试件瞬间卸载动力响应试验及突变理论研究

郭延华，李乐昱，乔趁

(1.河北工程大学 土木工程学院，河北 邯郸 056038；2.北京科技大学 土木与资源工程学院，北京 100083)

0 引 言

随着煤矿开采深度增加和强度加大[1]，冲击地压给煤矿开采的安全性带来巨大挑战。冲击地压是煤(岩)体积蓄的弹性能瞬间释放而产生的一种复杂的非线性动力灾害现象[2-4]，发生前一般没有明显的宏观征兆，破坏在瞬间完成[5-6]，通常在现场难以观测，因此，对冲击地压进行模拟试验和理论探索十分必要。

近年来，众多学者对煤矿中冲击地压导致的破坏问题进行了深入研究。试验方面，蒋长宝等[7]在初始围压和瓦斯压力的不同组合条件下，分析不同卸围压速度对含瓦斯煤(岩)体力学和瓦斯渗透特征的影响；许江等[8]采用加轴压、卸围压应力控制方式开展煤(岩)体加卸载试验，对加卸载条件下煤岩变形特性和渗透特征的演化规律进行探究；赵宏刚等[9]在考虑实际开采方式条件下，进行轴压升高和围压降低的加卸载试验，研究了不同加卸载速率下原煤的力学特性；朱广安等[10]对煤样进行真三轴超应力卸载下的冲击破坏研究，揭示了围压对煤层的作用及方式。理论研究方面，由于冲击地压是一种非连续非线性现象，具有很强的突发性，传统的弹塑性理论不能很好地对其进行解释，而突变理论是研究非线性系统问题的有力工具[11]。张晓君[12]通过突变理论计算出围岩卸载岩爆下的劈裂突变模型，得到了卸载条件下的劈裂岩爆的必要及充分条件；高晓东等[13]利用尖点突变模型对煤柱冲击地压失稳条件进行理论推导，得出Z形煤柱冲击地压与影响因素的关系式；刘少虹[14]通过时效损伤模型和尖点突变理论建立的非线性动力学模型，得出动静载荷与井下煤(岩)体结构间的相互作用是影响动载诱发冲击地压的关键因素；江文武等[15]将岩体破裂失稳参数与尖点突变模型相结合，对岩体的失稳破坏进行了预测。

在煤(岩)体能量积聚和突然释放过程中，对其变化情况和破坏机制认识不够深入，特别是煤(岩)体内部微裂纹的扩展与冲击过程之间关系尚不明确，且从煤岩试件瞬间卸载动力学试验角度研究冲击地压机理的文献比较少。因此，本文采用相似材料制成立方体试件，代替煤岩试样，解决了矿井中立方体煤样试件制作、成形较为困难的难题：一是试件会出现不规则现象；二是会出现不成形现象，特别是脆性煤难于制作。通过自行设计加工的试验装置开展瞬间卸载动力学试验，深入研究煤(岩)体材料瞬间破坏前后的应力、应变变化情况和变形破坏特征，并进行定量描述，最后结合突变理论对试验机理进行分析。

1 瞬间卸载试验

1.1 相似材料的确定

从具有冲击地压发生的矿井中选取煤岩样本，进行基本力学性能试验，获得相关试验参数。按照一定相似比采用石膏、砂、松香、树脂等相似材料按照不同配合比制作成φ50 mm×100 mm的圆柱形试件，进行单轴抗压全程试验，同一配合比的试验次数不少于5次，相似材料配合比见表1，单轴抗压试验所得材料物理力学参数见表2。

表1 相似材料配合比

表2 试件物理力学参数

1.2 试验加载装置和方法

瞬间卸载试验加载装置的尺寸严格控制为100 mm×100 mm×100 mm，并使内部空间光滑平整，保证加载时能够与试件紧密贴合。上承压板可直接放置在试件上，后侧面、左右侧面钢板和下承压板需焊接在一起，前侧面钢板通过高强螺栓与主体连接，如图1所示。

试验加载时，电子万能试验机的刚性压头通过上承压板直接压到试件上，进行垂直加载，试件的垂向应力应变可直接通过试验机系统本身获得。当垂向压力达到设计值时，液压装置使可拆卸螺栓从预留的缺口处脱离，打开前侧面钢板，瞬间卸除横向荷载，使试件由三向受压状态瞬间变成双向受压状态，通过该试验可模拟开挖导致的巷道表面围岩变形破坏和应力瞬间变化过程。

1-下承压板；2-左右固定钢板；3-后面固定钢板；4-前面活动钢板；5-加强肋板；6-立方体试件；7-固定螺栓；8-可拆卸螺栓；9-电阻应变片图1 瞬间卸载试验装置

试验前预估立方体试件的单轴抗压强度，并按照2倍左右设定初次竖向加载级，通过试验得到临界卸载加载级后，再进行正式试验。

正式试验时按照2.0 MPa或4.0 MPa的梯度逐渐增大竖向荷载，达到要求的加载级后，进行横向瞬间卸载试验。

除前面试压得到的临界荷载级别12.6 MPa以外，另以4.0 MPa为梯度，设8.0，16.0，20.0，24.0 MPa 4个加载级，竖向压力达到相应加载级后进行瞬间卸载试验。

2 试验结果和分析

2.1 竖向应力-竖向应变关系

分别加载至前述5个加载级，然后瞬间卸除横向荷载，其对应的竖向应力-竖向应变关系曲线如图2所示。

图2 竖向应力-竖向应变关系曲线

分析24 MPa加载级可得，随着竖向荷载逐步增大，竖向应力-竖向应变关系曲线大致经历了4个阶段。

第1阶段，OA段。开始加载时，随着竖向应力增加，竖向应变随之增大，曲线斜率较小，这是因为试块中微孔隙迅速闭合。本阶段瞬间卸载，试件不破坏。

第2阶段，AB段。随着竖向应力进一步增加，曲线斜率逐渐变大，此时试件被压密，并开始横向变形。本阶段瞬间卸载，试件同样不破坏。

第3阶段，BC段。曲线斜率基本保持稳定，曲线段较长，这是由于试件进一步被压密，横向稳定变形所致。本阶段结束前后瞬间卸载，试件卸载面开始出现片状弹射破坏现象。

第4阶段，C点以后。曲线斜率再次逐渐变大，试件已经基本被压密，竖向变形越来越难。本阶段瞬间卸载，试件卸载面会出现边缘层状溃折弹出、边缘整体冲出等变形和破坏现象。

故在8.0 MPa加载级，曲线只出现前2个阶段，瞬间卸载后试件不发生破坏；12.6 MPa加载级，曲线出现前3个阶段，瞬间卸载后试件卸载面开始出现片状弹射破坏现象；16.0 MPa加载级开始出现第4阶段，瞬间卸载后试件卸载面出现边缘层状溃折弹出、边缘整体冲出等破坏现象；在20.0，24.0 MPa加载级，曲线中4个阶段都会出现，瞬间卸载后试件卸载面已发生破坏。分析可得，试件瞬间卸载破坏的竖向临界应力为12.6 MPa。

2.2 竖向应力-横向应力关系

分别加载至前述5个加载级，然后瞬间卸除横向荷载，对应的竖向应力-横向应力关系曲线如图3所示。

同理，分析24.0 MPa加载级，随着竖向荷载逐步加大，竖向应力-横向应力关系曲线大致也经历了4个阶段。

图3 竖向应力-横向应力关系曲线

第1阶段，OA段。加载前横向应力为0，开始加载时，横向应力不增加至增加非常缓慢，这是由于试块与加载装置在侧向存在一定间隙。试件侧面与加载装置之间经历了逐步接触到紧密贴合的过程。

第2阶段，AB段。随着竖向应力进一步增高，曲线斜率逐渐变小，这是由于试件被压密，横向变形速率逐渐增大所致。

第3阶段，BC段。曲线斜率基本保持稳定，试件进一步被压密，横向变形处于稳定状态，且本阶段曲线段较长。

第4阶段，C点以后部分。曲线斜率再次逐渐变大，试件已经基本被压密，竖向变形越来越难，导致横向变形加速。

在卸载前一定范围内，竖向应力与横向应力呈线性关系，随着竖向应力增大，横向应力在一段时间内呈现线性增大。8.0 MPa加载级，曲线中只出现前2个阶段，此时试件被压密，未发生破坏；12.6 MPa加载级，曲线出现前3个阶段，试件进一步被压密，开始出现片状弹射现象；16.0 MPa加载级开始出现第4阶段，试件横向变形开始加速，即开始发生破坏；20.0，24.0 MPa加载级，曲线中4个阶段都会出现，试件已发生破坏。

2.3 试件破坏形式及能量机制分析

试件在不同加载级条件下进行卸载，其卸载面将产生不同的破坏状态。对于受载试件，其能量演化主要有能量输入、聚集、耗散和释放4个过程。其中能量输入全部看作试验机对试件做的功，一部分以弹性能积聚在试件内部，瞬间卸载时释放出来，其过程双向可逆；另一部分以强度损失、裂纹扩展的形式耗散掉，是不可逆过程。当试件中积蓄的弹性能达到极限时，便会发生破坏，故试件破坏是能量驱动的结果。由瞬间卸载试验得到3种典型的试件破坏特征照片，如图4～6所示，并将试件瞬间卸载时卸载面的状态划分为以下4种：

(1)卸载面不破坏。竖向荷载较低，横向瞬间卸载时，试件的卸载面变形不明显，试件不破坏，伴随有轻微响声，甚至没有响声。这是由于竖向荷载较低，试件中积蓄的能量较小，基本都以弹性应变能的形式储存，耗散能为0主要对应于试件内部空隙被压密，其内部损伤和受压变形很小。此时进行横向卸载其能量不足以使试件发生破坏。在8.0 MPa加载级瞬间卸载时，会出现此现象。

(2)卸载面片状弹射。随着竖向荷载增加，横向瞬间卸载时，卸载面开始出现片状弹射破坏现象，伴随较大响声。这是由于竖向荷载增加，试件吸收能量增多，但仍主要以弹性能方式存储，其中一部分能量用于试件内部裂纹产生所需的耗散能，随着能量不断增大，试件中存储的弹性能达到极限，当试件横向瞬间卸载时，便向外界释放能量使试件表面发生弹射破坏。在12.6 MPa加载级瞬间卸载时出现此破坏现象，如图4所示。

图4 侧面片状弹射破坏现象

(3)卸载面边缘层状溃折弹出。随着竖向荷载的进一步增加，横向瞬间卸载时，卸载面出现边缘层状溃折弹出破坏现象，同时伴随有更大的响声。这是由于竖向荷载较大，试件中积蓄了大量的弹性能，其中用于耗散的能量也持续增加，导致试件中的裂隙沿层状继续扩展，卸载时试件内的动能使卸载面边缘产生类似板的压缩溃折失稳破坏，并被横向弹出。在16.0,20.0 MPa加载级瞬间卸载时，均出现了较强的破坏现象，如图5所示。

图5 侧面边缘层状溃折破坏现象

(4)试件侧面整体冲出。当竖向荷载足够大，横向瞬间卸载时，卸载面出现边缘整体冲出破坏现象，伴随巨大响声。这是由于竖向荷载非常大，试件中积蓄了巨大的弹性能，用于耗散的能量使试件裂纹充分扩展并相互贯通，卸载时试件中存储的动能释放使卸载面边缘还没有发生溃折横向整体冲出。该现象在24.0 MPa及以上加载级瞬间卸载时出现，如图6所示。

图6 侧面部分整体冲出破坏现象

3 突变理论分析

煤矿在开挖时，煤(岩)体由三向受力状态突然变为双向受力状态，破坏在瞬间完成，该过程具有非线性、非连续性的特征，而突变理论是一种能够处理非线性、不连续且无需考虑内部机理的方法，特别适用于复杂、初始条件不确定的情况。突变理论是通过系统状态变量和控制变量建立研究对象的势函数，对系统行为进行描述，然后联立求解势函数的一阶与二阶导数，得到系统平衡状态的临界点和分叉集，通过研究系统平衡位置的移动是否跨越分叉集，判断系统是否处于稳定状态，即针对临界点之间的相互转换研究系统的突变特征。尖点突变模型是突变理论在非线性动力学中应用最广的模型之一，如图7所示。

图7 尖点突变模型示意图

尖点突变的相空间是由状态变量x和控制变量u，v构成的三维空间，其势函数是一个二参函数。

V(x)=x4+ux2+vx。

(1)

对式(1)求一阶导数，可得在(x，u，v)空间中的平衡曲面或突变流形M，即

(2)

非孤立奇点集S既要满足式(2)，又要满足

(3)

由式(2)和式(3)联立消去x，即可得分叉集B：

Δ=8u3+27v2=0。

(4)

可以看出，突变流形是一个有褶皱的曲面，分为上、中、下三叶。不同区域中平衡位置的个数是不确定的，可能为1～3个。对应于中叶的势函数取极大值，其平衡位置不稳定；对应于上、下叶的势函数取极小值，其平衡位置稳定。曲面的竖直切线区域即为系统的突变点或奇异点。在从上叶到下叶或从下叶到上叶的转换中，如果跨越了分叉集B，系统状态就会发生突跳。

在煤矿开挖前期，围岩处于三向受力状态，开挖后，卸载面产生片状或层状破裂，对于围岩卸载前后将要发生破裂的部分，将其假设为单位板梁，整个结构体系中通过结构应变能U、垂直力所做功Wp、未发生破坏部分对发生层状破裂部分所做功WM、第三向水平力所做功W3得到总势能V[12]，

V=U-WP+WM+W3，

(5)

梁变形的挠曲方程为

y=a0sin(πx/a)，

(6)

式中：a为板梁长度；a0为板长方向中点处挠度。

板梁的应变能为

(7)

式中，D为单位宽度板的抗弯刚度。

垂直力所做功为

(8)

式中：P为垂直荷载，对应垂直方向最大主应力σ1=P/h。

卸载前第三向水平力所做功为

(9)

未发生破坏部分对发生层状破裂部分所做功

(10)

将(3)～(5)代入式(1)得

(11)

将式(11)变换为标准形式，

V=X4+uX2+vX，

(12)

式中：X为状态变量；u，v为控制变量。

若使系统状态发生突变，只有当u≤0时，系统从一种状态跳跃到另一种状态，点(u,v)穿越分叉集曲线时，才会导致系统发生破坏。

由式(11)可得u,v表达式，从而导出煤岩突变破坏的必要条件

σ1≥Dπ2/(ha2)，

(13)

根据式(13)也可预估煤岩破坏范围，即

(14)

在发生突变破坏过程中，煤岩系统状态一定满足分叉集方程。此方程将控制平面划分为2个部分，分别含有系统不同的平衡点。其中一个部分含有1个不稳定和2个稳定平衡点；另一个部分只有1个平衡点。在分叉集外，Δ>0，式(2)只有一个实根，对应的势函数曲线只有一个最小值，系统处于稳定状态；在分叉集内，Δ<0，式(2)有3个不等实根，对应的势函数曲线有2个最小值，系统处于不稳定状态；在分叉集线B1和B2上，Δ=0，当u，v均不为0时，式(2)有3个实根，其中一个二重根，在B1线上有2个较小的相等实根，在B2线上有2个较大的相等实根，对应的势函数有1个最小值和1个拐点[16]。故可将Δ≤0看作系统突变破坏发生的充分条件。其中27v2≥0恒成立，故8u3≤0，即

σ1≥Dπ2/(ha2)，

(15)

此式可作为煤岩系统发生突变破坏的充要条件。

由于瞬间卸载动力响应试验所用的立方体试件是通过原煤样按照一定相似比制成，能够较好地模拟煤岩的力学性能。之后运用突变理论对上述瞬间卸载试验发生突变时的状态进行分析。根据现场试验观察发现，在发生临界破坏时片状厚度多在4～6 mm，故理论假设该试件板长a取0.1 m(即上述试验中立方体试件的长度)，厚h取中间值0.005 m，再结合试验中由物理力学参数计算单位宽度板的抗弯刚度D=6.7×10-5，通过式(13)计算可得试件发生突变破坏的临界竖向应力，约为13.27 MPa，即超过该值系统会发生突变破坏，小于该值时不破坏，其结果与瞬间卸载试验结果较为吻合。

综上所述，由瞬间卸载试验得到的临界应力与突变理论分析得到的临界应力结果相差不大。然而煤矿瞬间卸载破坏因素的复杂性和突变理论模型对突变破坏问题简化等原因，对煤矿中冲击地压的形成与破坏机理仍需进一步研究。

4 结 论

(1)通过对瞬间卸载试验的竖向应力-竖向应变、竖向应力-横向应力关系曲线图分析得出：加载级为8.0 MPa时，曲线只出现前2个阶段，12.6 MPa时，曲线出现前3个阶段，16.0 MPa时开始出现第4个阶段，20.0 MPa和24.0 MPa时，曲线中4个阶段都会出现，试件瞬间卸载破坏的竖向临界应力为12.6 MPa。

(2)试件在瞬间卸载后除了8.0 MPa加载级不破坏外，其余均产生不同程度破坏，并将此归纳为4种状态。

(3)由瞬间卸载动力响应试验可知，试件在临界加载级下瞬间卸载会发生突然破坏，该过程具有非线性、非连续的特征，运用突变理论导出的突变破坏充要条件对上述试验机理进行分析，得出其破坏的竖向临界应力，约为13.27 MPa，高于该值时将出现较强破坏现象，其结果与瞬间卸载试验结果相差不大。