2020年高考天津卷第20题解法探究

蔡海涛 卢 妮 黄少莹

(福建省莆田第二中学 351131)

一、试题呈现

例1 (2020年高考天津卷·20)已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)为f(x)的导函数．

(1)当k=6时，

①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

本题以初等函数为载体，考查求曲线的切线方程、研究函数的极值、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化、分类与整合等思想，考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性、创新性.

二、解法赏析

解(1) (ⅰ)y=9x-8.

(ⅱ)函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)；

g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.(过程略)

因为x2≥1，t3-3t2+3t-1=(t-1)3>0，k≥-3，

由①②③可得

(x1-x2)(f′(x1)+f′(x2))-2(f(x1)-f(x2))>0.

三、变式练习

练习1(2015年高考全国卷Ⅱ·理21)设函数f(x)=emx+x2-mx.

(1)证明：f(x)在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增；

(2)若对于任意x1，x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范围．

练习2(2016年高考全国卷Ⅰ·理21)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点．

(1)求a的取值范围；

(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2<2.

(1)求函数f(x)的单调区间；

练习1答案：(1)略；(2)m的取值范围是[-1,1]．

练习2答案：(1)a的取值范围为(0,+∞)；(2)略．

练习3答案：(1)函数单调递减区间是[3,+∞)，无递增区间；(2)略．

四、解后反思

多元变量问题在近年高考试题中频频出现，这类问题因变量多,结构复杂，学生不易掌握.求解多元变量问题方法很多，本文以2020年天津高考题为例的三种解法是解决多变量不等式问题的常用方法.这些解法共同点是我们在解题时，须从不同的角度、不同方向考虑整合变量或确定主元或换元变形，目的均是消去变量．当然，除了以上的方法外，还有许多其它的方法有待我们去总结，需要同学们在解题过程中充分运用数学思想方法，领会数学建模、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养．只有这样，我们才能达到“通一题、会一类”的效果.