带有强阻尼时滞项的m-Laplacian型波方程解的爆破

高云龙, 林荣瑞, 佘连兵, 李爱静

(六盘水师范学院数学与计算机科学学院, 六盘水 553004)

含有m-Laplacian项的拟线性波方程源于非线性Voigt模型,描述的是粘弹性材料杆的纵向振动,特别是可描述受外力作用的Ludwick 材料的振动[1-2]. 近年来, 学者们对带有p-Laplacian项的偏微分方程解的性态作了深入研究,如：PEI等[3]研究了p-Laplacian 型波方程utt-Δpu-Δut=f(u),其中 2

基于文献[3,6-8]的研究,本文考虑可描述弹性杆纵波振动的带有强阻尼时滞项的粘弹性方程：

(1)

其中，u(x,t)表示振动的位移,g*Δu表示粘弹性弱阻尼,-Δut表示弹性体的内部阻尼,Ω是n(n≥1)上带有光滑边界∂Ω的有界区域,g(·):+→+是正函数,m、μ1、μ2、p为常数,

Δmu=div(|u|m-2u),(g*Δu)(t)=g(t-s)Δu(s)ds.

本文主要利用凹性方法,证明当初始能量0

1 预备知识

(A1)g:+→+是非增可微函数,满足:1-g(s)ds=l0>0,g′(t)≤0,t≥0.

类似文献[6],引进新变量

z(x,ρ,t)=ut(x,t-ρ)((x,ρ,t)Ω×(0,1)×(0,+)),

则有

从而方程组(1)等价于：

(2)

定义方程组(2)的修正能量函数为

(3)

其中

下面给出方程组(1)的弱解定义.

定义1任给定初始值 (u0,u1)称=(u,ut)为方程组(1)的弱解,若满足:(0)=(u0,u1),且对任意w有

(utt,w)+(|u|m-2u,w)+(u,w)-

μ2(ut(t-),w)=(|u|p-2u,w).

类似文献[5]、[6]、[10]的证明,可直接得到方程组(2)的局部解的存在唯一性：

定理1假设(A1)、(A2)成立,若初始值满足 (u0,u1,f0),0)),则方程组(2)存在唯一局部解,且存在足够小的T>0,有

u

utC([0,T);H1(Ω))∩L2([0,T)×Ω),

zC([0,T);H1(Ω×(0,1))).

引理1设u是方程组(2)的解,则存在正常数C1>0,使得

E′(t)≤-C1(‖ut‖2+‖z(x,1,t)‖2)<0.

证明用ut乘以方程组(2)中的第1个方程,并在Ω上积分,得

(4)

(5)

由Young不等式[13],可得

(6)

由式(4)～(6),可得

(7)

2 解的爆破

下面考虑方程组(2)的初始能量为正值和负值时解的爆破情况. 首先,引入3个正常数：

引理2若假设(A1)、(A2)成立,且满足

(8)

则存在正常数ζ2>ζ1,使得

(9)

(10)

证明由式(3)和假设(A1)、(A2),可得

(11)

(12)

当ζ(0,ζ1) 时,f′(ζ)>0,所以f(ζ)在 (0,ζ1)上严格单调递增;当ζ(ζ1,+)时,f′(ζ)<0,所以f(ζ)在(ζ1,+)上严格单调递减. 又由于E(0)

再一次利用式(11),可得

(13)

因此,式(10)成立.

定理2在引理2的假设下,进一步假设(A3)成立,则方程组(2)的解存在有限时间爆破.

证明设函数

(14)

其中,ε>0 为足够小的正实数,且

(15)

G1(t)∶=E2-E(t),E2(E(0),E1).

(16)

下面将证明存在C>0,使L1(t)满足微分不等式

首先,由式(3)、(16)和引理1,得

0

由引理2,有

因此

(17)

对L1(t)关于时间t求导,有

(18)

由Young不等式,有

(19)

(20)

取0

ε|μ2|δ2‖z(x,1,t)‖2-εp(1-a)E2.

(21)

下面对式(21)中一些项进行估计. 令δ2=MG1-α(t)(M>0),由引理1可得

-ε|μ2|δ2‖z(x,1,t)‖2=

-εM|μ2|G1-α(t)‖z(x,1,t)‖2≥

(22)

(23)

(24)

由假设(A3)和p>m,可得

因此,令a>0 充分小,取适当的E2(E(0),E1),并结合引理2可得

(25)

将式(22)～(25)代入式(21),可得

(26)

(t≥0).

(27)

另一方面,由式(14)可得

(28)

利用式(15)、(17),结合Young不等式、Poincaré不等式[13],得

(29)

再由式(15)、(17),有

(30)

可得

(31)

最后,综合式(27)、(31)可知：存在C>0,使得

(32)

对式(32)在(0,t)上积分,有

定理3若假设(A1)～(A3)成立,且初始能量E(0)<0时,则方程组(2)的解同样存在有限时间爆破.

证明设函数

(33)