“估算”无理数

文谢 芸

在本章，我们学习了无理数的定义。结合有理数比较大小的方法，我们是否可以估算无理数的大小？答案是肯定的。我们利用完全平方数和算术平方根可以对无理数的大小进行估算。下面，让我们通过两道例题一起来了解。

例1 【阅读材料】∵即2＜＜3，

【解决问题】（1）填空：的小数部分是______；

【解析】（1）由于4＜7＜9，所以可求得的整数部分是2，进一步得出的小数部分是- 2。

例2对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a 的 根 整 数。例 如：=3，=3。

（3）我们对a 连续求根整数，直到结果为1 为止，例如：对10 连续求根整数两次，，这时候结果为1。那么，对120 连续求根整数____次之后结果为1；

（4）只需进行3 次连续求根整数运算后结果为1 的所有正整数中，最大的是____。

【解析】（1）要先估算和的大小。∵22=4，62=36，72=49，∴6＜＜7。

（4）进行3 次连续求根整数，只要找到每次要求根整数的最大的整数就行。我们从后往前推，由（2）可得，根整数为1 的最大整数是3。同理，3 是小于4 的最大整数，∵42=16，∴根整数为3 的最大整数是15；∵162=256，∴根整数为15 的最大整数是255。∴进行3 次求根整数后结果为1 的所有正整数中，最大的是255。