基于渐开线展成原理的刮齿刀数学模型与三维实体建模

王远庆

（长安大学工程机械学院，陕西 西安 710016）

0 引言

强力刮齿技术从提出开始，便广泛吸引了齿轮加工行业的重视， 国内外学者也为强力刮齿技术的突破进行着不断地努力， 西安交通大学金精等从事车齿法的研究工作，分述了车齿的工作原理是基于螺旋齿轮啮合原理，著有车齿法一书[1-2]；毛世民认为车齿齿轮齿面是车齿刀刀刃曲线双自由度包络形成的[3]；陈新春、李佳等从齿面形成出发，研究剐齿过程，切削刃上各点处切削速度的变化情况，从而明确切屑的形成过程[4-6]；Guo 等对车齿加工方法进行了深入研究， 根据空间交错轴齿轮副啮合原理对加工直齿轮的斜齿车齿刀切削刃进行了计算， 并对车齿刀的结构进行了设计[7-8]；Chung-Yu 提出了一个基于共轭表面重磨刮齿刀的方法[9]；Tsukasa 等提出了一种用于内齿轮刮削的切削刃连续变化工作的评价方法[10]；Fumihiro 等研究了刮齿刀尺寸对切削负荷的影响， 发现可以通过调节前刀面和设定后角来减小切削负荷[11]。

由国内外研究现状可知，目前对强力刮齿研究主要集中在刮齿刀具的设计上，在加工时，强力刮齿刀和被加工齿轮属于空间交错轴齿轮副啮合运动， 考虑到加工所必需的条件，如必要的前角、后角及刀具刃磨等因素，刀具表面轮廓实际上为空间螺旋面，刀具结构十分复杂，因此如何设计出一款合理的强力刮齿刀， 是一个十分具有挑战的研究方向。 因此， 本文提出一种强力刮齿刀设计方法，并建立相应的刀具齿面数学模式，并对所提出的数学模型进行数值求解和三维实体建模。

1 刮齿加工原理

刮齿加工和传统滚齿、插齿加工方式不同，在加工过程中，刮齿刀具既相当于滚齿刀，又相当于插齿刀，如图1所示，分别为刮齿刀加工内、外齿轮的原理示意图，刀具和工件按照一定比例做对滚运动产成工件端面渐开线齿廓；同时，刀具还有沿着工件轴向的进给运动，从而加工出整个工件， 这种加工方式结合了滚齿和插齿加工的特性， 使得加工效率得到很大的提高， 特别是对于无退刀槽、结构复杂的内齿轮加工，刮齿加工的优势十分明显。

图1 刮齿加工原理示意图

由加工原理可知， 刮齿加工时有两个加工自由度，工件和刀具的角速度不再是简单的齿数比， 且有：ω1=(z2/z1)ω2-fa/p, 其中，ω1为工件角速度，ω2为刮齿刀角速度，z1为工件齿数，z2为刮齿刀齿数，fa为刮齿刀沿着工件轴向的进给速度，p 为工件螺旋参数。

2 齿面方程

图2 所示，为刮齿刀结构示意图，刮齿刀主要由前刀面、后刀面和切削刃等组成，前刀面与后刀面相交可得到切削刃。 为了保证加工时切屑可以顺利排出且不发生干涉，刮齿刀具需要沿着轴线方向进行连续变位，从而形成后角，如图3 所示，ζ 为刮齿刀端面齿廓位置参数，变位系数xlt从刀具前端面（ζ0处）沿着自身轴线方向逐渐减小，且有

其中，x0t为最大变位系数，α0为刀具顶刃后角，mn为模数，ζ 的取值范围为0~B（B 为刀具齿宽）。

图2 刀具结构示意图

图3 变位齿廓示意图

在不同轴向位置处，刀具齿廓可由式（2）、（3）给出，其中，Ra为渐开线齿廓的齐次坐标表示，rbt为刀具基圆半径，u 为渐开线参数，η 为对应不同变位系数的转角，zt为刀具齿数，βt为螺旋角，αtt为端面压力角，±号分别对应左右两侧渐开线齿廓，坐标原点oa在刀具轴线上。

将端面渐开线齿廓Ra沿着轴向经过螺旋变换， 可得到刀具齿面上任意一点的齐次坐标Rf，二者满足

其中，Mh为转换矩阵，θ=2πζi/Lt，Lt 为刀具的螺旋导程。

为了求解切削刃，需要对前刀面进行定义，由空间几何原理可知，刀具前刀面可由面上一点（参考点m）和前刀面法矢唯一确定，参考点m 的位矢rm和前刀面法矢nm由式（6）给出，其中，γ 为刀具前角。

联立前刀面和刀具齿面，求解方程组(8)可解得指定参考位置处的切削刃，方程组（8）中第一个等式为平面法向量约束，第二个等式为齿面上一点到轴线的距离约束，其中，xf、yf、zf分别为Rf的前三个分量，xm、ym、zm分别为前刀面参考点m 的三个坐标分量。

3 网格划分和逆向建模

在第2 节中， 推导得到了刀具齿面方程和切削刃方程， 并且知道刀具齿面和切削刃均是双参数u 和ζ 的函数，为了对刀具齿面进行数值求解，需要对刀具齿面进行网格划分，如图4 所示，为刀具齿面的旋转投影面，横坐标hl 为渐开线的位置参数， 纵坐标vl 为齿面上任意一点到刀具轴线的距离， 在MATLAB 中使用fsolve 函数求解非线性约束方程组（9），则可得到对应数值解。

图4 齿面网格划分

表1 为刮齿刀基本参数， 代入求解得到齿面网格图和切削刃如图5 所示。

表1 刮齿刀基本参数

图5 刮齿刀齿面网格图

CATIA 是法国达索系统公司的CAD/CAE/CAM 一体化软件,在CAD/CAE/CAM 领域中处于领导地位，广泛应用于航空航天、汽车制造、造船、机械制造、电子、电器、消费品行业和通用机械制造，主要有“创成式曲面设计”“数字化外形编辑器”“快速曲面重建”和“逆向工程实例”等功能模块。逆向建模具体步骤如下：

1）利用软件MATLAB 编写齿面方程程序，生成齿轮离散点云，此步骤在第3 节程序中实现；

2）将齿面离散点云导入到CATIA 中，如图6 所示，为导入后的点云数据，通过‘Freestyle’或者‘Quick Surface Reconstruction’等模块拟合出单齿模型；

3）根据齿轮副的参数，通过旋转、拉伸等操作建立齿坯模型，最后通过阵列操作，得到全齿模型如图7 所示。

图6 齿面点云

图7 三维模型

4 结论

1） 本文提出了一种强力刮齿刀齿面数学模型， 并详细推导了齿面方程和切削刃方程；

2） 在刀具的旋转投影面上对齿面进行了网格划分，并给出了求解齿面网格点的约束方程，实现了刮齿刀齿面的数值求解；

3） 结合CATIA 三维造型软件，实现了刮齿刀具的逆向建模，得到了符合设计要求的刀具模型。