(2+1)维非线性薛定谔方程的Peregrine-like有理解

肖世校，贺 为

(1.集美大学诚毅学院，福建 厦门 361000；2.宜春学院数学与计算机科学学院，江西 宜春 336000)

非线性薛定方程通常用于描述光学孤子的传播特性，是非线性物理学(尤其是非线性光学)中最著名的非线性偏微分方程之一，在表征光脉冲可变动力学行为方面起着重要作用。这些方程式已经研究了40多年，有大量研究结果。非线性薛定方程根据Kerr定律非线性，幂定律非线性，双幂定律非线性和对数定律非线性等不同的非线性具有许多不同的非线性形式[1]。

本文考虑以下(2+1)维非线性薛定谔方程

ut+φ4(t)u+φ1(t)uxx+φ2(t)uyy+φ3(t)u|u|2=0

(1)

其中u=u(x,y,t)，φi(t)(i=1,2,3,4)是关于t的解析函数。方程(1)可以约化为以下三类重要的方程：

(a)当φ1(t)=φ2(t)=1,φ3(t)=c,φ4(t)=0时，方程(1)变成

iut+uxx+uyy+cu|u|2=0

(2)

Najafi等[2]利用sine-cosine方法获得了方程(2)的精确解。

(b)当φ1(t)=-0.5,φ2(t)=0,φ3(t)=-1,φ4(t)=d时，方程(1)变成

iut-0.5uxx-u|u|2+du=0

(3)

Yu等利用简化方程法获得了方程(3)的孤子解[3]。

(c)当φ1(t)=a,φ2(t)=b,φ3(t)=c,φ4(t)=d时，方程(1)变成

ut+du+auxx+buyy+cu|u|2=0

(4)

Feng等利用雅可比椭圆函数法获得了方程(3)的光孤子解和周期解[1]。

本文的主要目标是寻找方程(1)的Peregrine-like有理解[4]以及它和其他孤子解之间的交互作用。然后也可以推出方程(2)-(4)的Peregrine-like有理解。做如下变换

u(x,y,t)=Exp[Θ4x+Θ5x+Θ6(t)]Ω[ξ(x,y,t)]

(5)

(6)

2 Peregrine-like有理解

令Ω=a∂ξ(Lnf)，方程(8)变为

(7)

为了获得Peregrine-like有理解，令

f=(μ1ξ+μ2)2+(μ3ξ+μ4)2+μ5

(8)

其中μi(i=1,2,3,4,5)是待定参数。将方程(8)代入方程(7)可得如下解

此时方程(1)有如下Peregrine-like有理解

(9)

假设

μ5=μ1=μ2=2,μ4=-1,Θ4=Θ5=μ3=a=φ1=1,Θ1=5,Θ2=-2

此时Peregrine-like有理解(9)的物理结构见图1。

此时方程(1)有如下Peregrine-like有理解

u2=

(10)

假设

μ4=-1,Θ4=Θ5=μ3=a=φ1=φ2=1,Θ1=5,μ5=μ1=μ2=2,Θ2=-2

此时Peregrine-like有理解(10)的物理结构见图2。

此时方程(1)有如下Peregrine-like有理解

u3=

(11)

假设

μ4=0,Θ4=Θ5=μ3=a=φ1=φ2=1,Θ1=5,

μ5=μ1=μ2=2,Θ2=-2

此时Peregrine-like有理解(11)的物理结构见图3。

为了讨论Peregrine-like有理解和其他孤子解之间的交互作用，我们假设

f=(μ1ξ+μ2)2+(μ3ξ+μ4)2+μ5+λExp(μ6ξ+μ7)+κExp(-μ6ξ-μ7)

(12)

其中μi(i=6,7)、κ和λ都是待定参数。将方程(12)代入方程(7)可得

此时方程(1)有如下交互作用解

(13)

假设

μ4=0,Θ4=Θ5=μ3=a=φ1=φ2=λ=1,Θ1=5,

μ5=μ1=μ2=2,Θ2=-2,μ6=-1,μ7=3,κ=0

此时交互作用解(13)的物理结构见图4。

假设

μ4=0,Θ4=Θ5=μ3=a=φ1=φ2=λ=1,Θ1=5,

μ5=μ1=μ2=2,Θ2=-2,μ6=-1,μ7=3,κ=-1

此时交互作用解(13)的物理结构见图5。

3 结论

本文通过符号计算[5-7]和一个直接的假设获得了非线性薛定谔方程大量的Peregrine-like有理解。并且研究了Peregrine-like有理解和单孤子解的交互作用以及Peregrine-like有理解和双孤子解的交互作用。这些解的物理结构都被展示在一些三维图形中。