求解随机微分方程的一个新的数值格式*

朱伟丹，王自强

(贵州民族大学数据科学与信息工程学院，贵州 贵阳 550025)

大多数随机微分方程的解析解不容易获得，许多研究者通过构造数值格式来获得数值解，常见的数值解法有Euler法[1]，Milstein法[2]等，这些数值解法都是基于Ito随机Taylor展开下在不同的地方截断得到的[3-5]，而本文将从一维随机微分方程的积分方程形式出发，结合Simpson公式和Milstein方法的离散思想，建立了一个求解一维随机微分方程的新的数值格式，第一部分给出随机微分方程的高阶数值格式构造的过程，第二部分给出数值运算结果。

1 随机微分方程的数值格式构造

考虑如下一维随机微分方程：

dX(t)=f(X(t))dt+g(X(t))dw(t)，0≤t≤T

(1)

满足如下的初值条件：

X(t0)=X0

(2)

其中，f，g分别称为漂移系数和扩散系数，w(t)为标准维纳过程，并且满足以下三个性质[3]：

1)w(0)=0(概率为1)；

2)对于0≤s

3)对于0≤s

(1)式可写成如下等价积分形式：

k=0，1，…，N-1

(3)

现对f(X(t))进行构造高阶数值格式，将区间进行离散化，将区间[0，T]划分成N份等分小区间，令t0=0

(4)

利用线性插值法，在区间[t0，t1]上对f(X(t))作如下逼近：

f(X(t))≈ψ0(t)f(X(t0))+ψ1(t)f(X(t1))

(5)

则在区间[t0，t1]上，将(4)式和(5)式代入(3)式得到：

(6)

其中ψi(t)，i=0，1为线性插值基函数，定义如下：

(7)

其中：

(8)

在区间[t1，t2]上，利用二次拉格朗日插值法，f(X(t))在[t1，t2]作如下逼近[7]：

f(X(t))

≈φ0，1(t)f(X(t0))+φ1，1(t)f(X(t1))+

φ2，1(t)f(X(t2))

(9)

其中：φi，1(t)，i=0，1，2为t0，t1，t2三个点处的二次拉格朗日插值基函数，定义如下：

(10)

将(9)式代入(3)式，令k=1，t=t2得到：

X(t2)

(11)

其中：

(12)

现在进行下一步的格式构造，假设我们已经构造出了X(t1)，l=0，1，…，k，利用同样的方法继续构造X(tk+1)如下：

X(tk+1)

(13)

其中：φi，k(t)，i=0，1，2;k=1，2，…，N-1为点tk-1，tk，tk+1上的二次拉格朗日插值基函数：

(14)

(15)

其中R是对随机项进行Taylor展开的余项。

由文献[4]，记

G1(X(tn))=g(X(tn))，

G2(X(tn))=g(X(tn)+ΔtG1(X(tn)))，

则有如下式子：

g(X(tn))g′(X(tn))

(16)

(17)

(18)

设Xk为X(tk)，k=0，1，…，N的近似值，把(18)式代入(6)式，(11)式和(13)式，得到如下数值格式：

(19)

2 数值试验

研究如下方程[3]：

dX(t)=f(X(t))dt+g(X(t))dw(t)，0≤t≤T

(20)

令：

g(X(t))=μX(t)

此时该方程的精确解为：

X(t)=X(0)exp(λt+μw(t))

在用MATLAB进行数值试验中，我们令λ=2，μ=1，N=27，为了清晰地比较，我们给出了精确解和Milstein法，精确解和修正的Milstein法两个图像进行比较，得到的结果如下：

图1 Milstein法和精确解的比较

图2 改进Milstein法和精确解的比较

表1 平均误差随着时间步长Δt的变化

由表1可知，本文构造的改进的Milstein法要比经典的Milstein法的逼近效果好。