巧借图，智破双抛物线问题

季承洁

以双抛物线为立意的综合性压轴题，集函数知识、代数推理于一体，重在考查综合应用数学知识解决问题的创新能力。本文现以2021年湖北省宜昌市中考压轴题为例进行展示。

在平面直角坐标系中，抛物线y1=-（x+4）·

（x-n）与x轴交于点A和点B（n，0）（n≥-4），顶点坐标记为（h1，k1）。抛物线y2=-（x+2n）2-n2+2n+9的顶点坐标记为（h2，k2）。

（1）写出A点坐标;

（2）求k1，k2的值（用含n的代数式表示）;

（3）当-4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系;

（4）经过点M（2n+9，-5n2）和点N（2n，9-5n2）的直线与抛物线y1=-（x+4）（x-n），y2=

-（x+2n）2-n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值。

【解析】（1）求抛物线y1=-（x+4）（x-n）与x轴交点坐标，基本方法是令y1=0，

得-（x+4）（x-n）=0，解之x1=-4，x2=n，结合条件有A（-4，0）。

（2）k1，k2是两抛物线顶点的纵坐标，对抛物线表达式进行配方或直接运用二次函数顶点坐标公式可得顶点的纵坐标。

抛物线y2=-（x+2n）2-n2+2n+9就是顶点式，可以直接写出k2=-n2+2n+9，

對抛物线y1进行配方，y1=-（x+4）（x-n）=-x2+（n-4）x+4n=-（x[+4-n2]）2+[14]n2+2n+4，

所以k1=[14]n2+2n+4。

（3）探究k1与k2的大小关系，基本方法是作差，然后与0比较大小。

k1-k2=（[14]n2+2n+4）-（-n2+2n+9）=[54]n2-5。

①当[54]n2-5>0时，可得n>2或n<-2，结合条件-4≤n≤4，即当-4≤n<-2或2k2;

②当[54]n2-5<0时，可得-2

③当[54]n2-5=0时，可得n=2或n=-2，即当n=2或n=-2时，k1=k2。

综上所述：当-4≤n<-2或2k2;当-2

（4）抛物线y1、y2和直线MN都含有参数n，随着n的变化，三线的位置也在变化。借助几何画板观察：从n=-4，三线有4个公共点开始，随着n的增大，三线的位置在逐渐变化，公共点的个数也随之变化。在运动变化的过程中，我们截取不同的瞬间，图1到图11，直观感知，三线的公共点的个数变化为4—3—4—3—2—1—2—3—4—3—4。其中，有三个公共点的情况：一是三线经过同一点，如图2和图10;二是直线MN、抛物线y1有1个公共点，如图4和图8。

在三线运动变化的过程中，我们通过观察、思考，发现“直线MN、抛物线y2与y轴交于同一点”，运用代数推理很容易验证我们的猜想。

两点确定一条直线的表达式，设经过点M（2n+9，-5n2）和点N（2n，9-5n2）的直线MN的表达式为y=kx+b，得

[2n+9k+b=-5n2，2nk+b=9-5n2，]

解得[k=-1，b=-5n2+2n+9。]

直线MN的表达式为y=-x-5n2+2n+9，交y轴于点（0，-5n2+2n+9）。

对抛物线y2=-（x+2n）2-n2+2n+9，当x=0时，y2=-5n2+2n+9，交y轴于点（0，-5n2+2n+9）。

所以直线MN、抛物线y2与y轴交于同一点。

先算情况一：如图2和图10，三线经过同一点，此点在y轴上，将点（0，-5n2+2n+9）代入y1=-（x+4）（x-n）中，有-5n2+2n+9=4n，所以5n2+2n-9=0，n=[-1±465]，所以当n=[-1±465]

时，直线MN与抛物线y1、y2的公共点恰好为三个不同点。

再算情况二：直线MN与抛物线y1只有一个公共点，如图4和图8，联立直线MN：y=

-x-5n2+2n+9与抛物线：y1=-x2+（n-4）x+4n，得-x2+（n-3）x+5n2+2n-9=0，此时Δ=0，即（n-3）2+4（5n2+2n-9）=0，整理，得21n2+2n-27=0，解得n=[-1±214221]，所以当n=[-1±214221]时，直线MN与抛物线y1、y2的公共点恰好为三个不同点。

综上所述：当n1=[-1+465]，n2=[-1-465]，

n3=[-1+214221]，n4=[-1-214221]时，直线MN与抛物线y1、y2的公共点恰好为三个不同点。

【评注】本题是以双抛物线为背景考查二次函数综合应用的压轴题，虽然难度不小，但难度是逐渐提升的。具体来讲，第（1）问是热身送分题;第（2）问求二次函数的顶点是必备的基本知识，会配方是不难解决的;第（3）问用求差法比较两数的大小是基本方法，对不等式的要求高了一点;第（4）问是试题的高阶要求，难度较大。学习函数的经验告诉我们，可以运用“观察函数图像—发现其性质—巧用代数方法解决函数问题”的思维过程，虽然题目没有给出图像，但我们必须利用函数图像观察、研究，发现性质。数形结合、分类讨论、方程和函数的数学思想在本题中得到了充分体现。

（作者单位：江苏省东台市实验中学教育集团城东分校）