杨辉三角的基本性质以及应用

华罗庚

一、杨辉三角的基本性质

我们先来探讨一下杨辉三角中各个数字排列的规则.一般地，杨辉三角中各个数字呈如下的形式排列.

要证明这个定理并不难，我们可以采用一个在各门数学中都被广泛地应用到的方法——数学归纳法.数学归纳法的用途是它可以推断出某些在一系列的特殊情形下已经成立了的数学命题，在一般的情形是不是也正确.它的原理是这样的：假如有一个数学命题，符合下面两个条件：（1）这个命题对n=1是正确的；（2）如果这个命题对任一正整数n=k-1成立，就可以推出它对于n=k也正确.那么这个命题对于所有的正整数n都成立.

事实上，如果不是这样，就是说这个命题并非对于所有的正整数n都是成立，那么我們一定可以找到一个最小的使命题不成立的正整数m.显然m大于1，因为这个命题对n=1是正确的（条件（1））.因此m-1也是一个正整数.但m是使命题不正确的最小的正整数，所以命题对任意n=m-1一定成立.这样就得出，对任意正整数m-1命题是成立的，而对任意正整数m命题不成立.这和数学归纳法中的条件（2）相冲突.

数学归纳法是数学中一个非常有用的方法.现在我们就用数学归纳法来证明二项式定理.