区域动态构建法在重积分计算中的应用

洪明理 张鹤翔 张丽娟

【摘要】 重积分的计算是《高等数学》课程教学的重点和难点.化重积分为累次积分的过程中，积分次序及积分限的确定是关键.本文通过积分域的动态构建，为积分次序和积分限的确定提供一个形象生动的途径，使得初学者在学习过程中能做到步骤明朗，思路清晰.

【关键词】重积分;累次积分;积分域

【基金项目】防灾科技学院教育研究与教学改革项目（JY2018B08，2019GJJG478）

引 言

重积分的计算一直是《高等数学》教学的重点和难点.它主要是通过转化为累次积分来计算.目前，我们主要是根据积分区域的类型把区域用不等式表示，再根据不等式将重积分转化为累次积分.学生在自己做题的时候，思路常常不清晰，在积分限的确定和积分次序的选取上常常出错，特别是对转换积分次序的问题，更是理不清思路.教师讲解这部分知识也特别困难.在教学过程中，笔者在原有的方法的基础上，通过摸索教学经验，发现站在动态构建积分域的角度，可以给学生呈现一个步骤清晰、可操作性强的转化程序.而且，这种动态构建积分域的方法对各种坐标系下化重积分为累次积分都是适用的.本文将介绍直角坐标系下、极坐标系下和球坐标系下积分域的动态构建法及该方法在重积分计算中的应用.

一、直角坐标系下区域的动态构建

在直角坐标系下，一个二维区域可以看成是平行于x轴或y轴的动线段沿着坐标轴的正向连续移动形成的轨迹.在动线段移动前，只要确定好线段在移动过程中的两个端点及线段的初始位置和终点位置，该区域就被完全确定.而移动中的动线段，我们又可以看成是点沿着坐标轴正向的运动轨迹，它的两个端点正是动点的起点和终点.因此，在直角坐标下构建区域，可以归结为两个步骤：

1.由点沿坐标轴正向连续移动构建平行于该坐标轴的动线段;

2.由动线段沿另一坐标轴的正向连续移动构建区域.

在直角坐标系下，我们可以把这两个构建步骤与点的坐标的变化对应起来，从而将按步骤有序地把二重积分化为二次积分 .

比如： X型区域：

1. 任给x， 让动点由下往上（即y轴递增的方向）移动构建垂线段.在点的运动过程中，x坐标不变，y坐标递增，y的下界和上界分别由起点和

终点所在的边界曲线方程确定，即x固定，y：φ（x）→ψ（x）.

2.动线段从左边界x=a移动到右边界x=b便唯一确定区域D， 这个过程又与x从a递增到b相对应（此过程不仅使得线段移动，还使得线段的端点同时发生变化）， 即x：a→b.[a，b]为区域在x轴的投影.

构建好区域后，我们就可以将该区域上的二重积分按以上两个步骤有序地转化为二次积分.第一次积分：将x固定，对y从φ（x）到ψ（x）积分;第二次积分：对x从a到b积分，

即Df（x，y）dxdy=∫badx∫ψ（x）φ（x）f（x，y）dy.

同理， 对于Y型区域：

1.任给y，让动点从左往右（沿x轴递增方向）移动构建水平动线段.点在运动过程中，y坐标不变，x坐标递增，x的下界和上界分别由起点和终点所在的边界曲线方程确定，即y 固定，x：x1（y）→x2（y）.

2.动线段从下边界y=c移动到y=d便唯一确定区域D.这个过程又与y从c递增到d相对应，即y：c→d.[c，d]恰好是区域在y轴的投影.

构建好区域后，该区域上的二重积分便可按上述两个步骤有序地化为二次积分.第一次积分：将y固定，对x从x1（y）到x2（y）积分;第二次积分：

对y从c到d积分，即

Df（x，y）dxdy=∫dcdy∫ψ2（y）ψ1（y）f（x，y）dx.

学生如果掌握了这种由点到线再到面的区域动态构建方法，并能将点和线的有向运动与坐标的变化建立对应，便能理解积分次序与点和线的运动方向有关，不同的构建方法产生不同的积分次序，也就不会发生错误.而积分限又可以通过点和线运动的起点和终点来确定，很直观，容易操作.

二、极坐标系下区域的动态构建

在极坐标系下，一个二维区域可以看成是由极点出发的动射线绕极点旋转得到的轨迹.在旋转前，只要确定好动射线的两个端点及初始位置和终点位置，区域就可以完全确定.我们依然可以运用建立由点到线再到面的动态构建法，并将构建步骤与极坐标的变化建立对应.

1.让动点从极点出发，沿着极半径递增的方向运动构建动射线，找出与边界的两个交点.在运动过程中，显然极角θ固定，极半径r递增，r的下界和上界分别由第一个交点和第二个交点所在的边界曲线的极坐标方程确定，即

θ固定，r：φ1（θ）→φ2（θ）.

2.让动射线从θ=α绕极点沿逆时针方向旋转到θ=β便唯一确定区域D.这个过程又与θ从α递增到β相对应，即θ：α→β.

区域构建后，我们就可以将该区域上的二重积分按以上两步骤有序地化为二次积分.第一次积分：将θ固定，对r从φ1（θ）到φ2（θ）积分;第二次积分：对θ从α到β积分.

大部分教材都从极点与区域的位置关系分情况讨论，实际上不管是哪一种情况，这种动态构建法都是适用的.

此外，这种动态构建法也适用于空间区域的构建以及三重积分的计算，对于空间直角坐标系和柱面坐标系下区域的构建和平面类似，只是动线段的移动范围由一维的区间变成了二维的区域（空间区域在坐标面的投影），所以这里我们不再阐述.下面我们介绍一下球坐标系下区域的构建.

三、球坐标系下空间区域的构建

在球坐标系下，我们也可以运用由点到线，由线到面，由面到体的动态构建法.下面我们以球面r=R与三个坐标面在第一卦限围成的立体Ω为例，来介绍这种动态构建法.

1.让动点从原点出发，沿着r递增方向运动形成穿过立体的射线（如图4），这个过程中θ，φ固定，r递增，r的下界和上界由射线与立体表面的两个交点所在面的球坐标方程确定.对该区域，这个过程可描述为：θ，φ固定，r：0→R.

2.让该射线沿逆时针方向（θ递增方向）绕z轴旋转形成动锥面（如图5）.这个过程中φ固定，θ：0→π2.

3.让动锥面从上往下（φ递增方向）铺开扫遍整个立体. 对该区域，这个过程对应φ：0→π2.

最后，再根据这三个构建步骤，将该区域上的三重积分有序地化为三次积分，即

Ωf（rsin φcos θ，rsin φsin θ，rcos φ）r2sin φdrdθdφ=∫π20dφ∫π20dθ∫R0f（rsin φcos θ，rsin φsin θ，rcos φ）r2sin φdr.

如果一个三重积分适合用球面坐标系计算，我们都可以利用这三个步骤构建积分域，从而将其化为三次积分.

结 语

本文从动态构建积分域的角度讲述化重积分为累次积分的方法.在教学过程中，我們还可以通过动画演示把这种构建方法形象地呈现给学生，使得原本晦涩难懂的知识变得形象生动，提高学生的课堂参与率及课堂教学效果.

【参考文献】

[1]同济大学数学系. 高等数学（下册）：第7版[M].北京：高等教育出版社，2014.

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[4]雍龙泉. 直角坐标系下二重积分的计算方法研究[J]. 湖北工程学院学报，2019，39（06）：106-108.