基于稀疏字典与低秩分解的莫尔条纹消除算法

梁 猛，雷雨濛

（西安邮电大学 电子工程学院，陕西 西安 710121）

0 引 言

数码相机在拍摄带有网格织物或栅栏结构的规则性场景时，由于相机传感器采样频率与场景信息频率的相近叠加，图像出现彩色波纹图案，即莫尔条纹[1]，严重影响图像质量和图像分析处理。

莫尔条纹的结构在某种意义上与图像纹理相似，因此很难有效地从纹理图像中去除莫尔条纹。常用的莫尔条纹去除方法是在相机镜头前引入低通滤波器，虽然能够在一定程度上避免莫尔条纹干扰，但会造成图像细节的丢失。

目前的莫尔条纹消除方法主要有基于彩色滤波阵列（CFA）的插值算法[1-3]和基于滤波的处理算法[4-5]等。其中，双线性插值及最近邻插值等是传统插值算法，去除效果依赖于图像质量。

近年来许多学者对图像插值算法进一步研究。文献[6]提出了一种基于残差插值的改进算法，通过在每个像素上选择合适的迭代次数且组合两种不同类型的自适应残差插值来改进算法的性能。文献[7]中提出一种基于色彩通道与插值方向结合的低复杂度Bayer 图像色彩重建算法。除此之外，基于低秩矩阵恢复的图像重建方法也逐渐被广泛应用。文献[8]提出了基于核范数与ℓ1范数优化模型的低秩矩阵恢复算法，并应用于监控视频的背景恢复。基于前人提出的重加权ℓ1范数的思想，文献[9]提出了重加权核范数的算法模型以增强矩阵低秩性，并将这一方法应用于图像重建，最后得到了更好的恢复结果。

基于上述图像恢复算法，本文针对纹理图像莫尔条纹消除问题进行研究，将问题简化为莫尔条纹与图像结构信息的图像分解问题，提出应用稀疏表示与低秩矩阵分解模型相结合的莫尔条纹消除方法。根据纹理图像低秩性与莫尔条纹的稀疏性，通过小波变化字典对莫尔条纹成分进行稀疏表示，并对图像分块处理构建低秩性的相似矩阵，最后建立分解模型对图像块相似矩阵进行低秩与稀疏矩阵分解，实现纹理图像与莫尔条纹的分离。

1 数据模型

1.1 加性模型

在莫尔条纹的成因分析过程中可以将其看作是一种混叠造成的噪声干扰，且具有宽度与方向不断变化、条纹间边缘不连续的分布特点，结构特性与自然图像信息特性比较接近。

为了简化图像矩阵的运算规模，优化整体算法，在基于块的情况下结构信息会更加简单，因本文需要对输入图像进行预处理，将图像进行单通道提取并根据实际情况分割为重叠的矩形图像块，基于图像块建立低秩分解模型来实现图像分解。

不同尺寸的图像块处理效果不同，图1 是不同尺寸的莫尔条纹图像块。

图1 不同尺寸的莫尔条纹图像块

由图1 可以看出，尺寸较大的图像块包含的莫尔条纹图案过于复杂，而尺寸较小的图像块内莫尔条纹结构被破坏，缺少足够的特征信息。结合统计实验与分析，将图像块的大小设置为64×64，且重叠分块的步长为32，将图像块X 分解为纹理层A 和莫尔条纹层E，则基于图像块的观测模型为：

1.2 稀疏表示模型

稀疏表示理论首先被应用于信号处理领域，通过建立简单的稀疏表示模型，使得原始信号由其稀疏逼近形式代替，从而更容易地获得信号中包含的有效信息。类似地，图像的稀疏表示通常将原始图像用若干基函数的线性组合表示，且线性表示的编码系数要求具有较高的稀疏性。图像经过稀疏表示后，依然保留了原有图像的关键特征信息，减少了冗余信息。

图像块内的莫尔条纹图案呈现近似周期性的特点，通过一组基函数对其进行稀疏描述。常用的字典基函数有离散余弦变换[10]、小波变换及傅里叶变换等正交基。

首先对莫尔条纹图像基于块进行频谱分析，可以看出莫尔条纹主要集中在低频部分且仅落在极少数位置。因此基于小波变换函数原子的字典可以稀疏地表示图像块内的莫尔条纹成分。对于给定图像集训练出完备的小波字典D= [ d1,d2,…,dn],D ∈Rm×n，图像集包含n个训练图像，其中di∈Rm×1表示维数为m×1 的图像特征原子。

莫尔条纹成分E 在完备小波字典D 下的稀疏表示系数为α ∈R1×n，因此稀疏表示模型可以表示为：

式中‖ ⋅ ‖0表示向量的ℓ0范数。为求解稀疏系数向量，可转化为如下求解优化问题：

此时，稀疏向量α 为莫尔条纹成分E 在字典D 下的逼近形式，因此其误差应足够小，满足‖ E -Dα ‖2≤ε，ε为逼近误差，通过ℓ0范数计算向量α 中非零值个数，从而测试其稀疏性。

在字典构造过程中，为了构建性能良好的字典并节省计算资源，选择小波变换基函数建立稀疏表示中的字典，通过小波变换对莫尔条纹进行频域分析，并且提取出其特征信息构成字典。

小波稀疏字典主要利用具有良好正交性的小波系数，为精确稀疏表示莫尔条纹成分做准备，因此选择Haar小波基函数对图像进行字典构建，莫尔条纹可以由Haar小波正交字典中的原子进行线性表示，从而使莫尔条纹成分稀疏化。根据小波变换理论，有：

式中：i 为尺度；j 为位移；ψ 是小波基函数。Haar 小波基函数是一个具有紧支撑的正交小波函数，它的支撑域是t ∈[ 0,1 ]，在支撑域内表现为单个矩形波。Haar 小波函数的表现形式如下：

基于上述小波变换理论，将莫尔条纹图像进行分块处理，选取64×64 且步长为32 的重叠图像块，对图像块进行小波变换提取莫尔条纹的频域系数，并将所有图像块的系数矩阵拉为列向量构成小波字典D，通过稀疏表示模型对莫尔条纹进行稀疏表示。

1.3 低秩分解模型

由于自然图像的纹理成分具有非局部相似特性，因此相似图像块矩阵具有低秩性[11]。在空域上，将输入图像分割成k×k 的重叠块，且观察到这些块是相似的，从而构成相似矩阵C。

根据低秩性可定义：

式中：rank(⋅)表示矩阵的秩；λ 是正的实常数，作为权衡低秩项和稀疏项的权重系数；‖ ⋅ ‖0表示向量的零范数，即向量中非零元素的数量。矩阵C =[c1,c2,…,cn]，ci∈Rk2是一个图像块的向量形式，n是图像块的数量。

由于ℓ0范数的最优化问题是一个NP-hard 问题，较难直接求解，而ℓ1范数是ℓ0范数的最优凸近似，因此将rank(⋅)函数松弛为核函数‖ ⋅ ‖*，将‖ ⋅ ‖0函数松弛为[7]ℓ1范数‖ ⋅ ‖1，则模型可以改变为：

2 模型求解

2.1 矩阵分解理论

根据模型求解的需要，引入两种优化算子对矩阵进行优化，从而求解模型。

若矩阵C=[c1,c2,…,cn]为m×n 的实矩阵，X 为待求解的矩阵，则矩阵分解的优化问题表示为：

式中：ε 是加权因子，且ε ＞0；‖ ⋅ ‖F表示矩阵的Frobenius范数。

式（8）的最优解X*=Sε(C)，其中，Sε(⋅)为收缩算子，定义为：

式（9）的 最 优 解 为X*=Dε(C)，其 中，Dε(C)=USε(Λ)VT。而U (Λ)VT为矩阵C 的奇异值分解。U，V分别为奇异值分解得到的左、右矩阵，Λ 表示对角元素为奇异值，其他元素为零的对角阵，即：

2.2 低秩分解模型

对于式（7）中等式约束下的最小化问题，目前的多种求解算法有迭代阈值法[12]、加速近端梯度法[13]及增广拉格朗日乘子法[14]等。本文采用增广拉格朗日乘子（ALM）算法框架将该问题转换为非约束问题[10-11]。式（3）模型对应的增广拉格朗日函数形式如下：

式中ρ ＞1，为常数。

为了使算法更快速地达到收敛求解，在过程中采用交替方向法（ADM）[12]优化A,E,Q,µ这些参数，即在每次迭代过程中固定其他参数的同时，对某个参数进行优化更新。根据式（6）等价于求解如下最小化问题：

且低秩矩阵A 子问题通过奇异值阈化分解可得到如下封闭解：

其中U，S，V 矩阵可通过奇异值分解获得：

通过稀疏矩阵E 子问题求解得到：

通过若干次的迭代达到ADM-ALM 算法的收敛条件，将所有图像块进行处理，分别得到处理后的低秩成分A及稀疏成分E，还原处理后的图像得到干净的纹理图像。

3 实验结果与分析

为了验证算法的改进效果，将本文算法与其他算法对于莫尔条纹图像的处理效果进行比较。实验过程中需进行基本的参数设置，例如选取像素为512×512 的莫尔条纹纹理图像进行实验，对实验图像进行预处理，图像取块大小为64×64的重叠图像，且步长为32，小波字典D 的大小为4 096×4 096。分解模型中参数权重因子λ 设置为0.015，意义是平衡低秩项和稀疏项的重要性，λ 值越大意味着稀疏性越强。ALM 算法求解部分，将最大迭代次数设置为1 000，算法采用Matlab 软件进行仿真实验，其中，核心步骤是采用奇异值收缩算子和软阈值收缩算子对低秩分解模型中的核函数和ℓ1范数进行求解。

对于所比较的算法，本文选择了具有代表性的插值算法及滤波算法对莫尔条纹图像进行处理，结果如图2所示。其中，图2a）～图2d）分别表示莫尔条纹图像、双线性插值算法、高斯陷波滤波（GNF）算法及本文算法的处理结果。

从图2 中的主观视觉效果来看，所采用的几种方法对于去除莫尔条纹都有一定的实际效果。在所选择的方法中，插值法虽然对于图像的细节信息保留较好，但对莫尔条纹的去除效果并不明显；而GNF 方法对莫尔条纹去除效果较好，但会造成图像纹理信息的损失，导致图像失真。因此，相比较而言，本文算法能够在较好地去除莫尔条纹的同时保留了图像的细节信息，尽量避免了图像的失真现象，更加清晰且保持了原图的完整性。

4 结 语

针对数码拍摄中由于CFA 彩色滤镜阵列采样频率与场景信息频率相近，导致输出图像具有莫尔条纹干扰的问题，本文研究了莫尔条纹的成因及其去除方法。在分析色彩滤镜阵列的排列特性和莫尔条纹产生原因的基础上，结合对现有图像去噪算法的研究，提出了一种利用稀疏表示与低秩分解相结合的处理算法。

图2 不同方法的实验结果图

对纹理图像的低秩性和莫尔条纹的稀疏性进行分析，通过稀疏字典对图像莫尔条纹部分进行特征信息提取，基于低秩稀疏模型进行求解，将低秩部分与稀疏部分分离，达到去除莫尔条纹的效果。通过与不同算法的处理效果进行比较，结果表明本文算法相比带阻滤波器、双线性插值算法等方法，能够更好地保留图像信息，同时有效地去除莫尔条纹干扰。

本文方法可以应用于其他领域，如图像的去雨线去噪、遥感图像的去云雾等场景，均可用该方法对图像进行前期处理，下一步的研究工作将对稀疏表示部分进一步优化。