积极思考的良好习惯。不能单纯追求习题量的积累，要让学生明白“怎样解题”，解决学生“拿起题无从下手”的问题。

（二）在讲评课的教学中，做到全面依靠学生和高度尊重学生，最大限度的提高学生在课堂中的学习积极性和主动性，在教学过程中要有评价和激励教师在教学活动将结束时，要由小组代表或教师对本节重点知识进行梳理，对学习情况进行评议教师适时介入，提供方法、技巧，协助学生完成模型析出，模型应用等一系列学习任务，从而达到培养、提高学生综合能力的目的。

（三）在讲评课的教学后，我们要学会解题反思，分析命题意图，把脉出题方向，重点分析不会解的题到底是知识上还是方法上出了问题，只有对症下药才能找到问题归因所在。当然，还可以寻求其他解题方法一道数学题，择其简单快捷的方法进行下阶段的推广应用，找到解决此类问题的普遍结论与解题思路。

三、课例研究，师生共长

笔者尝试以“直线与圆锥曲线”的这题作为重点内容来进行课例研究，充分挖掘例题的出题背景，让学生把新知识合理地建构在原有的知识体系上，在解题示范的过程中让学生不断地认识逆向思维的过程和方法，把数学课堂变成培养学生核心素养的知识海洋。

参考文献：

[1] 罗增儒 数学解题学引论.西安：陕西师范师范出版社，2004.

[2] 郑毓信.数学教师的专业成长[J].人民教育，2010（8）：37-39.

[3] 金烨，基于培养学生数学核心素养的课例研究.数学之友，2016，0（12）

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