算理算法有效融合，提高数学运算能力

冯惠玲

【摘要】运算能力是我国数学教育的重要特征之一，是小学生应具备的一种重要的数学能力。在小学数学的教学实践中将算理与算法有效地融合在一起，可以提高学生的运算能力。算理与算法是运算能力的一体两翼，缺一不可。算法只是让学生知其然，而算理可以让学生在数学的学习中知其所以然。学生只有深入理解了计算中的道理，才能正确地、迅速地、灵活地进行运算。教师在日常教学中，可以实施忆理思法、析理得法、懂理固法、明理展法的有效方法，真正意义上促进学生对算理和算法的关系进行深入的理解和全面的掌握，切实提高运算能力，全面提升学生运算素养。

【关键词】小学数学;算理与算法;有效融合;运算能力

《数学课程标准》（2011年版）指出：“我国基础教育数学课程一直将运算作为主要内容，运算能力是我国数学教育的重要特征之一。”当前在数学的教学实践中，有些教师只重视对算法的讲解和应用，要求学生机械地把计算法则背下来后再进行反复地练习，学生根本不懂这些算法背后的演绎逻辑是怎样的，不能灵活地进行运算，这是学生运算能力不强的重要原因。算理与算法是运算能力的一体两翼，缺一不可。算法只是让学生知其然，而算理可以让学生在数学的学习中知其所以然。学生只有深入理解了计算中的道理，才能正确、迅速地进行运算。在计算教学中，教师需要将算理与算法有效融合起来，帮助学生全面掌握算法实然与算理应然内容的深度学习，切实提高学生的运算能力。

一、复习架桥，忆理思法

教师要深层次地理解和掌握教材编排的脉络与结构，活化教材中的“理”。数学知识是按逐级递进、螺旋上升的原则编排的，知识间联系紧密，每个新知都是在旧知的基础上延伸的。在复习旧知中顺势引出新知的学习，会让学生在已有学习经验的迁移中自然打通知识间的关联通道。因此，在计算教学中，教师要从学生的认知水平和已有经验出发，注重知识的“生长点”与“延伸点”。找准新知识的“生长点”就像找到了通往新知的桥梁，就像敲开了学生学习新知的思维大门，这样才能轻松地完成学生对新知的建构过程。教师在教学时要善于挖掘与新知有关的知识，在学生原有的知识基础上架起通往新知识的桥梁，达到知识的同化与顺应，发展学生的运算思维。

例如，在教学北师大版数学二年级下册第五单元《小小图书馆》（三位数笔算减法）一内容时，教师可以抓住“相同数位要对齐，退一当十”这个三位数减法的算理的生长点，设计复习题：用竖式计算68-29=？学生算完后，再追问学生“笔算两位数减法的计算方法是怎样的？”（两位数减两位数，相同数位要对齐，从个位减起，个位不够减就向十位退一当十）并让学生明白“相同数位对齐”和“个位不够减就向十位退一当十”的依据是“计数的位值制原则”，不同位置上的数字计数单位不同，表示的意义也不同，因此相同数位上的数字才能相减。让学生明白为什么要从个位减起，从十位减起不可以吗？其实对于两位数不退位减法，从十位减起也是可以的，但对于两位数退位减法，若从十位减起，“退一”后需要在十位上减少一，学生容易出现错误。为减少学生的计算错误，才规定“从个位减起”。让学生在学习新知“笔算三位数减法”前明白了“计数的位值制原则”和“相同单位的数才能相减”的算理，学生很自然地将这个算理与算法迁移到三位数减法的学习中，很容易掌握“笔算三位数减法”的计算方法，并自然地从“个位不够减向十位退一当十”过渡到“十位不够减向百位退一当十”。学生在复习回顾中融通说理，既温理法融合之“故”，又知继续探究之“新”，为通向新课的算法迁移与理法有效融合架好了桥。学生在理解算理的基础上进行计算，会算得更准确、更灵活、更合理、更简洁，有效提高了学生的计算技能。

二、迁移探新，析理得法

计算教学是枯燥乏味的，如果脱离了算理的支撑，计算法则将会支离破碎，学生在学习计算的过程中只有明白了算理与算法，才会灵活、简便地进行计算，算理为算法提供了理论指导，算法使算理具体化。小学生的思维正处在由具体形象思维向抽象思维过渡的时期，这就构成了小学生思维的形象性与数学知识的抽象性之间的矛盾。解决这一矛盾，就需要教师在教学中借助直观模型、动手操作等形式为学生理解算理、得出算法提供有效的“脚手架”，可以更深切地明白计算的本质，从而实现算理算法的深度融合，发展学生的运算能力。

1.利用直观模型，探理得法

在教学北师大版四年级下册第三单元《买文具》这一内容时，解决第一个问题：一块橡皮0.2元，买4块橡皮需要多少元？教师可以利用直观模型：

让学生可以从图中清楚地看到，0.2就是2个0.1，4个0.2是（4×2）个0.1，是0.8，也就是求8个这样的单位，用乘法计算可以列式为0.2×4=0.8（元），这样的教学环节的设计，让算理与算法完美融合在一起，学生明白了其中的算理，就会在以后的计算中减少错误，提升了运算思维，提高了運算能力。

2.借助动手操作，析理得法

在教学北师大版三年级下册第一单元《分橘子》（一位数除两位数）这一内容时，我们可将学生的①动手操作——分小棒;②口算算理——先算什么再算什么;③竖式算理——先除哪一位，再除哪一位，三者进行紧密结合、环环相扣，最后让“算理”与“算法”有效融合在一起，提升学生的运算思维。

第一步：解决问题，45个橘子平均分给三个人，每个人分到几个？学生列出算式为45÷3后，先让学生拿出小棒代替橘子动手分一分，引导学生先分3捆，每人分到1捆，即10个，30÷3=10;再把剩下的一捆和散着的5根合在一起变成15根，平均分给3个人，每人分到个5桃子，15÷3=5;最后，10+5=15，一共分到15个。

通过动手分一分让学生明白口算时先算什么，再算什么。

第二步：分完小棒后教师顺势问学生，“以前我们算除法时能一次分完的，在竖式中一步就可以完成，今天45÷3=15，要分两次才能分完，那么，这道竖式该怎么写呢？看着你分橘子的过程想一想，怎样写才能体现出你分2步分完的道理。引导学生边写竖式，边结合分小棒的过程说说竖式每一步的意思，，先分3捆，即把3个十平均分成3份，每份是1个十，因此1要写在商的十位上，1乘3个十，得3个十。意思是两个人第一次分走了30个橘子，接着再用十位上的4减3，等于1个十，再把个位上的5拉下来合在一起变成15继续分，每个人又分到5个，所以5要写在商的个位上，两次合起来共分到15个橘子。结合分小棒的过程，学生逐步掌握了笔算一位数除两位数，商是两位数的知识建构，并明白每一步为什么这样算。在动手操作中学生将知识表象逐步内化，形成清晰的算理。在理解算理的基础上掌握算法，学生会算得更准确，运算能力会越来越高。

三、借助练习，懂理固法

实现算理算法的有效融合，提高运算能力，除了要让学生明白算理，掌握算法，还需要一个扎实有效、循序渐进的训练，需要学生在练习中不断地理解和内化。在教学中设计具有说理味的练习，有利于学生明白算理并巩固算法，切实提高运算能力。如，在《分桃子》一课时，可设计以下的练习让学生理解算理，巩固算法。每3根小棒可以拼成一个三角形，36根小棒可以拼成多少个三角形？小红用下面的竖式计算出结果，箭头所指的表示的是（      ）

A.已经用去了3根小棒

B.已经用去了6根小棒

C.已经用去了30根小棒

D.已经用去了36根小棒

通过这样的练习，实现了算理与算法的巩固内化，并且有效地发展了学生的运算思维，提高了学生灵活应用的能力。又如，在学习了笔算三位数乘两位数的内容后，可以设计以下练习来理解算理巩固算法，提高运算能力。

想一想下面竖式中每一步的意思，再填一填。

合理设置算理和算法的课后习题作业，打造数学算法和算理相结合的培养链。

四、沟通联系，明理展法

有效的数学学习不应是碎片化的、点状式的，而应该是整片化的、构状式的，要引导学生找到各知识点之间的相互联系，将同一类的知识点形成一个完整的知识体系，让学生融会贯通，提升运算能力。

如，在执教《异分母分数加减法》一课，探究的方法时，通过方法一：化成小数计算，=0.5（5个0.1）+0.2 （2个0.1）= 0.7;方法二：通分转化成同分母分数，，通过对比发现两种方法都是把相同計数单位相加减。教师抓住转化与通分之间的联系，让学生在转化、理解算理的基础上，明白只有单位相同才能直接计算，数的加减法计算的本质就是单位个数的加减。不但帮学生理解了新知，还让学生明白了整数、小数、分数加减法的算理都是一样的，打通了知识间的“隔断墙”，让学生体会到知识间的密切联系，对算理的理解、算法的掌握也会更加深入。

农村小学数学运算教学中，只有教师改变了教学观念，转变了教学方式，将算理和算法有效地进行融合，才能在真正意义上促进学生对算理和算法的关系进行切实的理解和全面的掌握，才能切实提高运算能力，发展运算素养。

[本文系清远市阳山县教育科学“十三五”规划课题“农村小学数学‘融合型’运算教学的实践研究”（课题编号：13-2）的研究成果之一]

参考文献：

[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京师范大学出版社，2012.

[2]陈婷.实现理法融合 打造说理课堂[J].小学数学教育，2021（3）：19-21.

[3]王荣香.基于整体建构的运算知“法”与明“理”的深度融合——《三位数乘两位数的笔算》教学实践与思考[J].考试周刊，2020.

责任编辑  陈小凤