空间几何精选试题

胡彬

1.（2020年龙岩模拟）如图1，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，CD=√5，AD=2√5，PA =4。

（1）证明：CD⊥平面

PAD;

（2）求二面角B-PC-D的余弦值。

2.（2020年江西模拟）如图2，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=90°，∠ACP=30°，且AC=12，AB=AP=6。

（1）若D为BP上的一个动点，求证：PC⊥AD;

（2）若CE=2EP，求二面角A-EB-C的平面角的余弦值。

3.（2020年郑州模拟）如图3，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将△ACD折起，使得点D在平面ABC内的射影恰好落在边AB上。

（1）求证：平面ABD⊥平面BCD;

（2）当AB/AD=2时，求二面角D-AC-B的余弦值。

4.（2020年龙岩模拟）如图4，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD= 90°，BC=1，PD =AD=2DC=2，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD。

（1）求证：BD⊥PC。

（2）在线段PA上是否存在一点M，使二面角MBC-D的大小为30°？若存在，求出PM/PA的值;若不存在，请说明理由。

5.（2020年宿迁模拟）如图5，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，设AD=1，DD1=3，点P在CC1上，且C1P=2PC。

（1）求直线A1P与平面PDB所成角的正弦值;

（2）求二面角A-BD- P的余弦值。

6.（2020年泉州模拟）如图6，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BAD=120°，AB=2。平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD，E，F分别是BC，PD的中点。

（1）求证：EF∥平面PAB;

（2）若直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值。

7.（2020年蚌埠模拟）如图7，在四棱柱ABCD -A1B1C1D，中，AD∥BC，AB⊥AD，AD =AB =2BC，M为A1D的中点。

（1）证明：CM∥平面AA1B1B;

（2）若四边形AA1B1B是菱形，且面AA1B1B⊥面ABCD，∠B1BA=60°，求二面角A1-CM-A的余弦值。

8.（2020年安徽模拟）如图8，在四棱锥PABCD中，侧面PAB为等腰直角三角形，BC⊥平面PAB，PA =PB，AB=BC=2.AD=BD=√5。

（1）求证：PA⊥平面PBC;

（2）求直线PC与平面PAD所成角的正弦值。

9.（2020年青岛模拟）如图9，在四棱锥EABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△BCE是边长为2的等边三角形，AB =AE，F，O分别为AB，BE的中点，OF是异面直线AB和OC的公垂线。

（1）证明：平面ABE⊥平面BCE;

（2）记△CDE的重心为G，求直线AG与平面ABCD所成角的正弦值。

10. （2020年大连模拟）如图10，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側面BBlClC为菱形，A在侧0面BB1C1C上的投影恰为B1C的中点O，E为AB的中点。