线性吸力下非饱和土条形地基临界荷载三剪统一解

于旭光 曹伟伟 毕南妮 郑宏

1.唐山工业职业技术学院 063299

2.长安大学 西安710061

引言

以往地基的临界荷载是基于Mohr-Coulomb强度准则，且假定地基土为饱和土，侧向土压力系数k0=1来进行研究的［1］。然而在实际工程中，地基土多处于非饱和状态且应考虑基质吸力及其分布对临界荷载的影响。基于Mohr-Coulomb强度准则未考虑中间主应力σ2的影响，侧向土压力系数k0=1与实际情况不符。张常光等［2，3］得到了基质吸力线性分布和均匀分布下的非饱和土地基临界荷载的统一解，但是有两点不足之处，其一在求解主应力时采用赵树德［4］的方法，求出自重应力在附加主应力方向上的正应力与剪应力后进行叠加，导致总应力方向与主应力方向不一致，其二采用的双剪统一强度准则在某些特定应力状态下存在双重滑移角问题［5］；李艳等［6］利用类比方法得到了非饱和土抗剪强度三剪统一解，克服了双剪统一强度准则在某些特定应力状态下存在双重滑移角问题，进一步得到了太沙基极限承载力三剪统一解，但未求解出临界荷载三剪统一解；侯超群等［7］求解了侧向土压力系数k01下条形地基临界荷载的解析解，该方法虽然未采用近似处理，推导严谨，但是推导过程中假定地基土为饱和土且未考虑中间主应力σ2的影响。

本文基于非饱和土抗剪强度三剪统一解，该解充分考虑了中间主应力效应、材料拉压不等特性和强度准则差异对非饱和土抗剪强度的影响，严密推导了基质吸力线性分布下条形地基临界荷载三剪统一解，并讨论了中间主应力、有效黏聚力、有效内摩擦角和非饱和土强度非线性等参数对临界荷载的影响。

1 基本理论

1.1 非饱和土抗剪强度三剪统一解

Fredlund根据Mohr-Coulomb强度准则提出了非饱和土双应力状态变量抗剪强度公式［8］，但是未考虑中间主应力效应的影响。李艳等将三剪统一强度准则［9］和Fredlund双应力状态变量相结合，采用类比方法建立了非饱和土抗剪强度三剪统一解［6］。

式中：c′T-S，t为三剪统一有效黏聚力；φ′T-S，t为三剪统一有效内摩擦角；φ″T-S，t为与基质吸力有关的三剪统一吸力角；cTT为非饱和土统一总黏聚力；c′、φ′和φ″分别为有效黏聚力、有效内摩擦角和与基质吸力有关的吸力角；σ为总法向应力；ua为孔隙气压力；uw为孔隙水压力；（σua）为净法向应力；（ua-uw）为基质吸力；μσ为Lode参数；b为选用不同强度准则的参数，反映中间主切应力及相应面上的正应力对材料破坏的影响程度，具体可由试验确定，0≤b≤bmax，其中bmax=m/（2+m），m为岩土材料拉压强度比（m≤1）。

1.2 基质吸力线性分布与均匀分布

基质吸力沿着深度的分布可能有各种选择。假设基质吸力沿着深度线性减小，直到地下水位处为零（图1）。任意深度N处的基质吸力可以用线性表达如下：

式中：D为条形基础的埋置深度；Z为条形基础底至深度N处的距离；Dw为地下水位深度；（uauw）0为地表基质吸力。

图1 基质吸力分布Fig.1 Distribution of matric suction

当地下水位深度Dw趋向于无穷大时，式（6）可以变为（ua-uw）N=（ua-uw）0，可以看成均匀分布。

1.3 非饱和土强度非线性

式（4）中φ″为与基质吸力有关的吸力角，在高基质吸力范围内，其值为基质吸力的函数［10-15］。其中有代表性的有两种方法：方法一是将吸力角φ″看成恒为稳定时的某一较小角［13］；方法二是S.L.Houston等［14］提出的吸力角φ″与基质吸力（ua-uw）的关系为：

式中：（ua-uw）b为进气值；参数m由试验值确定［14，16］；1/n=-2.4598+1.0225φ′。

将吸力角φ″表达式代入式（1）和式（4）可以得到高基质吸力下强度非线性的非饱和土抗剪强度三剪统一解。

2 临界荷载统一解

图2为宽度为B、埋深为D的非饱和土条形地基，任意一点到基底距离为Z，基底均布荷载为p，基底埋深范围内非饱和土的加权重度为γD，基底以下非饱和土的加权重度为γ。将自重应力与基底附加应力对地基内任意一点产生的附加应力进行叠加，然后求出任意一点的主应力为［1］：

式中：k0为侧向土压力系数，k0=（1-sinφ′），λ为非饱和土的超固结比，λ≥1；θ为最大主应力与竖直方向夹角；2α为任意一点到基础边缘两连线夹角；β1和β2分别为任意一点到基础边缘两连线与竖直线的夹角。

图2 地基应力Fig.2 Foundation stress

由极限平衡条件可知：

此处假定吸力角φ″与距基底距离Z不存在函数关系式，进而三剪统一吸力角φ″T-S，t与Z也无关，否则推导过程将非常复杂，极难求解Z的函数表达式。

将式（8）代入式（9），进行整理可得：

由式（10）可知，当非饱和土的性质一定时，Z仅是β1+β2、θ及α的函数，为了求解地基中塑性区开展的最大深度Zmax，可以按照多元函数求极值的方法进行求解。

将式（11）代入式（10）可得到：

将式（12）进行变换可得到荷载p的表达式如下：

MZL、MDL和MCL为地基承载力系数，具体表达公式如下：

令式（13）中Zmax=B/4即可得到临界荷载p1/4，同时令地下水位Dw趋向无穷大时，可以得到基质吸力为均匀分布时的临界荷载p1/4，所以由式（13）可以得到基质吸力为线性分布与均匀分布时的临界荷载p1/4。

本文式（13）未采用近似处理，推导严谨，是建立在非饱和土抗剪强度三剪统一解的基础上，充分考虑了非饱和土的非线性和中间主应力效应，还克服了双剪统一强度准则在某些特定应力状态下存在双重滑移角问题，具有较广泛的适用性。当k0≠1，（ua-uw）=0，b=0时，式（13）退化为考虑侧向土压力系数k0的基于Mohr-Coulomb强度准则的饱和土条形地基临界荷载的解［7］；当k0=1，（ua-uw）=0，b=0时，式（13）退化为自重应力是静水应力状态时饱和土条形地基临界荷载的解［1］。从上述分析可以验证本文非饱和土条形地基临界荷载三剪统一解的正确性。另外，本文所得临界荷载还包含很多新解，可以适用于更多实际工程情况。

3 参数分析

参数分析主要从中间主应力、有效黏聚力、有效内摩擦角和非饱和土强度非线性四个方面讨论对临界荷载p1/4的影响。

非饱和土条形地基的宽度B=4m，基础埋深D=3m，均质非饱和土的重度γ=19kN/m3，有效黏聚力c′=20kPa，有效内摩擦角φ′=22°，平面应变条件下μσ=0［6］。设地下水位深度Dw=12m，进气值（ua-uw）b=25kPa，吸力角φ″=12°，bmax=1/3。

以下在对中间主应力、有效黏聚力、有效内摩擦角等参数进行分析时，采用吸力角φ″恒为稳定时的某一较小角φ″=12°的方法一，而分析非饱和土强度非线性时采用方法二，进而来比较这两种方法的差异。

3.1 中间主应力

当k0=1-sinφ′时，其余条件同上，得到基质吸力均匀分布和线性分布时的临界荷载p1/4与b、（ua-uw）0的关系曲线如图3所示。

图3 p1/4与b、（ua-uw）0的关系曲线Fig.3 Relationship curves between p1/4 and b，（ua-uw）0

图3表明，临界荷载随着中间主应力的增大而线性增大。在基质吸力均匀和线性分布情况下，当（ua-uw）0=50kPa，b从0增大到1/3时，临界荷载分别增大了29.6%和29.7%，这也说明考虑中间主应力效应更能发挥材料的强度潜力，从而可以使工程造价降低。同时从临界荷载增大幅度来看，基质吸力均匀和线性分布两种情况受中间主应力和强度准则的影响几乎无差别。

3.2 有效黏聚力

当k0=1-sinφ′，（ua-uw）0=50kPa时，得到基质吸力均匀分布和线性分布时的临界荷载p1/4与c′、b的关系曲线如图4所示。

图4 p1/4与c′、b的关系曲线Fig.4 Relationship curves between p1/4and c′，b

图4表明，临界荷载随着有效黏聚力的增大而线性增大。当b=1/6时，c′从0增大到40kPa时，在基质吸力均匀和线性分布情况下，临界荷载分别增大了135%和153%，可见基质吸力线性分布增大幅度很大。因此，基质吸力的分布对临界荷载的计算是非常重要的。

3.3 有效内摩擦角

当k0=1，（ua-uw）0=50kPa时，得到基质吸力均匀分布和线性分布时的临界荷载p1/4与φ′、b的关系曲线如图5所示。

图5 p1/4与φ′、b的关系曲线Fig.5 Relationship curves between p1/4 andφ′，b

图5表明，临界荷载随着有效内摩擦角的增大而呈现非线性增大。当b=1/6时，φ′从5°增大到25°时，在基质吸力均匀和线性分布情况下，临界荷载分别增大了182%和188%，可见随着有效内摩擦角的增大，基质吸力均匀分布和线性分布两种情况下对临界荷载增大幅度影响不大。

3.4 强度非线性

在高基质吸力范围内，非饱和土的强度具有明显的非线性，吸力角φ″为基质吸力（ua-uw）的函数。在以下分析中假定基质吸力均匀分布，图6a对应方法一，即采用吸力角恒为稳定时的某一较小角φ″=12°的方法一得到的临界荷载与基质吸力的关系曲线；图6b～d对应方法二，即采用双曲线模型得到的临界荷载与基质吸力的关系曲线，其中参数n可由n与φ′关系得到n=0.0499，参数m分别取0kPa、2.5kPa和10kPa，以反映高吸力下吸力角不同的变化速率。在两种方法下参数b分别取为0、1/6和1/3来进行分析。

从图6a可以看出，临界荷载随着基质吸力的增大呈现线性增大趋势，在进气值（ua-uw）b=25kPa处无跳跃且无拐点。从图6b～d可以看出，临界荷载随着基质吸力变化以进气值（ua-uw）b=25kPa为界，小于进气值的为低吸力范围与参数m无关，大于进气值的为高吸力范围与参数m有密切关系。图6b由式（7）可以求出m=0kPa时的吸力角在高吸力范围内恒为φ″=1.96°，与低吸力范围22°相差达10倍多，因此会在进气值（ua-uw）b=25kPa处出现跳跃，图6c～d在进气值（ua-uw）b=25kPa处出现拐点，m值越大拐点越明显，实际上右边曲线代表了高基质吸力范围内非饱和土强度的非线性。基质吸力对非饱和土的强度具有对强度提高以及对吸力角减小使强度降低的双重影响。以图6c为例，基质吸力从40kPa到100kPa，临界荷载增加幅度逐渐减小。表明高基质吸力下基质吸力对强度提高的影响大于对吸力角使强度降低的影响，并且二者影响逐渐趋于某一个平衡。

图6 强度非线性对临界荷载的影响Fig.6 Effect of strength nonlinearity on critical load

方法二比方法一计算更加精确，方法一可以方便地计算基质吸力均匀分布和线性分布的情况，方法二处理基质吸力均匀分布时比较方便，而处理线性分布时，由于吸力角是距基底距离Z的函数，这将使推导非常复杂，比较难以求解，但可以推测基质吸力线性分布与均匀分布类似，但是影响程度小些。

4 结论

1.本文推导的线性吸力下非饱和土三剪统一解充分考虑了中间主应力效应、材料拉压不等特性和强度准则差异，包含了多种屈服准则下的计算公式，具有较广泛的适用性，可为实际工程提供一定的参考。

2.在基质吸力均匀分布和线性分布下，临界荷载随着中间主应力的增大呈现线性增大，中间主应力效应对临界荷载具有显著影响；临界荷载随着有效黏聚力的增大呈现线性增大；临界荷载随着有效内摩擦角的增大呈现非线性增大；处理非饱和土强度非线性采用双曲线吸力角的方法二精确但复杂，高基质吸力下基质吸力对强度提高的影响大于对吸力角使强度降低的影响。

3.推导式（10）中，假定了吸力角φ″与距基底距离Z不存在函数关系式，进而三剪统一吸力角φ″T-S，t与Z也无关，否则推导过程将非常复杂，极难求解Z的函数表达式。