走近古老而美丽的数论

陈冰

本尼迪克特·格罗斯（左）和唐·查吉尔（右）两位数论方面的专家获2021年“ 复旦- 中植科学奖”。

12月19日至20日，第六届“复旦-中植科学奖”颁奖典礼暨2021复旦科技创新论坛在上海举行。

美国国家科学院院士、美国艺术与科学院院士、美国哈佛大学和加州大学圣地亚哥分校数学荣休教授本尼迪克特·格罗斯（Benedict Hyman Gross），美国国家科学院院士、荷兰皇家艺术与科学院外籍院士、德国马科斯-普朗克数学研究所原所长、荣休教授唐·查吉尔（Don Bernard Zagier），两位数论（高斯眼中的“数学女王”）方面的专家获2021年“复旦-中植科学奖”。

本尼迪克特·格罗斯和唐·查吉尔共同建立了格罗斯-查吉尔（Gross-Zagier）公式。该公式将Heegner点的高度与相应椭圆曲线Zeta函数的中心导数联系在一起，并推动Birch和Swinnerton-Dyer（BSD）猜想取得重大突破。此外，这一公式应用在诸多长时间悬而未决的问题上，对近几十年来的数论发展产生了深远影响。

格罗斯教授在自守形式以及其他领域也作出了大量奠基性的工作，其中颜-格罗斯-普拉萨德（Gan-Gross-Prasad）猜想已成为当今数学研究的核心之一。

查吉尔教授在模形式和特殊函数上开展了许多影响深远的工作，解决了从拓扑、模空间到几何、数学物理等多个领域中的大量问题。

2021年“复旦-中植科学奖”得主唐·查吉尔出席颁奖典礼，并发表了《古老而美丽的数论》的演讲。

一支笔，一叠纸，纸上整齐地用汉字写着“九章算数”，旁边是密密麻麻但清晰可见的行行数学公式，领奖台中央，唐·查吉尔——2021年“复旦-中植科学奖”得主正在尝试通过古老中国的九章算术将古老而美丽的数论讲给台下的人。

数论中有最古老的一个分支是丢番图方程，该理论是关于寻找多项式方程的整数解与分数解。其中一类特殊的方程叫做椭圆曲线，典型问题是给定一个数，比如13，它是否可写成两个分数的立方和？

对于椭圆曲线，半个世纪前，英国数学家贝赫和斯维讷顿-戴尔提出了一个猜想（BSD猜想），后成为美国Clay数学研究所发布的七个“千禧年大奖难题”。任何一个猜想的解答，只要发表在数学期刊上，并经过两年的验证期，解决者就会被颁发100万美元奖金。但这七个问题中，目前只有一个得到解决。

“我将以通俗的方式解释这一猜想，以及格罗斯与我所证明的部分结果。这是很久以前的工作，但是相关的研究领域在今天仍然是活跃并且激动人心的。”70岁的唐·查吉尔说。

幻灯片下，出现的是查吉尔用中文写的，“史上最‘贱’的数学题，你能找到a，b和c的正整数解吗？”这是几年前在德国，一位与他讨论的中国数学家给他看的。“我的同事说，在中国互联网上，忽然出现了一个数论的问题，提到有95%的人解不出这道题，我觉得应该是99.999998%的人没有办法解决。”

接着，查吉尔向台下观众展示这道题的解题过程，并说：“这个题目看似简单，但人为痕迹非常明显，给出一个最小解，没有任何一台计算机能解答，世界上只有一台‘计算机’能解决这个题，就是人的大脑。它跟椭圆曲线理论是有关系的。在过去200年间，逐渐显示出它是一个非常深刻的理论，甚至可以帮助我们解决这么复杂的问题。有意思的是，结论非常复杂，但题目看上去，极其简单。”

从 1982 年到 1985 年，格罗斯教授在布朗大学担任副教授。在这段时间里，他开始与查吉尔在 Heegner 点以及椭圆曲线上的 L 级数上展开了合作，并因此获得了本届复旦- 中植科学奖。这项工作引发了三次方程的大有理解的构造，以及虚二次域上高斯类数问题的解决，还为 BSD 猜想提供了重要的理论证据。

2021年“复旦- 中植科学奖”得主唐·查吉尔出席颁奖典礼，并发表了《古老而美丽的数论》的演讲。

本尼迪克特·格罗斯通过视频方式分享自己获奖的喜悦。

尽管这项工作的证明过程艰难、证明结果深刻，但查吉尔却称这是一个“并不漂亮”的公式。“我们当年的证明从数学上讲，并不是最漂亮的。当大家讀到证明的最后，都相信这个公式是对的，但并没有一个更深层次的理由让大家一看到这个公式就明白这应该是对的。从逻辑上讲证明是对的，但是它为什么对？大家不知道。”

能简单阅读中文的唐·查吉尔用中文写的九章算术和史上最“贱”数学题。

数学家常用诸如“漂亮”和“优美”这样的词，而不是听起来更为科学的“正确”或“可信”来形容数学。数学何以是优美的？美是主观的，在查吉尔看来，数学的美是一种结构性的内在的东西，套用一句中国话来说是“知其然，也要知其所以然”。很多时候证明一个定理，知其然，是知道它是对的。知其所以然，是为什么是对的？去理解更深层的结构，在他看来，就是数学的美。

13岁高中毕业，进入麻省理工学院，16岁大学毕业，19岁完成博士论文，20岁获得博士学位。查吉尔的经历让人惊叹。

可是有谁能想到，他曾经一度被误认为智力存在某些缺陷的孩子。

“当时，我在学校的日子过得很糟糕，什么都学不好，我对任何事都不感兴趣、也听不懂。”通过一系列智力测试，学校建议他尝试跳级，此后，他就开始了不停的跳级，11岁时，他已经开始进入高中学习，他表现的非常出色。“我非常用功，法语、数学、物理、经济每门课我都非常喜欢，我想可以成为语言学家、数学家、历史学家，但我知道我不能做所有事情。所以我做了个决定——成为数学家，我在脑海中不停地告诉自己。之后，成为一名数学家已经变成了我的本能。”

他也曾一度怀疑自己有没有选错方向，13岁进入麻省理工学院的查吉尔在别人花4年读完一个专业时，他选择在4年内完成数学和物理两个学位，在读物理期间，他意识到，“我只是把一个物理问题转化成一个数学问题”，他在物理上没有数学上的天赋，做数学应该更好一点。

“因为这是我所决定的，我在11岁就告诉自己的，我要成为一名数学家，这将是我的所爱，这让我很开心，时至今日，我仍旧能感受到对数学的巨大热情，即使我已经70岁了。”

查吉尔谦虚地说：“我不是个天才，这更像是一种自我挑战，没有人催促我，给自己不断设立目标，看自己能走多远，这是一种乐趣，就像很多运动员在很小的时候就能够成为世界冠军一样是一种长期的、艰苦的训练的结果。”

“区分什么叫天才和非天才的一个办法是：当一个人做出贡献时，如果没有这个人证明这个数学定理，那么可能过了二三十年，别人也还是会做出来的。而所谓的天才，指的是说如果没有这个人的话，这个东西可能就永远不会存在。”

“在处理已有数据时，解决它需要的更多是技巧，如果要去发明一种前人不知道的数学，要找出一个前人根本不知道会存在的东西，需要的是想象力。”查吉尔在谈到格罗斯与他得到公式前说：“格罗斯曾说‘应该有这样一个东西在那里，我们把它做出来吧’。因为我有很强的计算能力，他称我为‘数学杀手’，但在证明获奖的这一公式时，格罗斯是想象力更丰富的那一个。”

当然，查吉尔有着他自己的想象力，在他读完博士之后几十年的职业数学家的生涯里，他会用几年的时间去思考一个问题。尽量思考得深刻;尽量去往深处去钻，去理解理论的内在的结构，他觉得这个是做数学。“对于我，我在意的不是速度，而是思考的深度。”

选择、决定、去做，把它变成正确的事情，它就成了正确的事情。

“当你年轻时，你觉得有一件正确的事情，你必须去找到这件事，却不知道究竟是哪一件。我选择一件，把它变成正确的事情，它就是正确的事情。”

查吉尔在11岁就坚定地选择了追随数学之美。

对他来说，一天中做数学的时间可以从1分钟都没有到十七八个小时，也许有一周都不会去做数学相关的工作，只是享受生活，读读书、弹钢琴，但也有可能有很长的时间，每天除了睡觉之外，都在想一个数学问题，对他来说，做数学，从事数学是用来放松的事情，真正的研究不是工作。“我不是在工作，我是在思考。”

查吉尔的研究兴趣主要集中在数论以及模形式上，但这些兴趣点总能联系到数学的其他部分，从代数几何到组合学，甚至到模空间、可积系统、微分方程和数学物理。他目前的主要项目，即与加鲁法利迪斯等人正在进行的工作，有着很强的跨学科性质，糅合了来自三维拓扑、（空行问题）代数数论、K 理论、渐近分析、模形式理论乃至量子场论的结果和想法。他的工作也以对显式計算和数值技术有着浓厚的兴趣而著称。

喜欢语言和历史的他，能够熟练地使用德语、英语、法语和意大利语，还会说少许的土耳其语，他也努力在学习中文，“我的夫人现在在研究古代中国和日本的数学，我也参与其中，我发现中文是最有趣的语言之一，非常的美。我回到德国后也会请老师教我中文”。

现在能简单阅读中文的他，在乘坐来上海的班机时，随身带着中文版狄更斯的《远大前程》，他希望能与更多的中国数学研究者和青年学生进行沟通交流，“这些年轻人学得都很好，他们都在做对的事情。”他相信只有最好的学生才会来见他，才会有胆量去跟他交流。

对于那个“并不漂亮”的公式，查吉尔说，“希望在将来，将来某个时刻会有一个青年的数学家，想出一个很妙的想法，大家一看到这个公式就说，它应该是对的”。

（本文部分资料来源复旦大学公众号）

本科就读于哈佛大学，主修数学。1978年返回哈佛完成博士学位。2011年获得哈佛大学教授称号，并在2004—2007年担任哈佛大学院长。曾获麦克阿瑟奖、柯尔数论奖。现为美国艺术与科学院院士、美国国家科学院院士、美国数学会会士、美国哲学学会会士。他带领学生一起提出了一些影响深远的猜想，推广了Gross-Zagier公式，而Gross-Zagier公式已经构成了当前许多研究的主题。

唐·查吉尔出生于德国，曾在美国和英国接受教育，16岁大学毕业，并在20岁获得博士学位。此后他在多个国家工作过。曾获得科尔数论奖、卡尔·格奥尔格·克里斯蒂安·冯·施陶特奖。现为荷兰皇家艺术与科学院外籍院士、美国国家科学院院士、伦敦数学会荣誉会员。

查吉尔教授的研究兴趣主要集中在数论以及模形式上，但这些兴趣点总能联系到数学的其他部分，从代数几何到组合学，甚至到模空间、可积系统、微分方程和数学物理。他目前的主要项目，有着很强的跨学科性质，糅合了来自三维拓扑、代数数论、K理论、渐进分析、模形式理论乃至量子场论的结果和想法。他的工作也以对显式计算和数值技术有着浓厚的兴趣而著称。

“复旦-中植科学奖”由复旦大学和中植企业集团于2015年合作设立，以表彰在数学、物理学和生物医学领域做出原创性杰出贡献的全球科学家。奖项每三年在这三个学科领域中轮流颁发。“复旦-中植科学奖”设立的初衷是通过搭建科技创新的国际研讨、交流和分享平台，集聚全球科技创新领军人才，提升中国科技竞争力，为世界顶级科技奖项储备人才。

奖项的评选坚持“优中选优、宁缺毋滥”原则，候选人必须是在世的相关领域科学家、不限国籍、其原创性、基础性和突破性的科研成果能显著推动人类社会进步，提高人类生活质量及精神文明，并能代表当今全球科技创新的最前沿水平。

今年的“复旦-中植科学奖”授予数学领域的杰出科学家，这是该奖项设立以来的第二次。自2016年首次颁奖以来，已表彰了12位不同国籍的科学家，其中5位在获得“复旦-中植科学奖”后又成为诺贝尔奖获得者。