基于矢量控制的永磁同步电机控制方法研究

张会娟，姚艳艳，刘建娟，吴才章，陈红梅

(河南工业大学 电气工程学院，郑州 450000)

0 引言

PMSM制作工艺得到发展的同时，其控制策略也得到了快速发展[1-2]。PMSM本身就是一个多变量、强耦合的控制对象，对其控制参数进行解耦是提高电机控制精度最有效的方法。矢量控制和直接转矩控制是最为常见的解耦控制策略[3-5]。矢量控制首先将定子电流分解为电磁转矩电流和励磁电流，实现电机电流参数的解耦，再对两个电流分量进行独立控制，最终实现PMSM的解耦控制，其控制效果在一定程度上依赖于电机数学模型的准确型[6]。矢量控制是从定子磁链着手研究，通过坐标转换，将定子磁链转换到与转子磁链方向上进行控制，因此，该方法也被称为磁场定向控制[7-8]。直接转矩控制与矢量控制的相同之处在其控制也是基于PMSM数学模型进行控制，但对模型的依赖程度比较低；不同之处在于直接转矩控制，不需坐标系之间的相互转化，而是直接对电机的总磁链进行研究[9]。

矢量控制虽然对电机数学模型有一定的依赖，但是该方法控制下的PMSM系统稳定性更好，响应速度快。id=0控制、cosφ=1控制、最大转矩/电流比控制、弱磁控制、最大效率控制等[10-12]是较常见的矢量控制方法。其中id=0矢量控制应用最广，该策略在控制过程中电机的转矩角一直保持90°不变，因此该方法又被称为恒转矩角控制。此外，无论是表贴式还是内置式PMSM，id=0矢量控制效果可以与直流电机相媲美，尤其是在低速范围内，控制效果更为突出[13]。因此，本文采用id=0矢量控制对PMSM进行深入研究。

1 PMSM数学模型

1.1 PMSM工作原理

电动机有多种工作模式，具体工作于哪种模式不仅与电机定子绕组的结构有关，还与绕组的连接形式有关。本文选取的PMSM定子绕组采用的Y型连接，单极电机定、转子磁场相互作用示意图如图1所示。

注：θe为A轴与d轴的夹角，即空间电角度

电机转子静止时，如果向电机三相绕组通入直流电流，将会在定子侧产生定子磁场，其方向近似为图中合成is所指方向。此时，定子磁场与永磁体产生的转子磁场相互作用产生电磁转矩，转子就会受到电磁转矩而转动；当转子转动时，电磁转矩也将会随电机定、转子磁场位置的变化而变化。为了实现转速的控制，希望电机转子受到的作用力保持恒定，即产生恒定的电磁转矩。因此，需要一种力量消除电机转子旋转产生的机械旋转磁场，常用的消除办法是在定子侧形成一个圆形的电气旋转磁场。因此，电机转速为：

(1)

式中,n为转速(r/min)；np为磁极对数(个)；f为交流电频率(Hz)。

1.2 ABC静止坐标系下PMSM数学模型

PMSM定子电压状态方程：

(2)

式中,uA、uB、uC为A、B、C三相相电压(V)；iA、iB、iC为相电流(A)；ψA、ψB、ψC为全磁链(Wb)，其取值不仅与相电流有关，还与电角度θe(图1中A轴与d轴的夹角)有关；Rs为单相绕组阻值(Ω)。

三相定子绕组全磁链方程为：

(3)

式中,LAA、LBB、LCC为绕组自感(H)；MAB、MAC、MBA、MBC、MCA、MCB为绕组间互感(H)；ψfA、ψfB、ψfC是永磁磁链在定子侧分量(Wb)，由于本文采用的是正弦波PMSM，所以该永磁磁链满足：

(4)

式中,ψf为永磁体磁链峰值。

电动机正常工作时，PMSM的磁能储能为：

(5)

电磁转矩方程为：

(6)

式中,θm是电机转子位置角度(rad)，满足θm=npθe。

电机运动方程为：

(7)

式中,TL为负载转矩(N·m)；ω为机械角速度(rad/s)；J为转动惯量(kg·m2)。

综上，PMSM在ABC坐标系下的数模型各个变量之间存在较强的耦合性，基于此模型很难实现电机的高精度控制，因此，需要进一步简化模型。

1.3 dq旋转坐标系下PMSM数学模型

为了实现PMSM控制，关键在于如何控制电机的转子。因此，以转子为参照物建立dq旋转坐标系更容易实现电机的控制。但是从ABC坐标系到dq坐标系PMSM数学模型很难直接进行转换，因此引入了αβ静止坐标系进行过渡，三种坐标系间的关系如图2所示。

图2 不同坐标系间的空间矢量图

为了实现PMSM数学模型在各个坐标系之间的电磁转化，本文主要根据幅值相等和总磁动势不变原则进行转换。ABC坐标系到αβ坐标系下的转换为Clark变换，其变换矩阵为C3s/2s见式：

(8)

式中,3s表示ABC静止坐标系，2s表示αβ静止坐标系。

Clark逆变换矩阵为C2s/3s见式：

(9)

αβ坐标系到dq坐标系下的转换称为Park变换，其变换矩阵为C2s/2r见式：

(10)

式中,2r表示dq旋转坐标系。

Park逆变换矩阵为C2r/2s见式：

(11)

基于以上变换，建立dq旋转坐标系PMSM数学模型，电压方程为：

(12)

式中,ud、uq定子电压(V)；ωe是电角速度(rad/s)，满足ωe=npω；id、iq定子电流(A)；ψd、ψq电机磁链(Wb)，其表达式满足式：

(13)

式中,Ld、Lq为定子电感，表贴式PMSM有式Ld=Lq成立。

在dq旋转坐标系下，转矩方程为：

Te=1.5np(ψdiq-ψqid)

(14)

将磁链方程代入转矩方程，整理可得PMSM的转矩方程为：

Te=1.5np(ψdiq-ψqid)=1.5npiqψf

(15)

电机运动平衡方程为：

(16)

由上式可知，电机的电磁转矩与转速变化率成正比，因此可以通过电磁转矩实现电机转速控制。观察电机的转矩方程可知，表贴式PMSM的转矩与转矩电流成正比。因此在整个PMSM控制系统中，可以通过控制转矩电流实现电机转矩控制，进而实现电机转速控制。

2 PMSM矢量控制系统

2.1 PMSM矢量控制系统概述

PMSM矢量控制可以独立控制电机的转矩和励磁电流。id=0是励磁电流输入为零的矢量控制，该方法使得电机定子电流全部用于电机的转矩控制，其工作效率得以大大提高。为了达到本文所选电机的控制要求，采用id=0的矢量控制，其系统框图如图3所示。

图3 PMSM矢量控制系统框图

id=0矢量控制是双闭环(电流环和速度环)控制系统。为了实现电机的高精度控制，速度环调节至关重要。

2.2 PMSM空间脉宽调制

空间矢量脉宽调制是矢量控制的关键技术之一，传统的空间脉宽调制技术是以产生标准的电压正弦波形为主要控制目的，但是该方法使得输入电机绕组的电流波形无法得到保证。因此电压空间矢量脉宽调制技术应用而生。三相两电平型逆变器电路原理图如图4所示。

图4 三相两电平型逆变器电路原理图

由图4可知，该逆变器主要包括三相桥臂SA、SB、SC(由六个功率器件组成)，并分别与电机的三相绕组连接。逆变器正常工作时，每相桥臂的上下桥臂的功率器件不同时导或关闭。如此，每相桥臂就相当于一个开关，每个开关各有两种导通状态，共由23个开关组合。不同开关组和状态下的PMSM基本电压矢量Us见表1。

表1 逆变器基本电压空间矢量

计算表1中8个基本矢量电压的幅值，除了U0和U7这两个零矢量外，其余电压的幅值均为2Udc/3，并将αβ坐标系分为了6个扇区如图5所示。

图5 PMSM电压空间矢量图

为了形成圆形的磁链，仅仅通过以上8个基本的空间矢量电压是远远不够的，但可以通过快速更替以上8个基本矢量电压，从而使产生的定子磁链近似圆形磁链。本文的SVPWM采用的平均值等效原则，根据要输出的空间矢量电压Us所在的位置，首先判断所在的扇区，其次确定划分该扇区的两个基本空间矢量电压，最后由这两个基本电压合成Us。

2.3 SVPWM算法实现

基于PMSM空间矢量脉宽调制的工作原理，SVPWM算法可分三步完成，具体实现过程如下。

1)电压矢量Us的扇区判断

为了判断电压矢量Us所在的扇区，可以通过分析不同扇区时，Us在αβ轴上的电压分量规律进行判断。不妨设三个参考电压变量Uref1、Uref2、Uref3满足：

(17)

定义三个变量a、b、c，则有以下规则成立：

当Uref1>0时，a=1，否则a=0；

当Uref2>0时，b=1，否则b=0；

当Uref3>0时，c=1，否则c=0。

令N= 4c+2b+a，则N取值与扇区的关系见：

表2 N取值与扇区的关系

2)基本电压矢量作用时间计算

电压矢量Us在αβ轴上的电压分量uα、uβ别为：

(18)

已知|U4|=|U6|=2Udc/3，式可变形为：

(19)

以上完成了电压矢量Us在第Ⅰ扇区时在相邻基本矢量电压上作用时间的计算，用同样的方法不难计算Us在其他扇区的作用时间，在此将不进行详尽的推导。根据推导结果，总结规律如下，令：

(20)

因此，通过以上X、Y、Z三个参考变量，很容易对推到结论进行总结。电压矢量Us在各个扇区作用时间与N的关系见表3。

表3 各扇区作用时间与N的关系

注：Tx为电压空间矢量Us在主矢量(U1、U2、U4)上的作用时间；Ty为Us在辅矢量(U3、U5、U6)上的作用时间。

3)扇区矢量切换点的确定

根据7段式SVPWM算法，定义：

(21)

根据以上定义的TA、TB、TC时间，扇区矢量切换点Tcm1、Tcm2、Tcm3与N的关系如表4所示。

表4 各扇区时间切换点

3 仿真验证

3.1 仿真条件

为了验证矢量控制算法对PMSM的控制效果，根据其系统框图(如图3所示)在MATLAB/Simulink上搭建仿真模型。设置如下仿真条件：逆变器直流侧电压Udc=310 V，开关频率10 kHz。速度控制器的PI参数对电机的工作性能有很大的影响，传统PI控制器一般需要手动调节。经调试速度环比例、积分参数分别为kp=0.27、ki=0.05。此外，所选电机仿真参数详见表5。

表5 永磁同步电机仿真参数

3.2 仿真结果与分析

本文将在转速突变和负载突变两种情况下分析PMSM矢量伺服控制系统性能。为了便于观察设仿真时间为0.16 s，下面将简单介绍仿真过程。

1)在0～0.04 s内，电机以3 000 r/min的初始速度空载启动，保持3 000 r/min的速度不变；

2)在0.04 s时刻，电机转速突降为2 500 r/min，在0.4～0.1 s内以2 500 r/min的速度空载运行；

3)在0.1 s时刻，电机负载突加为5 N·m；在0.1～0.16 s内，电机以2 500 r/min的速度，5 N·m的负载运行。

id=0矢量控制PMSM转速响应曲线如图6所示。

图6 PMSM转速响应曲线

图中虚线表示电机给定转速，实线是电机转速响应曲线。该速度响应曲线总共包括三个阶段，首先是电机启动阶段，电机以3 000 r/min的速度空载启动，电机转速从零开始增加，上升时间约为0.002 0 s，调节时间约为0.003 5 s (±2%)，并产生了3.1%的超调。其次是电机降速阶段，在0.04 s处，电机转速突降为2 500 r/min，经过0.002 6 s的调节趋于稳定，此过程产生了8.56%的超调。最后是电机负载突变阶段，在0.1 s处，电机负载由零突加到5 N·m，转速波形产生波动，产生了0.72%的超调。由于本文选择的电机的转动惯量很小，当电机负载突变时，其调节时间不易求取。因此，在此不做更多的分析。

id=0矢量控制PMSM转矩响应曲线如图7所示。

图7 PMSM转矩响应曲线

从PMSM仿真过程可知，电机是空载启动的，直到0.1 s时刻才给电机加了5 N·m的负载，所以理想条件下电机转矩响应曲线正如图虚线，实线表示电机转矩响应曲线。为了分析电机不同情况下对电机转矩响应的影响，本文将从三个阶段进行分析。首先是电机启动阶段，电机空载启动，从电机转矩响应曲线观察可得电机转矩随转速的增加产生了大的波动，产生了121.4 N·m的最大偏差。经0.003 5 s的调节，电机完成提速的同时，电机将不再输出转矩。其次是电机降速阶段，在0.04 s处电机转速突降，电机降速的过程中，电机转矩也增大，最大偏差为66.57 N·m。降速完成后，电机转矩再次将为零。最后是电机负载突变阶段，在0.1 s处电机负载突加到5 N·m，经0.000 8 s电机转矩响应曲线无超调稳定于5 N·m。

通过以上理论分析可知SVPWM算法最终输出的是逆变器开关时间切换点Tcm1、Tcm2、Tcm3波形，该波形也被称为电机三相调制波图8所示。由图可得每相波形都呈马鞍状分布，从而提高电机母线电压的利用率。

本文将三相调制波形两两做差可得图8处理后的调制波，观察处理后波形正是相位相差120°呈正弦分布的三相波形，SVPWM算法可以用于PMSM控制。

图8 SVPWM三相调制信号及其处理信号

id=0矢量控制PMSM三相电流响应曲线如图9所示。

图9 PMSM三相电流响应曲线

下面将从以下三个阶段进行分析，首先是电机启动阶段，电机空载启动时，电机转速增加的同时，三相电流也随之增大，最大波动值为114.7 A。电机完成提速后，电机三相电流趋于零。其次是电机转突降阶段，在0.04 s处电机转速突降为2 500 r/min，电机三相电流也随之产生波动，最大波动值为60.84 A。电机降速完成后，三相电流再次趋于零。最后是电机负载突变阶段，在0.1 s处给电机突加5 N·m的负载，三相电流经0.000 8 s调节后趋于稳定，拖动电机负载运行，且波形呈正弦规律变化。

4 结束语

本文首先基于PMSM的工作原理，分别在ABC三相静止坐标系、dq旋转坐标系下建立PMSM的数学模型；其次研究了PMSM空间矢量脉宽调制技术及其实现过程；最后在MATLAB/Simulink上搭建id=0的PMSM矢量控制系统仿真模型，在转速突变和增加负载的情况下，分别从电机转速、转矩、SVPWM调制信号、三相电流等响应曲线进行综合分析，验证了本文所建立的id=0矢量控制模型可以实现PMSM的高精度控制。