谈数学公式教学的一般思路

金红江 蒋翀

摘    要：公式教学在数学教学中占有重要地位，教学中要让学生经历公式研究的一般思路：借助内部知识引入研究对象，体现知识学习的连贯性;经历公式归纳过程，突出公式生成的探究性;紧抓结构特征完成公式辨析，明确公式使用的适用性;精选典型例题落实公式应用，把握教学内容的层次性;梳理内在联系促进公式迁移，实现知识建构的系统性.

关键词：公式教学;一般思路;平方差公式

數学公式是揭示和反映数学对象本质属性及属性间联系的重要形式，其产生和发展的过程蕴含丰富的数学思想方法，这些数学思想方法有助于数学思维的形成与发展.在数学公式教学中，若仅停留在“公式+注意+例题+练习”的层次，往往将导致公式学习枯燥、公式应用死板、公式理解片面的现象，学生只知其然，不知其所以然，也就更谈不上“何由以知其所以然”了.

因此，在公式的研究中，让学生经历“引入研究对象—探索归纳公式—公式的辨析—公式的应用—公式的迁移”这一过程，促进学生理解，启发学生思考，渗透数学思想方法，发展学生的数学核心素养.现以“平方差公式”教学为例，谈谈公式教学的一般思路.

一、借助内部知识引入研究对象，体现知识学习的连贯性

数学教育心理学的研究表明，数学对象的引入要考虑到数学的整体性和自然性，从学生已有的“数学现实”切入，挖掘知识的生长点，能够更好地揭示相关数学知识间的内在关联，有利于学生理解所学知识的内涵，自然地进行认知体系的再构建[1] .任何数学公式都有其产生的背景，通过数学内部知识引入研究对象可以使学生从接触公式的起始阶段就对它的来龙去脉做到心中有数.平方差公式是多项式乘法的特例，在引入研究对象环节，要让学生探索具有特殊关系项的两个多项式相乘的一般规律.设计时可利用从一般到特殊的方式，将多项式与多项式乘法中各项逐渐特殊化，让学生感受到公式的适用条件.

引入1   之前学习了多项式与多项式的乘法法则，你能用符号语言来描述这个法则吗？你还能用文字语言来叙述一下这个法则吗？

教学说明   先用符号语言描述法则，再用文字语言叙述.一方面板书设计考虑，另一方面与下面平方差公式先获得形式化的符号表示，再组织文字语言的描述的顺序一致.

引入2   计算：（1）（x+5）（y-2）.  （2）（a+5）（a-2）.  （3）（m+5）（m-5）.

解：（1）（x+5）（y-2）=xy-2x+5y-10.

（2）（a+5）（a-2）=a2-2a+5a-10=a2+3a-10.

（3）（m+5）（m-5）=m2-5m+5m-25=m2-25.

追问1   同样是二项式乘二项式，为什么它们的结果有四项、三项、二项的差别？

追问2   观察（3）（2）（1）中相乘的两个二项式中的项之间是怎样变化的？

问题1   对于（a+n）（a+m）=a2+（n+m）a+nm. 类似（2）（3），对于（a+n），（a+m）中的“第二项”m，n之间具有怎样的关系，可以出现哪些特殊的情形？

n=m或n=-m，即（a+n）（a+m）或者（a-m）（a+m）.

我们今天先研究（a-m）（a+m）这类问题，即获得研究对象.

一方面，通过复习回顾多项式与多项式的乘法法则，以及从运算的角度以具体的计算形式引入，承前启后，初步体会多项式乘法法则与平方差公式之间的“一般”到“特殊”的关系.另一方面，通过三个问题的思考，揭示运算对象逐步特殊化前后，数学运算过程中的内在规律与联系，感受特殊化数学研究的价值，并在学生已有的认知结构上，进一步引发其特殊化数学研究的思考，引出研究对象——平方差公式.通过数学内部知识的引入，构建整体化的知识架构，体现数学知识学习的连贯性.

二、经历公式归纳过程，突出公式生成的探究性

学生在数学学习中所经历的活动将决定他们怎样看待数学学习以及他们对数学本质的认识.对于公式的教学，不应只是直接告知，更应该注重公式在课堂教学中的形成.

例如，对于平方差公式的学习，若直接从“（a+b）（a-b）=     ”切入公式教学，会导致学生对其认识不全面，根基不固. 因为“（a+b）（a-b）=a2-b2”是从一组符合公式特征的具体的式子中经过共性抽象获得的规律，其应用则是对公式中的a，b具体化的过程. 而开门见山直接从推理开始的公式教学，省略这个认知的过程，学生则有可能会搞不清楚（2x-3）（2x+3）这样“具体的一个”和（a+b）（a-b）这样“抽象的一类”之间的联系和区别，人为地制造认知困境.

因此，在教学过程中要以学生为中心，充分发挥学生学习上的积极主动性与思维上的创造性.把课堂的时间交还给学生，在学生自主的探究过程中，通过自身的课堂体验，对公式进行归纳与概括，思考与验证，进而帮助学生达到掌握公式结构特征的目的.公式归纳与探究的课堂设计应遵循“以学生为主体，教师为主导”的教学原则，结合学生的最近发展区，由浅入深，循序渐进，使学生能够超越最近发展区而达到下一阶段的发展水平.

计算：（1）（a+1）（a-1）.（2）（x+7）（x-7）.（3）（2x+y）（2x-y）.（4）（m+5）（m-5） .

思考1   以上运算的结果在形式上有什么共同的特征？

思考2   上述四个运算，分别是哪两个数或式的平方差？

思考3   猜想在一般情形下，（a+b）（a-b）=                         .

教学说明   从具体的计算案例出发，学生通过计算、观察、思考，归纳出上述题组的一般规律： （a+b）（a-b）=a2-b2.让学生初步感知到平方差公式的结构特征，向学生渗透从“特殊”到“一般”，从“具体”到“抽象”的数学研究方法.经历这样的数学活动，可以帮助学生从“类”的视角去处理“个”的问题，最大程度理解公式，发挥公式简化运算的作用.

问题2   请你尝试用多项式相乘的法则验证（a+b）（a-b）=a2-b2，你能用文字语言叙述平方差公式吗？

教学说明   将符号语言转化为文字语言，发展学生的数学语言表达能力，同时从公式的表现形式上加深对公式结构特征的理解.

问题3   在中国古代，数学家们是怎么推导平方差公式的吗？公元3世纪数学家赵爽在注释《周髀算经》中的“勾股圆方图”时说：“勾实之矩以股弦差为广，股弦并为袤，而股实方其里……股实之矩以勾弦差为广，勾弦并为袤，而勾实方其里.”这段话的实质是用面积割补法来证明平方差公式[2].请推导平方差公式，并尝试从几何构造的角度说明平方差公式.

让学生通过“观察、猜想、验证、证明”等环节经历探究平方差公式的过程，体会研究代数问题的基本方法以及代数公式研究的一般路径.加深对公式结构特征的理解，突出公式生成的探究性.

三、紧抓结构特征完成公式辨析，明确公式使用的适用性

公式的辨析是一个强化记忆、加深理解的过程，同时也是正确运用公式的先决条件.公式的辨析重在辨析适用条件，可分两步进行.第一步，对公式的结构和本质进行剖析，让学生先判断哪些多项式相乘能用公式;第二步再用反例辨析.这样可以给学生正面的引导，防止学生在应用时出错.

问题4   以下两个多项式相乘能用平方差公式进行计算吗？如果能，指出多项式中哪些数或式相当于公式中的a，b，并将其表示成a2-b2的形式.

如表1通过不断辨析平方差公式的适用条件，旨在引导学生深入分析平方差公式的结构特征，在变化中寻找不变的本质，进而明确a，b的意义，初步冲击本节课的难点.问题的设计，蕴含用平方差公式进行计算的主要流程，期间不断地注意点追问，旨在为下一环节归纳计算步骤和总结解题注意点作铺垫.在公式的辨析教学过程中，教师要引导学生善于总结公式的结构特征，明确公式的使用条件，防止在公式运用中产生的负迁移，培养学生分析问题的能力与思维的辩证性.

表1[多项式相乘 能否用平方差公式计算 a，b各表示什么 表示成a2-b2 （p+3）（p-3） （2p+3q）（2p-3q） （-2p+3q）（-2p-3q） （3q-2p）（-2p-3q） （3p-2q）（-2p-3q） ]

四、精选典型例题落实公式应用，把握教学内容的层次性

公式的应用是学生再次获取知识、运用知识的重要环节.它具有引领示范、巩固新知、揭示方法、思维训练的功能.公式的应用，贵在选题，题不在多，选择一些典型的、具有不同层次性的例题.

（一）直接运用平方差公式计算

例1   运用平方差公式计算.

（1）（3x+5y）（3x-5y） .

（2）（[12b]+a）（-[12b]+a） .

请你总结一下用平方差公式计算的基本步骤.

（二）新旧知识综合运用

例2   计算：（y+2）（y-2）-（y-1）（y-5） .

（三）迁移运用

例3   计算： 59.8×60.2.

师生活动：采用学生先行→案例呈现→正误辨析→纠错改错→反思评价五步流程进行.

在精选例题后配合五步流程，逐步落实公式的应用，满足不同层次学生的发展需要，能有效归纳程序化算法，帮助学生理解问题的实质，正确判断并利用平方差公式进行计算，渗透规则意识和算法思想.

五、梳理内在联系促进公式迁移，实现知识建构的系统性

公式是数学的核心知识，往往具有较强的联系能力，因此，公式研究强调结构和联系.习题再练习可以及时培养学生对知识的迁移能力以及检验学生知识是否达到高度掌握，有利于促进问题解决过程中知识的正向迁移.

问题5   判断（x+5+y）（x-5+y）能否用平方差公式进行计算？如果能，请说明理由，并将其写成a2-b2的形式.

追问1   通过刚才的练习，我们发现平方差公式的应用，其实是公式中的a，b再特殊化的过程，那么平方差公式中的a，b可以指代什么？

追问2   （x+y）2可以用平方差公式計算吗？为什么？

教学说明   ①平方差公式在两数的乘法中的应用，属于两个数乘积的简便计算问题，可以使学生将平方差公式的知识迁移到新的问题情境中，既巩固新知，又培养学生分析和解决问题的能力. ②平方差公式在三项式与三项式相乘中的应用，在起到上述作用的同时，进一步体会到平方差公式的应用，其实是对公式中的a，b再特殊化的过程，其中a，b可以是任意的整式;（x+y）2的分析，为下一节课的学习作铺垫.

问题6   本堂课我们是如何获得平方差公式的？

帮助学生梳理知识与知识之间的内在联系，从整体上进行知识体系的构建，从公式的进一步发展中构建（如图1）.公式的迁移，一方面可以从公式的应用上进行迁移，使学生进一步明确公式的结构.另一方面，有一些公式的正反两方面反映了数学的两个不同的侧面，教学过程中可以从正反两个方面认识和把握公式.正用公式，强化公式基本结构;逆用公式，培养逆向思维;活用公式，培养思维创新性，使抽象的数学公式上升到可变化的数学模型.学生的思维在深度与广度有所提升，并且点燃后续学习的星星之火.再者，对于公式，可将之放到知识的系统中，完成知识的自我构建.

只有让学生真正了解公式研究的一般思路，才能使学生理解知识的来龙去脉，真正掌握公式的本质，灵活地运用公式去解决问题，内化成自身的数学涵养，达到更加广阔的发展.作为教师，要不断探索新的教学途径和教学方法，使公式教学达到良好的成效.

参考文献：

[1]刘建平.论数学公式法则的学习心理及其意义的内化[J].云南师范大学学报，2003（5）：240.

[2]李玲，顾海萍.“平方差公式”：以多种方式融入数学史[J].教育研究与评论（中学教育教学），2014（11）：45-47.