从核心素养的视角浅论高中生数学运算能力培养

2021-02-22罗慧怡

数学学习与研究 2021年2期

罗慧怡

【摘要】数学运算是数学核心素养的重要组成部分，在高考改革的大趋势下，对数学核心素养的要求越发明显，而提升数学运算能力更是提高数学综合水平的重中之重.

【关键词】数学核心素养;数学运算能力;培养方法

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中明确指出，“数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养”.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果，等等.培养学生的数学运算能力应从以下几个方面入手.

一、夯实学生基本功

1.关注“四基”“四能”.纵观新高考改革以来的高考试题，那些看上去困难或新颖的问题，往往需要学生发掘问题的内涵，寻找使用基本概念和基本计算方法的切入点.因此，在日常的教学中，教师应指导学生深刻理解数学基本概念的本质和内涵，引导学生从不同的角度体会数学的基本思想方法，把握基本解题方法的逻辑顺序和基本步骤，养成使用教材上的基本思想和方法解决问题的习惯.例如，2018年上海秋季高考中的第11题：已知常数a>0，函数f（x）=2x2x+ax的图像经过点Pp，65，Qq，-15.若2p+q=36pq，则a=.该题看似复杂，实则只需将两点代入函数解析式，取倒数后再进行化简计算即可.过程如下：

65=2p2p+ap，- 15=2q2q+aq56=2p+ap2p，-5=2q+aq2q-16=ap2p，-6=aq2q

1=a2pq2p+qa=6.

该题的解答完全源于基本方法的运用，并不需要太多的特殊技巧和方法，学生只需掌握常规计算方法即可完成.

2.关注运算与推理相结合，重视运算过程的合理性.学生在解题时往往不太重视推理过程对运算的重要性，在各种公式和方法、运算法则的使用上十分盲目.所以，教师在教学过程中应重视培养学生对问题进行符合逻辑的联想，让学生养成用理论指导计算的解题习惯，让学生学会遵循基本的推理过程，掌握基本的运算顺序和运算规律.

只有真正把握问题的内在算理，才能提高解题的合理性和准确性.例如，2019年上海秋季高考中的第17题：如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM=2，CD=3，AD=4，AA1=5. （1）求直线A1C与平面ABCD的夹角;（2）求点A到平面A1MC的距离.学生如果选择使用空间向量的方法，那么运算的逻辑顺序就应是先将各点及向量的坐标计算清楚，才能做后续的运算，而（2）题则是在（1）题坐标计算正确的前提下继续运用法向量和距离公式进行计算.学生如果选择几何法，那么运算的逻辑顺序就应转换为等积变换的思想方法，在运算过程中，要特别关注解斜三角形问题中三角形面积的求解，只有正确把握该题的内在逻辑，准确完成各个运算环节，才能完整无误地解决该题.然而，想要得证这些就需要教师在平时的练习中培养学生正确的逻辑推理，以及遵循正确的计算顺序.

3.关注教材中的重点内容及其相应的运算方法.教师在定理、公式、法则及重要结论的推导和应用过程中，要重点示范、讲清算理算法;在进行各种运算与定理公式推导应用时，要尽量详细规范板演;直接应用公式、定理解题时，要多让不同层次的学生在黑板上板演或展示各种解法，通过比较算理的合理性，算法的简捷性，过程的规范性，促进学生形成各种运算技能.例如，在椭圆标准方程的推导过程中，教师应强调从椭圆的定义出发，对距离公式进行化简，从而进行消元，并引入参数b，令b2=a2-c2，从而使化简好的方程形式更加简洁和美观.

4.关注审题能力的培养.教师在指导学生解决问题时，应及早确定运算目标，并在运算求解过程中及时调整运算方向.弄清条件是解题的前提，一般可分为：一级条件（原始条件）、二级条件（变形条件）、三级条件（隐含条件）.

5.关注运算速度，强化限时训练.强化限时训练对提升运算速度十分重要，教师首先应精选练习，要根据不同层次的学生特点，选择运算量适度的习题，兼顾几种解法，以便于不同层次的学生都能有所提升，在评讲时也可提供多种运算途径供学生选择.

6.关注简化运算，提高解题效率.

（1）熟记一些常见的运算结论和推理结果是提升解题效率的重要方法和手段.学生可以根据现有结论探寻解题思路，从而进一步简化运算过程，提高运算结果的准确性.例如，正四面体的体积公式、焦半径公式、弦长公式，以及各种三角公式等.

（2）在各类运算相关问题中，解析几何题的运算是学生尤为头疼的，教师需要教会学生简化运算的基本方法.例如，恰当建系、巧妙设元、回归定义、设而不求、数形结合、整体代换、数式化简、特殊引路、特征分析（定量、定性）、直觉判断、合情推理……

例如，2019年上海春季高考中的第20题：已知抛物线方程y2=4x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：d（P）=|PF||FQ|.（1）当P-1，-83时，求d（P）;（2）证明：存在常数a，使得2d（P）=|PF|+a;（3）P1，P2，P3为抛物线准线上三点，且|P1P2|=|P2P3|，判断d（P1）+d（P3）与2d（P2）的关系.该题如果不进行深入阅读寻找合理运算方法，多数学生会给出如下解答：

（1）因为kPF=43y=43x-1，联立方程组y=43（x-1），y2=4xxQ=14，则|PF|=103，QF=54d（P）=83.

（2）当P（-1，0）时，易得a=2d（P）-|PF|=2.

不妨设P（-1，yP），yP>0，直线PF：x=my+1，

则myP=-2，

聯立x=my+1，y2=4x，得y2-4my-4=0，

yQ=4m+（4m）2+162=2m+2m2+1，

2d（P）-|PF|=2yPyQ-1+m2yP=2×-2m2m+2m2+1+21+m2m=2.

（3）设P1-1，y1，P2-1，

y2，P3-1，y3，则

2dP1+dP3-4dP2=P1F+P3F-2P2F=y21+4+y23+4-2y22+4

=y21+4+y23+4-y1+y32+16.

因为（y21+4+y23+4）2-[（y1+y3）2+16]=2y21+4·y23+4-2y1y2-8，

又因为（y21+4）（y23+4）-（y1y3+4）2>0，

所以d（P1）+d（P3）>2d（P2）.

然而，事实上，学生若能在第二问中发现抛物线定义的应用，即可将问题转化为直角三角比：

如图3，设∠PFM=θ，则d（P）=|PF||QF|=|QF|+|PQ||QF|=1+1cos θ，

且|PF|=2cos θ，

则有2d（P）=2+2cos θ=|PF|+aa=2.使用数形结合的方法，立刻将原本复杂的计算变得简单了许多.而第三问的求解如果能有效利用第二问的结论，运算效果会事半功倍.

因为dP1+dP3=2+1cos θ1+1cos θ3=2+P1F2+P3F2，

且由第二问结论可得2dP2=2+P2F，

可得dP1+dP3-2dP2=P1F+P3F2-P2F=P1F+P3F-2P2F2.

由于P2为P1P3的中点，如图4，延长FP2至M使MP2=FP2，可构成MP3FP1.

显然：

dP1+dP3-2dP2=P1F+MP1-MF2>0，

即dP1+dP3>2dP2.

由此可见，若学生可以通过认真审题归纳运算原理，发现运算规律，往往会收到意想不到的效果.

二、加强学法指导，培养学生自我纠错的能力

1.指导学生精读教材，对于教材中出现过的基本运算方法和运算技巧要重点关注，包括教材中的例题、图示，乃至课后阅读材料、书本边角注释等都要仔细推敲.在阅读教材时，教师要指导学生学会思考，体会编者的目的.例如，沪教版中推导等差数列的求和公式中使用了倒序相加的方法，教师在指导学生解决数列中倒序相加法的问题时，应告知该方法的出处，引导学生重温教材，加深记忆.

2.指导学生每周进行错题汇总，寻找知识掌握的薄弱环节，找到错误的本源，并及时加以纠正.随着信息技术的逐步深入，例如，智学网、极课大数据、钉钉等App的使用，不仅有效地帮助教师进行分析和统计，也为学生带来了很多的帮助，为学生的错题整理带来了很多的便捷.

三、重视知能结合，关注习题课的教学

1.数学运算能力的训练贯串在数学教学全过程之中，需要通过有效的训练促进知识向能力的转化.常规教学往往喜欢重复题型，通过题组训练来促进学生模仿并强化记忆，对此，我认为教师应调整思路，不能单纯地进行重复训练，而应以问题为载体，努力培养学生的数学思维，进而提升其运用数学思想方法的能力.

2.数学运算训练要力求扎实、牢固.教师在选择例题和习题时，应关注学生的实际情况，“度”的掌握是习题选择的关键所在，要让每一名学生都能在习题课上有存在感和获得感，让学生“跳一跳，够得到”.

3.运算规范化的训练尤为重要，运算规范化主要包含以下几个方面：运算思想规范化、运算方法规范化，解题过程规范化、数学语言表达规范化.具体来说，教师应抓好以下几点：

（1）要求学生能清晰表述运算思想.

（2）要求学生能详细给出解题过程.

（3）要求学生规范化地进行数学字母和数学符号的书写.

（4）要求学生在运算推理过程中学会用文字解释运算步骤.

核心素养教育是我国教育改革中的一项重要举措，数学运算能力作为数学核心素养的重要组成部分，如果在高中阶段得到有效培养和锻炼，对学生的后续学习会有很大帮助，更为日后学习专业性学科知识打下基础.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版[M]. 北京：人民教育出版社，2017.