一种适用于水声环境的变步长LMS算法

杭州应用声学研究所 罗 斌 张海生 王晓林

随着自适应信号处理在理论上的不断发展和实践应用，国内外研究学者从各方面着手，对自适应算法进行系统性研究。在自适应算法中，应用最为广泛的是Widrow等人提出的最小均方（LMS,Least Mean Square）算法，该算法具有成熟的理论基础、结构简单、稳定性好，易于工程实现，在水声信号处理中起着举足轻重的作用。

本文通过对LMS算法理论推导，分析算法性能影响因子，并提出一种适用于水声环境的变步长LMS算法，通过仿真对比，验证了该算法的性能。

1 LMS算法

1.1 算法原理

LMS算法原理框图如图1所示。

图1 LMS算法原理框图

图1中，输入信号矢量x(n)可表示为[x(n) x(n-1) … x(n-L+1)]T：L为滤波器阶数，T表示转置运算。

自适应滤波器的权矢量表示为[w0(n) w1(n) … wL-1(n)]T：则输出信号y(n)可表示为输入信号矢量与权矢量的乘积。

而自适应系统输出与期望信号的偏差则用ε(n)表示。根据LMS算法的思想，权系数更新表达式为：

式中，μ表示固定步长。

1.2 算法性能

研究LMS算法性能一般需综合衡量其收敛性、收敛速度、稳态误差及计算复杂度四项指标。研究表明，该四项指标可以用下面式子表示：

③中，tr[●]是迹运算，R表示输入数据自相关矩阵，对于自适应横向滤波器，该式亦可表示为：步长×滤波器阶数×输入功率。

结合收敛速度和稳态误差表示式可以看出，μ越大，算法可以获得较快的收敛速度，但同时也会带来较大的稳态误差；反之，μ越小，可以获得较小的稳态误差，但同时也会牺牲算法收敛速度。所以使用LMS算法时，要权衡收敛速度和稳态误差两者之间的关系，这对步长μ的选择提出了很高的要求。

2 变步长LMS算法

步长μ在LMS算法迭代过程中是一个矛盾量，它在控制LMS算法收敛速度的同时也决定了算法的稳态误差。因此，很多学者投入大量时间研究如何权衡两者之间的关系，提出了许多变步长LMS算法，这些算法的根本思想是在初始阶段选用较大的步长，使算法可获得较快的收敛速度，收敛到一定程度后逐渐减小步长，使算法最终能有较小的稳态误差。

在水声信号处理中，通常我们均假定噪声服从高斯分布，在较为理想情况下，噪声可看成为高斯白噪声。

在高斯白噪声背景下，噪声环境完全不相关，LMS算法步长可利用相邻时刻误差的互相关函数控制，能有效避免不相关噪声在步长迭代过程中的影响，因此上述算法能较好地适用于不相关噪声环境背景。但往往水声环境噪声不会这么理想，总会存在一定的相关性，如典型的高斯色噪声背景，在此种环境背景下，上述算法达不到预期效果。

下面引入一种适用于水声环境的变步长LMS算法，该算法步长利用误差的高阶函数控制，步长计算公式可表示为：步长与误差函数2阶和4阶指数函数相关。

上述算法步长利用了高斯信号的特性。只要噪声信号服从高斯分布，步长就不受噪声环境所干扰，从而使得步长迭代在高斯噪声环境下具有较强鲁棒性。实际的水声噪声环境通常均服从高斯分布，所以该方法具有较强的环境适应性和使用性。

3 仿真分析研究

下面通过权系数收敛曲线和输出误差曲线来比对分析第2章中所述的两种变步长LMS算法性能。

为方便说明，后续表述中用“算法一”代表利用相邻时刻误差的互相关函数表示的变步长LMS算法，用“算法二”代表利用误差的高阶函数表示的变步长LMS算法。图2、图3给出了仿真结果。

图2 高斯白噪声环境下算法性能对比

图3 高斯色噪声环境下算法性能对比

从图2和图3可见，在高斯白噪声环境下，由于噪声是不相关的，算法一性能较好，而当噪声环境为高斯色噪声时，由于噪声变得具有相关性，算法一性能大大降低，体现在收敛速度变慢，输出误差变大。但是算法二在上述两种环境下，均表现出较高的性能。

综上分析，本文提出的变步长LMS算法，能较好地适应于高斯噪声环境（即水声环境），可为水声信号处理提供良好的理论基础。

本文在分析LMS算法基础上，研究了变步长LMS算法理论，并在常规变步长LMS算法基础上，提出一种适用于水声环境的变步长LMS算法，该算法可在通常的水声环境下，很好地保证算法的收敛速度和稳态误差。仿真分析研究结果验证了该算法的正确性及有效性。