空间解析几何作图的若干结论及其应用

栾金凤

【摘要】空间解析几何是高等数学课程中最重要和最基础的内容.由于受空间想象能力所限，学生认为空间解析几何题较难.本文对柱面、旋转曲面、二次曲面和曲线在坐标面上的投影分别进行了总结.掌握这些结论，考生不再畏惧此类题，同时这四个结论可以很好地建立代数与几何之间的桥梁.

【关键词】柱面;旋转曲面;二次曲面;伸缩法;曲线;投影

在高等数学中空间解析几何把向量作为基本出发点，建立空间直角坐标系，建立空间图形，为学习多元函数的图像和多元函数微积分的内容做了一个很好的铺垫.

空间解析几何主要解决两个基本问题：（1）已知一曲面，建立该曲面的方程;（2）已知一方程，研究该方程表示的图形的形状.柱面和二次曲面属于问题（2）;旋转曲面和曲线在坐标面上的投影属于问题（1）.由于空间解析几何内容的重要性和为让学生在课堂上很好地掌握这部分知识，本文提出了结论1、结论2、结论3和结论4.这些结论具有简便、容易记忆的特点.

一、柱面

定义1：一般地，直线L沿定曲线C平行移动形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线.

结论1：柱面方程中不含什么字母，在相应的图形中，母线平行于该字母所对应的轴.

在三维空间中，方程F（x，y）=0中不含字母z，则应用结论1，柱面图形中的母线平行于z轴（如图1）.

图1 柱面

例1 下列曲面中，（  ）的母线与z轴平行.

A.z=1

B. x2+y2+z=1

C.x2+y2+z2=1

D. x2+y2=1

解 从四个选项中可以看出，只有D选项方程中不含字母z，应用结论1，可知选D.

二、旋转曲面

定义2：一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲面和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴.

结论2：坐标面上曲线L绕什么轴旋转一周，方程中该轴所对应的字母不变，另一个字母用正负根号下其他两个字母的平方和来代替，所得的方程就是旋转曲面的方程.

如图2，坐标面yOz上曲线F（y，z）=0绕z轴旋转一周，方程中字母z不变，另一个字母y用±x2+y2来代替，所得的方程F（±x2+y2，z）=0就是旋转曲面的方程.

图2 旋转曲面

例2 旋转曲面x2-y2-z2=1是（  ）.

A.xOy平面上的双曲线绕x轴旋转所得

B.xOy平面上的双曲线绕z轴旋转所得

C.xOy平面上的椭圆绕x轴旋转所得

D.xOy平面上的椭圆绕z轴旋转所得

解 四个选项均是从xOy坐标面上出发考虑，所以把z=0代入旋转曲面方程x2-y2-z2=1中得双曲线方程x2-y2=1，排除C和D.应用结论2，若该双曲线绕x轴旋转，方程中字母x不变，另一个字母y用±y2+z2来代替，这样双曲线方程x2-y2=1就变成旋转曲面方程x2-y2-z2=1了，故选A.

三、二次曲面

定义3：三元二次方程F（x，y，z）=0所表示的曲面称为二次曲面.

分析二次曲面图形往往用到截痕法和伸缩法，其中伸缩法较难.下面对伸缩法给出结论.

结论3：原图形沿什么轴伸缩为原来的λ倍，方程中该轴所对应的字母就除以λ，其余的不变，就可以得到新图形所对应的方程.

為说明结论3的正确性，下面用maple数学软件作圆x2+y2=1和椭圆x24+y2=1的图像，如图3.

应用结论3，圆x2+y2=1变成椭圆x24+y2=1，圆沿x轴方向伸长为原来的2倍，圆的方程中字母x除以2，而y不变，即得椭圆方程.

图3 圆和椭圆

例3 分析方程x2+y2+z2=1所对应的球面图形变成椭球面图形所对应的方程x222+y2+z20.52=1的过程.

解 应用结论3，首先球面x2+y2+z2=1沿x轴方向伸长为原来的2倍，方程x2+y2+z2=1中字母x除以2，其余不变，得到图形所对应的方程为x22+y2+z2=1;然后该图形沿z轴方向缩短为原来的0.5，同样方程x22+y2+z2=1中字母z除以0.5，其余不变，得到椭球面所对应的方程x22+y2+z0.52=1.

四、空间曲线在坐标面上的投影

结论4：考虑曲线在什么坐标面的投影方程，需把另一个字母消去得到一个方程，同时令消去的字母等于0，建立方程组就是投影方程.

例4 设曲线C的一般方程是z=4-x2-y2，z=3（x2+y2），求曲线C在xOy坐标面上的投影C′的方程.

解 应用结论4，要求曲线C在xOy坐标面上的投影C′的方程，

需把另一个字母z消去，

得到方程x2+y2=1，

同时令消去的字母z=0，

得到投影曲线C′的方程x2+y2=1，z=0.

例5 求螺旋线x=acos θ，y=asin θ，z=bθ在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.

解 应用结论4，螺旋线在xOy坐标面上的投影，由方程组的第一个方程和第二个方程得x2+y2=a2，同时令z=0，得到投影曲线的方程为x2+y2=a2，z=0;

应用结论4，螺旋线在yOz坐标面上的投影，由方程组的第二个方程和第三个方程得y=asin zb，同时令x=0，得到投影曲线的方程为y=asin zb，x=0;

应用结论4，螺旋线在zOx坐标面上的投影，由方程组的第一个方程和第三个方程得x=acos zb，同时令y=0，得到投影曲线的方程为x=acos zb，y=0.

有时解决问题需要用到结论1、结论2、结论3和结论4中的几个才能完成，如下面例6.

例6 分析双曲柱面x2-y24=1图形变成双叶双曲面x2-y24-z25=1图形的过程.

解 双曲柱面的方程x2-y24=1中不含字母z，应用结论1，柱面的母线平行于z轴;

双曲柱面图形绕x轴旋转一周，应用结论2，得到的旋转曲面方程是x2-y2+z24=1;

然后再应用结论3，旋转曲面沿着z轴方向伸长为原来的52倍，得到双叶双曲面x2-y24-z25=1的图形.

结束语

本文主要论述有关几何的简便、容易记忆的四个结论，提供了有关空间解析几何中最难部分（柱面、旋转曲面、二次曲面、空间曲线在坐标面上的投影）出现的一些题目的解决方法，希望能够对教师的教学工作、学生掌握这部分内容有所帮助.

【参考文献】

[1] 韩宝玲. 非退化二次曲面的几何定义[J]. 数学学习与研究：教研版， 2009（2）：97.

[2]同济大学数学系.高等数学：第七版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]王雪丽.关于《空间解析几何》课堂教学设计探究[J].科技资讯，2015（36）：234，236.

[4]史雪荣.空间解析几何教学中培养学生的创新能力[J].林区教学，2015（7）：71-72.