注重生活实例探究，落实章起始课教学——以“变化率与导数(第1课时)”为例

文∣王伯龙

章起始课是数学教学内容的重要组成部分，是该章内容学习的导入，能使学生初步了解本章的内容和思想方法，为学生提供学习本章节知识的框架和基本线索。但在实际教学中，许多教师轻描淡写，将章起始课一带而过，章起始课成为一种摆设，或者成了绪论教学，没有起到承上启下的作用。最新颁布的《普通高中数学课程标准(2017版)》(以下简称为《标准》)明确指出：数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐渐形成和发展的。同时还提出了掌握“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)，发展“四能”(发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力)的课程目标。[1]其理论框架的提出，为教师改进章起始课的教学带来了新思路。下面以人教A版高中《数学》(选修2-2)第一章“导数及其应用”的章起始课“变化率与导数(第1课时)”教学为例，谈谈章起始课的教学如何落实。

一、 教学分析

(一) 课标解读

随着对函数研究的不断深化，产生了微积分，微积分的创立是数学发展史上的里程碑，它的发展和广泛应用为研究变量和函数提供了重要的方法和思想，是全面认识数学价值的一个较好载体。导数和定积分不仅是微积分的核心概念，而且也是整个近代数学的核心概念。随着科技的进步和社会的发展，无论是中学毕业后直接步入社会还是进入高等学校继续学习，都应对微积分的思想有所了解，特别是导数的概念，在现代社会中随处可见，如运动速度、绿地面积的增长率、工厂“三废”的排污率等。其中《标准》提到，利用导数和定积分的丰富背景，列举大量的现实生活实例，在此基础上抽象出导数和定积分概念，通过“导数及其应用”的学习，可以帮助学生认识变化率、平均变化率和瞬时变化率的区别与联系，并对在实践中如何应用它们处理问题有所了解，深刻地把握住概念的本质。

如果说“数”是刻画静态事物的，函数是对运动变化的动态事物的描述，那么，导数就是对事物变化快慢的一种描述，并由此可进一步处理和解决极大值和极小值、最大值和最小值等实际问题，学生通过学习可以感受到变量数学的新的思想方法以及变量数学的强大力量。

“导数及其应用”这部分内容，既是“必修1”中函数学习的深入和延续，又为将来大学学习微积分的内容奠定基础。在高中理科数学课程中，教材编写人员将“导数及其应用”这部分内容编入《数学》(选修2-2)，并要求学生能通过具体情境，直观理解导数概念、掌握导数的基本运算规则，会用导数研究函数的性质和解决实际问题，知道微积分创立的过程，以及对数学发展的作用，从而提升学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模和逻辑推理素养。

(二)教材分析

“导数及其应用”一章主要有导数的概念、导数的几何意义、基本初等函数的导数公式；两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数及其基本公式；利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值；定积分的概念及微积分基本定理等内容。注重概念的背景、内涵和应用，强调逼近、以直代曲等思想方法。其中导数概念、定积分和微积分基本定理是整章内容知识的主线。“变化率与导数”一节是导数的起始课，主要包括平均变化率、瞬时变化率、导数的概念、导数的几何意义。开篇就以“气球膨胀率”“高台跳水”为例，单独开辟了一节课来分析归纳它们的共同特征，用f(x)表示其中的函数关系，总结得出一般平均变化率，并给出符号表示。为后续学习瞬时变化率及导数概念打下良好的基础。

(三) 学情分析

吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，“气球膨胀率”和“高台跳水”这两个实例的共同点是背景简单，引入容易。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。由于学生在必修1的学习中，掌握了函数的有关性质，在必修2模块中学习了两点连线的斜率公式(平均变化率的几何意义)，因而若能让学生主动参与到导数起始课的学习过程，必能调动其学习信心，使其初步达到掌握“四基”、发展“四能”的目标。

(四)教学策略

教师利用多媒体课件、GeoGebra平台等信息技术手段展示变化率问题的背景、图像，让学生直观感受平均变化率及其在生活实际中的广泛应用，从而调动学生学习的积极性。

教师指导学生通过观察温度曲线图，感知平均变化率的含义，并经过数学运算初步获得平均变化率的量化表示，从中获取数学基本活动经验。教师还可利用已有的知识经验与获取的经验，让学生主动参与“吹气球”和观看“高台跳水”视频，使学生通过分析、归纳、抽象出平均变化率的概念。体会数形结合、从特殊到一般的数学思想，培养学生的抽象概括能力，提升数学核心素养.。

二、教学设计

(一)展示引言背景，总览全章要点

教师利用多媒体课件展示问题背景：在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭借他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分。微积分的创立可以直接解决下面四类问题：

(1)已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程。

(2)求曲线的切线方程。

(3)求函数的极大值、极小值以及最大值和最小值。

(4)求长度、面积、体积和重心。

数学家牛顿、莱布尼茨创立了解决上面问题的工具，我们要解决课件展示的问题，就必须学好本章的内容。

设计意图：展示引言背景，总览全章知识要点，让学生了解本章的知识框架和基本线索，以及本章所要解决的数学问题。鼓励学生要以数学家为榜样，在学习过程中不怕苦、爱钻研、不畏难，从而激发学生的学习信心，调动学生的学习热情。

(二) 创设情境，揭示本质，获取经验

教师用多媒体课件展示：图1是某地一日气温T(单位：℃)随时间t(单位：h)变化的曲线图。请大家观察图象，思考：当0≤t≤3这段时间里，温度随时间变化的曲线，与当0≤t≤6这段时间里，温度随时间变化的曲线有什么异同？

图1

学生通过观察图象可知，当0≤t≤3这段时间里与当3≤t≤6这段时间里，温度曲线都是上升的趋势，不同点是当0≤t≤3这段时间里，温度上升要比当3≤t≤6这段时间里温度上升得慢。

教师再请学生分别用数学符号或表达式表示它们的相同点(温度曲线都是上升的)和不同点(上升的快慢不一样)。

教师再讲明温度随时间变化的快慢叫气温的平均变化率。那么，当时间从t1增加到t2时，气温的平均变化率是多少？

设计意图：以学生熟悉的生活实例(气温随时间的变化曲线图)为背景，让学生通过观察图象，直观感受不同时间段里气温随时间变化的快慢，并利用已有的知识经验得到气温变化快慢的符号表示，从中获取新的数学活动经验，为下面学习“气球的膨胀率”与“高台跳水的速度”奠定了基础。同时，让学生体会到数形结合、特殊到一般的数学思想。

(三) 实例探索，引入概念

【实验操作】实例1(气球膨胀率问题)，教师让学生拿出事先准备好的气球，然后向气球吹气。请问吹气的过程中有什么感受？通过自己的感受你能提出一个问题吗？

学生通过吹气球的亲身体验，经过思考、感悟、组内交流、达成共识，能发现和提出问题。

随着气球内空气容量的不断增加，气球的半径增加得越来越慢。

教师讲明气球半径随着空气容量的变化快慢叫气球的平均膨胀率。接着问：“你能从数学的角度出发，解释这个现象吗？试试看。”

为了更清楚地描述气球膨胀率逐渐变小，教师可借助GeoGebra平台展示气球的半径随充气量变化的函数的图象。在绘图区内，沿着曲线拖动点及其A、B的位置，在代数区内会显示其坐标，学生可根据点的横纵坐标很容易算出不同体积段的平均膨胀率，从而进行比较，能更直观形象地感知随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小，如图2所示。

图2

教师接着问：“当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？”

设计意图：教师让学生亲身经历实验操作，从体验感知的过程中发现和提出问题，然后利用已获取的活动经验分析解决问题；同时，借助于GeoGebra软件分析，帮助学生更直观形象地理解“气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小”这一现象。

【思考】运动员在t1≤t≤t2这段时间里的平均速度是多少？

图3

设计意图：教师以学生熟知的物理知识为背景，再次渗透平均变化率的含义；通过问题的探究，使学生体会到平均速度不能准确地描述物体的运动状态，为后续学习瞬时速度(导数)埋下伏笔。

(四) 归纳提炼，抽象概念

教师引导学生归纳出“温度曲线”“气球膨胀率”“高台跳水”这几个实例的共性，抽象出平均变化率的概念。

图4

(2)计算平均变化率有哪些步骤？

学生独立思考、交流讨论，借助斜率公式体会认识平均变化率的几何意义，从实例的计算中，归纳总结出求平均变化率的步骤。

设计意图：教师引导学生通过对一些熟悉的实例中变化率的理解，归纳共性，抽象出平均变化率的概念，展示概念的发生发展过程，并结合图形直观理解平均变化率的几何意义，从几何角度理解平均变化率的含义，体现数形结合的数学思想，培养学生抽象概括的思维能力，为进一步加深理解导数概念做铺垫。

(五)总结回顾，提炼升华

平均变化率的概念是什么？我们用什么方法得到的？求平均变化率的一般步骤是什么？本节课体现了那些数学思想方法？

教师引导学生回顾总结，点评并补充，说明平均变化率不能很好地描述函数在某点附近的变化趋势，要精确地描述函数在某点的变化趋势，那么就需要后续的学习。

三、教学思考

(一)注重情境创设，展现知识发生发展过程

教学情境是数学课堂教学的基本要素，创设有价值的情境会给学生一种独特的、不确定的感知，往往能激发学生的问题意识和探究动机，引发思考问题的积极性。本课的设计充分地挖掘了数学教材，以学生熟知的“气温曲线图”“吹气球”“高台跳水”等事例为载体，创设生动鲜活的教学情境，引导学生通过观察、思考、实验等，展开分析各事例的本质属性，发现和提出问题，并在教师的帮助下，从特殊到一般地逐步概括共同本质，归纳抽象出平均变化率的概念，使得概念的形成水到渠成。

(二)信息技术辅助教学，强化直观感知

利用信息技术手段，可以使典型的实例(气温曲线图、吹气球、高台跳水)的背景有声有色、生动逼真，能激发学生的学习兴趣，通过多媒体课件的播放及GeoGebra软件的动画演示，让学生更好地体会数形结合的思想，同时帮助学生发现规律，使得章起始课的探究学习落到实处。

(三) 树立生本观念，落实核心素养

教师不是教科书的执行者，而是教学方案(课程)的开发者。教师应利用自己的知识和经验，去创造具有个性色彩，更适合、更有效的教学。这就需要教师根据学生的认知水平，深入挖掘数学内部的联系，对教材进行“再创造”，设计出一个既以教材内容为基础，又对课程内容进行“校本化”“生本化”的教案，使课堂内容更加贴近学生的生活和经验，摆脱教材的束缚，使之成为非线性的、开放性的教学。[2]本节课的教学设计考虑到学生的认知基础，每一个环节都设置在学生思维的最近发展区。教师给平均变化率概念的生成过程和学生参与实验活动、小结等预留了足够的时间。教师在教学设计中始终关注学生思考、合作交流、动手操作、主动探索的学习方式，引导学生感受和领悟隐含在概念形成中的思想方法，在概念的运用和推广中渗透数学思想方法，促进学生的深度学习，实现育人的本位回归，将核心素养落到实处，使学生养成终身发展所需的必备品质和关键能力，真正实现素养教育。