一元多项式环通用性质条件弱化下的特殊情形

陈天铭

【摘要】 一元多项式环的通用性质一定程度上避免了计算的重复性，令环的子环是交换环，则通用性质的条件进行了弱化，可以扩大计算的便利范围.在条件弱化下的特殊情形中，映射仍为同构映射，且运用单位矩阵的性质，可以得到一元多项式环的通用性质仍然成立.

【关键词】一元多项式环;交换环;单位矩阵;同构映射

【基金项目】 国家自然科学基金（11671284）

一、引 言

参考文献[1]中一元多项式环的通用性质可以将任一数域P上一元多项式中的不定元x，用其他元素代入.例如，矩阵A等，在运算上变得方便，代入即可，避开了计算的重复性.对于通用性质中的条件，参考文献[2]中提到自然的嵌入映射，即环同态，把该映射与环同构进行复合，可以得到单环同态，以此来处理一元多项式环通用性质的条件.

本文考虑的是将条件进行弱化下的特殊情形，并证明出在该情形下，通用性质仍然成立.

二、预备知识

1.第Ⅰ阶段

为完整叙述一元多项式环的通用性质，在此列出所需要的定义[1-6].

定义1 数域P上的一元多项式是指形如下述的表达式：anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，其中x是一个符号（它不属于P）;n是非负整数;ai∈P（i=0，1，…，n），称为系数;aixi称为i次项（i=1，2，…，n）;a0称为零次项或常数项.两个这种形式的表达式相等规定为它们含有完全相同的项（除去系数为0的项外，系数为0的项允许任意删去和添加）.此时，符号x称为不定元.

定义2 系数全为0的多项式称为零多项式，记作01.

定义3 设G是环，a，b∈G，若满足ab=ba，则称G是交换环.

定义4 设G是环，称G为带有单位元的环，如果对a∈G，e′∈G，有ae′=a=e′a.

定义5 设Mn（P）是数域P上n级矩阵的集合，A∈Mn（P），表达式为bnAn+bn-1An-1+…+b1A+b0I，其中bn，bn-1，…，b0∈P，I是数域P上n级单位矩阵，称为矩阵A的多项式.

定义6 设R是一个非空集合，如果它有两个代数运算：一个叫作加法，记作a+b;另一个叫作乘法，记作ab.并且这两个运算满足6条运算法则（a，b，c∈R）：

（ⅰ）加法结合律，即（a+b）+c=a+（b+c）;

（ⅱ）加法交换律，即a+b=b+a;

（ⅲ）在R中有元素0，使得a+0=a，称0是R的零元素;

（ⅳ）对于a，在R中有元素d，使得a+d=0，称d是a的负元素，记作-a;

（ⅴ）乘法结合律，即（ab）c=a（bc）;

（ⅵ）乘法对于加法的左、右分配律，即a（b+c）=ab+ac;（b+c）a=ba+ca.

定义7 数域P是有理数域Q的有限扩张，也是复数域C的子域，则数域P是一個环，故数域P满足环的6条运算法则.

定义8 若数域P到环G的一个子环G1有一个双射σ，且满足（α，β∈P）：

（ⅰ）σ（α+β）=σ（α）+σ（β）;

（ⅱ）σ（α·β）=σ（α）·σ（β）.

则称σ是数域P到环G的一个子环G1的一个同构映射.

定义9 设Mn（P）是数域P上n级矩阵的集合，称I是单位矩阵，如果对A∈Mn（P），

那么有AI=A=IA.

2.第Ⅱ阶段

定理1 设P[x]是数域P上一元多项式的集合，则P[x]是一个环.

定理2 设Mn（P）是数域P上n级矩阵的集合，则Mn（P）是一个环.

证明 （Ⅰ）设02是数域P上的零矩阵，显然02∈Mn（P），故Mn（P）是非空集合.

（Ⅱ）Mn（P）有两个代数运算，分别是加法和乘法.

令A，B，C∈Mn（P），A=aij，B=bij，C=cij，其中i，j=1，2，…，n∈N，

（ⅰ）因为数域P满足加法结合律，则有A+B+C=A+（B+C），因此，Mn（P）满足加法结合律.

（ⅱ）因为数域P满足加法交换律，则有A+B=B+A，因此，Mn（P）满足加法交换律.

（ⅲ）已知02∈Mn（P），对A∈Mn（P），有A+02=A，则02是Mn（P）的零元素.

（ⅳ）对于A，在Mn（P）中有元素B，使得A+B=02，称B是A的负元素，记作-A.

（ⅴ）令A=a11…a1n………an1…ann，令α1=a11…an1n×1，…，αn=a1n…annn×1，

A=α1…αn，

B=b11…b1n………bn1…bnn，

令β1=b11…b1n1×n，…，

βn=bn1…bnn1×n，B=β1βn，

C=c11…c1n………cn1…cnn，令γ1=c11…cn1n×1，…，γn=c1n…cnnn×1，

C=γ1…γn，则有

A·B·C=∑ni=0αi·βi·

γ1…∑ni=0αi·βi·γn.

A·B·C=α1…αn·β1·γ1…β1·γn………βn·γ1…βn·γn=∑ni=0αi·βi·

γ1…

∑ni=0αi·βi·γn.

故A·B·C=A·B·C.

因此，Mn（P）满足乘法结合律.

（ⅵ）因为数域P满足乘法对于加法的左、右分配律，则有：

A·B+C=A·B+A·CB+C·A=B·A+C·A

因此，Mn（P）满足乘法对于加法的左、右分配律.

综上，Mn（P）是一个环.由于A，B∈Mn（P），不一定有A·B=B·A，因此，Mn（P）是环，但不是交换环，这一性质在建立特殊情形时，起到了作用.

定理3 环G的一个非空子集G1是子环的充要条件是a，b∈G1，有a-b，a·b∈G1.

证明 （Ⅰ）充分性，已知a，b∈G1，有a-b，a·b∈G1，且G1是G的一个非空子集.

（ⅰ）因为G1是非空的，则c∈G1，有c-c∈G1，即0∈G1;

（ⅱ）0∈G1，对于b∈G1，有0-b∈G1，即-b∈G1;

（ⅲ）a，b∈G1，有a∈G1，-b∈G1，则a--b∈G1，即a+b∈G1;

（ⅳ）由已知条件，a，b∈G1，有a·b∈G1;由于G1是G的一个子集，故G1满足6条运算法则.因此，G1是G的一个子环.

（Ⅱ）必要性，已知环G的一个非空子集G1是子环，由环的定义可以得到：

（ⅰ）b∈G1，有-b∈G1;

（ⅱ）G1有两个代数运算，分别是加法和乘法.故a，b∈G1，有a-b=a+-b∈G1，a·b∈G1.

定理4 设PA={矩阵A的多项式|A∈Mn（P）}，则PA是Mn（P）的一个子环.

证明 令f（A）=bnAn+…+b1A+b0I，其中b0，b1，…，bn∈P，A∈Mn（P），则对于f（A）∈PA，根据n级矩阵在进行乘法、加法运算后仍为n级矩阵这一性质，可以得到PA是Mn（P）的一个子集.

（ⅰ）当b0=…=bn=0时，有02∈PA，故PA是非空的;

（ⅱ）f（A），g（A）∈PA，有f（A）-g（A），f（A）·g（A）∈PA;

因此，PA是Mn（P）的一个子环.

定理5 设PI是数域P上的数量矩阵的集合，则PI是PA的一个子环.

证明 b0I∈PI，当b1=…=bn=0时，有b0I∈PA，因此PI是PA的一个子集.

（ⅰ）显然02∈PI，故PI是非空的;

（ⅱ）k1I，k2I∈PI，其中k1，k2∈P，有k1I-k2I，k1I·k2I∈PI.

因此，PI是PA的一个子环.

定理6 PI是Mn（P）的一个子环且PI是交换环.

证明 由于PIPAMn（P），因此，PI是Mn（P）的一个子集.

（ⅰ）已知02∈PI，故PI是非空的;

（ⅱ）k1I，k2I∈PI，其中k1，k2∈P，有k1I-k2I，k1I·k2I∈PI.

因此，PI是Mn（P）的一個子环.由于数域P满足乘法交换律，对于k1I，k2I∈PI，其中k1，k2∈P，有k1I·k2I=k1·k2I=k2·k1I=k2I·k1I，故PI是交换环.

定理7 设e′是环G1的单位元，若数域P到环G1有一个同构映射σ，且数域P有单位元e，则σ（e）是环G1的单位元，即σ（e）=e′.

证明 由于σ是同构映射，故σ是满射，则对于b∈G1，a∈P，使得σ（a）=b.根据同构映射的定义，可以得到：

（ⅰ）b=σ（a）=σ（e·a）=σ（e）·σ（a）=σ（e）·b;

（ⅱ）b=σ（a）=σ（a·e）=σ（a）·σ（e）=b·σ（e）.

因此，σ（e）是环G1的单位元，即σ（e）=e′.

三、条件弱化下特殊情形的建立与证明

1.一元多项式环的通用性质

设P是一个数域，G是一个有单位元e′的交换环，数域P到交换环G的一个子环G1有一个同构映射σ，其中子环G1含有环G的单位元e′.由于P[x]包含P，任取t∈G，令σt：P[x]→G，则有如下3条结论，分别是：

（ⅰ）σt是P[x]到G的一个映射;

（ⅱ）σt（x）=t;

（ⅲ）σt保持加法、乘法运算，若f（x）+g（x）=h（x），f（x）·g（x）=q（x），则f（t）+g（t）=h（t），f（t）·g（t）=q（t）.

称σt是x用t代入.

2.条件弱化下特殊情形的建立

将“交换环G，G的一个子环G1”减弱为“环G，G的一个子环G1是交换环”.

根据预备知识，建立的特殊情形：环G是Mn（p），子环G1是PI.

3.条件弱化下特殊情形的证明

设P是一个数域，Mn（P）是一个有单位元I的环，数域P到Mn（P）的一个子环PI有一个映射σ，且PI含有Mn（P）的单位元I，根据预备知识，PI是交换环.

A∈Mn（P），σA：P[x]→Mn（P）

f（x）=△∑ni=0aixi→∑ni=0σai·Ai=△f（A）

则有（ⅰ）映射σ仍为同构映射;

（ⅱ）σA是P[x]到Mn（P）的一个映射;

（ⅲ）σA（x）=A;

（ⅳ）若f（x）+g（x）=h（x），f（x）·g（x）=q（x），则f（A）+g（A）=h（A），f（A）·g（A）=q（A）.

称σA是x用A代入.

证明 （ⅰ）已知σ：P→PI，

k→kI，k∈P.

①k1，k2∈P，当k1≠k2时，有k1I≠k2I，则σ是单射.

②kI∈PI，k∈P，使得σk=kI，则σ是满射.

③k1，k2∈P，有

σk1+k2

=k1+k2I

=k1+k20…00k1+k2…000…k1+k2

=k10…00k1…000…k1+k20…00k2…000…k2

=k1I+k2I=σk1+σk2

σk1·k2=k1·k2I

=k1·k20…00k1·k2…000…k1·k2

=k10…00k1…000…k1·k20…00k2…000…k2

=k1I·k2I=σk1·σk2.

综上，映射σ仍为同构映射.

（ⅱ）由于f（x）的表示法唯一，且σ是数域P到子环PI的同构映射，故有（i=0，1，…，n）

σai·Ai∈Mn（P），因此σA是P[x]到Mn（P）的一个映射.

（ⅲ）已知e是P的单位元，σ是P到PI的同构映射，根据预备知识，则σ（e）是PI的单位元，即σ（e）=I，故σA（x）=σAe·x=σ（e）·A=I·A=A.

（ⅳ）令f（x）=∑ni=0aixi，g（x）=∑mj=0bjxj，不妨假设n≥m，则有

h（x）=∑ni=0ai+bixi，

其中bm+1=…=bn=0，q（x）=∑n+ms=0∑i+j=sai·bjxs.

由于σA：h（x）→h（A）q（x）→q（A）

因此，h（A）=∑ni=0σ（ai+bi）·Ai，q（A）=∑n+ms=0σ∑i+j=sai·bj·As;根据同构映射的定义，可以得到：

①h（A）=∑ni=0σai+σbi·Ai=∑ni=0σai·Ai+∑ni=0σbi·Ai，由于bm+1=…=bn=0，且σ是P到PI的同构映射，因此，σbm+1=…=σbn=02，可以得到h（A）=f（A）+g（A）.

②q（A）=∑n+ms=0∑i+j=sσaibj·As=∑n+ms=0∑i+j=sσai·σbj·As，根据预备知识中单位矩阵和同构映射的定义，则f（A）·g（A）=∑ni=0σai·Ai·∑mj=0σbj·Aj=∑ni=0∑mj=0aiI·Ai·bjI·Aj

= ∑ni=0∑mj=0aiI·bjI·Ai+j=∑n+ms=0∑i+j=saibjI·As=∑n+ms=0∑i+j=sσaibj·As =∑n+ms=0∑i+j=sσai·σbj·As.因此，q（A）=f（A）·g（A），称σA是x用A代入.

四、结 论

本文主要对通用性质中的条件进行弱化，并证出具体情形下通用性质仍成立.但缺点是考虑的还只是条件弱化下的单一特殊情形，对于条件弱化下的一般情形是否也满足一元多项式环的通用性质还有待进一步的探索.

【参考文献】

[1]丘维声.高等代数（下册）：第2版[M].北京：清华大学出版社，2010.

[2]Nathan Jacobson.Basic Algebra I[M].2rd.New York：Dover Publications，2009.

[3]William C.Brown.Matrices Over Commutative Rings[M].New York：Marcel Dekker Inc，1993.

[4]胡萬宝，王健根.仅有局部单位元环上的范畴对偶[J].大学数学，1995，27（02）：90-92.

[5]Jurgen Neukirch.Algebraic Number Theory[M].Berlin：Springer，1999.