基于柔顺度最小化的板桁结构拓扑优化设计

岳海玲

摘 要：板桁结构在桥梁结构中应用广泛。基于柔顺度最小化的拓扑优化方法，研究了不同桥面板材料的板桁组合结构的拓扑优化问题。算例结果表明：组合结构中的板结构采用不同材料，优化获得的组合结构最优拓扑不同;所采用方法优化求解迭代过程平稳，能获得不同材料组成的板桁组合结构优化拓扑构型。研究结果有益于工程实际应用。

关键词：板桁结构;拓扑优化;柔顺度

中图分类号：U448 文献标识码：A 文章编号：1003-5168（2021）23-0064-03

Abstract： Plate truss structure is widely used in bridge structure. Based on the topology optimization method of minimizing compliance， the topology optimization of plate truss composite structures with different deck materials is studied in this paper. The results show that the optimal topology of the composite structure is different when the plate structure of the composite structure adopts different materials. The iterative process of the optimization solution is stable， and the optimal topological configuration of plate truss composite structures composed of different materials can be obtained， which is beneficial to practical engineering application.

Keywords： plate-truss composite structure;topological optimization;compliance

结构拓扑优化问题是计算力学领域和工程结构设计领域的一个热点问题[1]。近年来，各种结构拓扑优化设计方法迅速发展与扩展[2]，并被应用于航空、航天和土木工程等各个领域。实体各向同性材料惩罚法[3]（Solid Isotropic Material Penalty，SIMP）具有高效和变量少等特点。因此，该方法被广泛应用于解决各种工程设计问题。

板桁组合结构是由桥面板和桁架共同受力的梁式结构。因为该结构受力性能好，其他综合性能优秀，在现役桥梁中被广泛应用[4-5]。

针对桥梁工程中的板桁组合结构，研究了考虑刚度最大化的板桁结构拓扑优化设计问题。首先，给出了刚度最大化的结构拓扑优化数学模型，并引入变体积比约束的方式，对优化模型进行等效转化并求解。其次，研究了不同材料组成和不同尺度比的板桁组合结构的拓扑优化问题，获得了一系列清晰的结构拓扑，并进行了对比分析。研究结果表明：本方法可以获得清晰的板桁组合结构优化拓扑构型，易于应用于工程实际;不同的材料组成所获得的优化结果各异，不同的初始结构尺度比获得的优化结果有差異，体现了材料特性和尺度差异带来的影响。

1 柔顺度最小化板桁结构拓扑优化问题表述

1.1 单元拓扑变量与插值函数

2 板桁组合结构优化设计

2.1 10 m×2 m简支板桁结构拓扑优化设计

图1显示简支板桁结构初始设计区域，按平面应力问题计算，取厚度为0.1 m。设结构由混凝土板和钢结构桁架组成。上缘板高为0.2 m，设为不设计区域，跨度为10 m，梁高为2 m。沿桥跨作用竖向均布荷载[q]=10 kN/m。取设计区域为钢材，取不设计区域的板为钢材或混凝土两种材料分别进行设计。混凝土板弹性模量[E1]=28 GPa，泊松比[υ]=0.3，密度[ρ]=2 300 kg/m3;桁架区域钢材材料弹性模量[E2]=200 GPa，泊松比[υ]=0.3，密度[ρ]=7 800 kg/m3，设体积比约束为50%。图2显示取板为混凝土材料的结构拓扑优化历程;图3显示取板为钢材料的结构拓扑优化历程。在荷载相同的情况下，取板为混凝土材料的结构初始构型的柔顺度为8.34 N·m，优化拓扑的柔顺度为14.80 N·m。取板为钢材料的结构初始构型的柔顺度为6.75 N·m，优化拓扑的柔顺度为10.91 N·m。

对比由两种不同的初始设计区域获得的优化拓扑，可以发现最优化结果拓扑构型差异明显，体现了不同的板结构材料对优化结果求解的影响。究其根源，在于混凝土板材料的弹性模量与钢材的弹性模量存在差异，导致结构中材料的刚度布局存在差异。

2.2 10 m×1.5 m简支板桁结构拓扑优化设计

按图1显示简支板桁结构初始设计区域，按平面应力问题计算，取厚度为0.1 m。设结构由混凝土板和钢结构桁架组成，梁跨度为10 m，梁高为1.5 m。沿桥跨作用竖向均布荷载[q]=10 kN/m。材料和其他设计基本资料同2.1设置。设体积比约束为50%。图4显示取板为混凝土材料的结构拓扑优化历程。图5显示取板为钢材料的结构拓扑优化历程。

2.3 10 m×1 m简支板桁结构拓扑优化设计

按图1 显示简支板桁结构初始设计区域，按平面应力问题计算，取厚度为0.1 m。设结构由混凝土板和钢结构桁架组成，梁跨度为10 m，梁高为1.0 m。沿桥跨作用竖向均布荷载[q]=10 kN/m。材料和其他设计基本资料同2.1设置。设体积比约束为50%。图6显示取板为混凝土材料的结构拓扑优化历程。图7显示取板为钢材料的结构拓扑优化历程。

对比10 m×2 m、10 m×1.5 m和10 m×1 m简支板桁结构拓扑优化设计结果可以看出，采用不同的尺度比获得的优化拓扑构型不同。随着长度方向尺度的增加，优化构型的跨中区域的腹杆刚度分配减少，上缘和下缘弦杆所需要的刚度增加。另外，当采用不同的上缘板结构时，优化拓扑所显示出来的桁架体系不一样，说明板桁组合结构的优化桁架体系受板材料的刚度和桁架材料的刚度之比的影响明显。

3 结论

研究考虑柔顺度最小化板桁组合结构拓扑优化设计问题，基于经典的SIMP方法和变体积约束限的方式，优化获得了不同板结构的板桁组合结构拓扑构型，得出如下结论：①本方法可以进行钢板桁结构和混凝土板桁结构的拓扑优化设计，可以获得组合结构优化拓扑;②组合结构中的板结构采用不同材料，优化获得的组合结构最优拓扑不同;③板桁组合结构的初始长宽尺度比对优化结构拓扑有明显影响。

参考文献：

[1]BENDSØE M P，KIKUCHI N.Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1988（2）：197-224.

[2]ROZVANY G.A critical review of established methods of structural topology optimization[J].Structural and Multidisciplinary Optimization，2009（3）：217-237.

[3]俞燎宏，榮见华，赵志军，等.多工况载荷下连续体结构柔顺度拓扑优化问题的新的求解方法[J].机械工程学报，2018（5）：210-219.

[4]霍军会，魏巍巍.板桁结合连续梁桥计算模型优化分析[J].公路，2021（9）：242-245.

[5]何东升，郑清刚，徐伟.板桁组合结构主桁节点板应力集中系数研究[J].桥梁建设，2020（3）：46-51.

[6]沈锐利，颜智法，唐茂林，等.悬索桥板桁结合型加劲梁剪力滞计算的简化方法[J].桥梁建设，2015（3）：82-87.

[7]荣见华，张强，葛森，等.基于设计空间调整的结构拓扑优化方法[J].力学学报，2010（2）：256-267.

[8]赵志军，荣见华，黄方林，等.基于可行域调整策略的多约束材料优化设计[J].应用力学学报，2017（6）：1019-1026.