基于刚度软化试验建立磁流变弹性体的Bouc-Wen模型

卢晶晶，陈 曦，周亚东，李见春，李延成

(1.天津城建大学，天津市建筑结构防护与加固重点实验室，天津 300384；2.天津大学电气自动化与信息工程学院，天津 300072；3.悉尼科技大学土木工程学院，悉尼 NSW2007)

0 引 言

磁流变弹性体(Magnetorheological Elastomers，MRE)是一种由高分子聚合物和微米级软磁颗粒制成的磁流变智能材料[1]，与磁流变液(Magnetorheological Fluid，MRF)相比，具有不易沉降、稳定性好、颗粒耐磨性优良等优点[2],并且其刚度在外加磁场作用下具有可控性[3]。通过改变通入线圈的电流大小可以改变磁场强度，进而影响MRE的力学性能[4-6],因此MRE在隔震装置[7]中得到初步应用，但距离MRE隔震装置的商业化生产还有一定的距离。为便于装置的设计和仿真，并推动MRE的应用，建立一个合适的磁流变弹性体本构模型来描述其宏观力学行为是很有必要的。

国内外学者对MRE在隔震装置上的应用开展了大量研究。在细观力学模型方面，JOLLY等[8]首先提出了磁性颗粒相互作用的磁偶极矩模型，该模型解释了单链中每一个磁性颗粒的力学行为。CHEN等[9]对铁磁颗粒的直链模型进行了改进，提出了高斯分布的有限柱长模型。随后研究者们提出了多种描述MRE的细观力学模型，这些模型可很好地解释磁流变效应机理，但是很难量化MRE的磁流变效应并描述其宏观力学行为。在宏观力学模型方面，LI等[10]利用MRE与钢片制作了一款层叠隔震支座，并对该支座进行了动态力学性能测试，发现当电流从0增加到3 A时，该支座的侧向刚度增加了1 630%。为描述这一特性，研究人员将三参数固体模型与改进的Maxwell模型相结合，建立了新的机械模型，并对该支座的滞回特性进行了描述[11-13]。LI等[14]提出了谐振载荷下MRE的四参数力学模型，对各向异性MRE进行了动态性能测试，发现MRE在应变幅值不超过10%、频率小于10 Hz时具有线性黏弹性特性。EEM等[15]将Ramberg-Osgood模型与Maxwell模型结合，用来表征MRE的动力学特性。基于MRE线弹性理论，CHEN等[16]建立了MRE的六参数流变模型，该模型综合考虑了铁磁颗粒与基质之间的滑移效应，描述了MRE的动力特性。WANG等[17]建立了五参数黏弹性模型，通过松弛试验得到模型的各个参数会受到应变的影响，揭示了MRE的非线性特性。目前细观力学模型不能直观描述MRE的力-位移特性，而直接描述材料力学行为的宏观力学模型，则主要应用于MRE隔震装置设计、线性与非线性特性研究，用于描述MRE刚度软化特性研究的模型较为少见。

作者基于线圈磁场对永磁铁的反向消磁原理，自主设计了MRE的刚度软化剪切试验系统，并在不同电流、位移幅值和频率条件下对各向同性MRE开展了剪切试验；基于Bouc-Wen模型模拟MRE刚度软化过程的本构关系，并验证模型的准确性，通过模型分析电流、位移幅值和频率对MRE宏观性能的影响规律，为基于MRE刚度软化理念的智能隔震器设计提供理论参考。

1 MRE刚度软化剪切试验

1.1 试样制备与试验方法

试验材料为自主配制的各向同性MRE，其羰基铁粉体积分数为22%，尺寸为25 mm×25 mm×5 mm，该材料在固化时无磁场，且磁性颗粒随机分布于聚二甲基硅氧烷(PDMS)基质中。

试验设备为自主设计的MRE刚度软化剪切试验测试系统，系统由万能试验机、线圈、永磁铁、力传感器、位移传感器、数据采集仪6部分组成，具体如图1所示。万能试验机提供固定幅值、固定频率的正弦激励信号；2个线圈通过通入电流与永磁铁形成磁场调控装置；永磁铁为钕磁铁，MRE固定在永磁铁两侧，随着永磁铁作剪切运动；力传感器一端通过连接杆与下夹具连接，测试输出的力信号；位移传感器获取永磁铁竖直运动位移信号；力传感器与位移传感器测得的信号通过数据采集仪传输至计算机中。万能试验机的最大试验力为100 kN，线圈电源型号为兆信KXN-1005D，数据采集仪型号为WKD3840，位移传感器型号为YWD-100；力传感器的精度为1.899 4×10-3。共进行48组试验，测试系统的正弦激励位移幅值分别为1，2 mm，信号频率分别为0.1，0.5，1.0，2.0 Hz，提供的电流分别为-0.45，0，0.20，0.43，0.66，0.90 A。

图1 MRE刚度软化剪切试验测试系统Fig.1 MRE stiffness softening shear test system

1.2 试验结果与讨论

由图2可知，MRE的刚度软化现象较明显，在相同频率、位移幅值作用下，当线圈上施加正向电流时，滞回环的斜率随着电流的增大而减小，当施加反向电流时，滞回环的斜率随着电流的增大而增大。力-位移滞回环的斜率表示材料的刚度[8]，线圈与永磁铁形成磁场可调控的装置[18]，可通过改变线圈电流使MRE发生刚度软化。当线圈上施加正向电流时，线圈产生的磁场与永磁铁磁场方向相反，随着电流的增大，线圈产生的磁场逐渐抵消一部分永磁铁内部的磁场；磁场的减弱导致MRE内部铁磁颗粒排列变得杂乱无章，使得铁磁颗粒之间的相互作用减小，因此MRE刚度减小，力-位移滞回环的斜率减小。相反，当线圈上施加反向电流时，随着电流的增大，线圈产生的磁场与永磁铁磁场叠加，磁场增强，MRE内部铁磁颗粒排列有序，铁磁颗粒之间的相互作用增强，因此MRE刚度增加，力-位移滞回环的斜率增大。

图2 不同电流下MRE的力-位移滞回环(频率1.0 Hz， 位移幅值2 mm)Fig.2 Force-displacement hysteresis loops of MRE at different currents (frequency of 1.0 Hz and displacement amplitude of 2 mm)

图3 不同频率下MRE的力-位移滞回环(位移幅值1 mm， 电流0.90 A)Fig.3 Force-displacement hysteresis loops of MRE at different frequencies (displacement amplitude of 1 mm and current of 0.90 A)

由图3可以看出，在相同电流和位移幅值作用下，频率对力-位移滞回环的斜率影响不大，这是因为频率对MRE内部铁磁颗粒的排列方式影响不大[19]。

由图4可以看出，在相同电流和频率作用下，位移幅值为1 mm时MRE的力-位移滞回环的斜率及面积小于位移幅值为2 mm时的。MRE力-位移滞回环包围的面积表示材料的能量耗散特性，而能量耗散特性与阻尼有关[8]，由此可知，较高位移幅值下MRE的刚度和阻尼较小。

图4 不同位移幅值下MRE的力-位移滞回环(电流0.90 A， 频率0.5 Hz)Fig.4 Force-displacement hysteresis loops of MRE at different test amplitudes (current of 0.90 A and frequency of 0.5 Hz)

2 Bouc-Wen模型的建立与参数分析

2.1 Bouc-Wen模型的建立

通过分析MRE的力-位移滞回环，可以得出：(1) MRE加载瞬间有瞬时弹性变形，因此模型应包含弹性元件；(2) 力-位移滞回环有滞回现象，因此模型应包含Bouc-Wen元件。此外，应变随着时间的延长而不断增大，因此模型应包含黏性元件[20]。综上，可采用Bouc-Wen元件与Kelvin元件并联模型来描述MRE的力学特性，具体模型如图5所示，模型公式[19]为

(1)

(2)

图5 刚度软化MRE的Bouc-Wen模型示意Fig.5 Bouc-Wen model diagram of stiffness-softened MRE

式中：F为剪切力；z为滞变位移；α为滞回环的线性程度，一般情况下，α∈(0，1)；x为位移；t为时间；αx为恢复力中弹性力部分；(1-α)z为纯迟滞的组成部分；k0为弹簧的弹性模量；c0为MRE的黏性系数；A，n，β，γ均为无量纲参数。A,n,,g主要影响滞回曲线的形状和大小，其中：A影响最大剪切力；n控制滞回曲线从线性到非线性的过渡，为满足拟合的要求并减少未知参数的识别，n取1；β与γ表征滞回环的形状和大小。

2.2 Bouc-Wen模型的验证

使用MRE的刚度软化剪切试验数据，采用最小二乘法，利用Matlab软件对模型进行参数辨识，拟合得到不同试验条件下的Bouc-Wen模型参数如表1所示，部分拟合曲线与试验数据的对比如图6所示。由表1可以看出，试验数据与模型拟合结果吻合较好，剪切力的均方根误差都小于0.95，说明拟合效果很好。该模型可以较好地描述MRE的力学特性。

图6 不同条件下MRE刚度软化剪切试验数据与模型 拟合曲线的对比Fig.6 Comparison of MRE stiffness softening shear test data with model fitting curve under different conditions

表1 拟合得到不同条件下的Bouc-Wen模型参数Table 1 Fitted Bouc-Wen model parameters under different conditions

2.3 Bouc-Wen模型参数分析

图7 不同电流作用下k0随频率的变化曲线(位移幅值1 mm)Fig.7 Curves of k0 vs frequency at different currents (displacement amplitude of 1 mm)

由图7可知：随着电流的增大，k0基本呈线性递减趋势，MRE的刚度软化现象较明显；在频率大于1.0 Hz条件下，当电流大于0.66 A时，k0随电流增大而递减的趋势减弱。随着电流的增大，MRE的弹性性能降低，刚度减小，同时当电流大于0.66 A时，电流对MRE刚度的影响减弱。随着电流的增大，MRE内部磁场减弱[18]，铁磁颗粒之间的相互作用力减小，MRE整体表现为刚度降低[21]；而当电流大于0.66 A时，由电流引起的磁场变化对MRE刚度的影响程度降低。k0随频率的增大呈增大趋势。在频率0.10.5 Hz时，k0增加速率较大，这说明MRE的弹性性能迅速增加，MRE处于黏弹性状态[22]；当频率大于1 Hz时，k0随频率增大而增大的趋势减弱。随着频率的增大MRE的弹性性能增大，即MRE的刚度增大，并且当频率大于1 Hz时，频率对MRE刚度的影响逐渐减弱，这是因为随着频率的增大，MRE内部的铁颗粒链仅在限定的位置作热振动[22]，MRE出现动态硬化现象[21]，因此MRE整体呈现硬而脆的性能。

图8 不同频率作用下c0随电流的变化曲线(位移幅值1 mm)Fig.8 Curves of c0 vs current at different frequencies (displacement amplitude of 1 mm)

由图8可知，c0随电流的增大呈递减趋势，并且当电流大于0.66 A时，c0趋于稳定，这说明随着电流的增大，MRE的黏性减弱，即阻尼降低，当电流大于0.66 A时，阻尼趋于稳定。随频率的增大，c0呈指数递减趋势，当频率为2.0 Hz时，c0逐渐向0.275 6左右收敛，这说明随着频率的增大，MRE的阻尼呈指数递减，并且当频率为2.0 Hz时，MRE的阻尼基本趋于定值。随着频率的增大，铁磁颗粒与基质之间的摩擦作用加强，MRE的损耗模量降低，宏观表现为MRE的阻尼下降[21]。

Bouc-Wen模型中参数β,γ表征滞回曲线的形状和大小[23]，随着β+γ、γ-β的变化，滞回曲线呈现不同的类型[16]。在试验条件下β+γ>γ-β>0，滞回曲线类型如图9所示。由图9可知，随位移x的增大滞变位移z呈指数递增，且随着频率的增大，滞回曲线发生顺时针旋转，高度增大。

图9 不同频率作用下z随x的变化曲线(位移幅值1 mm，电流0 A)Fig.9 Curve of z vs x at different frequencies (displacement amplitude of 1 mm and current of 0 A )

3 结 论

(1) Bouc-Wen模型对MRE刚度软化特性的拟合结果与试验数据吻合较好，剪切力的均方根误差都小于0.95，说明该模型可以较好地描述MRE的刚度软化和阻尼特性。

(2) MRE的刚度软化现象较明显，当施加正向电流时，MRE的刚度随电流的增大呈现递减趋势，并且当电流大于0.66 A时，电流对不同频率下MRE刚度的影响程度减弱；MRE的刚度随频率的增加呈增大趋势，当频率大于1 Hz时，频率对不同电流下MRE刚度的影响程度减弱。

(3) MRE的阻尼随电流的增大呈现递减趋势，当电流大于0.66 A时，不同频率下MRE的阻尼趋于稳定；MRE的阻尼随频率的增大呈指数递减，当频率为2.0 Hz时，不同电流下MRE的阻尼基本趋于定值。