浅谈判断充分、必要条件的方法

王红明

(江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学 225500)

解决判断充分、必要条件这类问题，需熟练掌握充要条件的概念，准确理解其含义，结合题设条件分清条件与结论的关系，结合正确高效的解题方法，最终得出正确结果.

下面主要对如何准确高效判断条件的充要性作一归纳整理，希望可以有所帮助.

一、定义法

按照课本上面的定义，有如下基本结论：

1.若p⟹q，则p是q的充分条件；

2.若q⟹p，则p是q的必要条件；

3.若p⟹q,q⟹/p，则p是q的充分不必要条件；

4.若p⟹/q,q⟹p，则p是q的必要不充分条件；

5.若p⟹q,q⟹p,则p是q的充要条件；

6.若p⟹/q,q⟹/p,则p是q的既不充分也不必要条件.

例1 设集合M={x|log2x>1}，P={x|3x<27}，问“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的什么条件.

解析先解得集合M={x|x>2}，P={x|x<3}，条件p：x∈M或x∈P，即P∪M=R，结论q：x∈P∩M，而P∩M={x|2

显然x∈P∩M⟹x∈M或x∈P，反之则不然.

所以“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件.

点评从命题的角度判断条件的充要性，应先把题目写成命题的形式，并对条件和结论进行明确或者求解，然后按照定义，直接判断.

练习1 试判断“m=3”是“直线(m-1)x+2my+1=0与直线(m+3)x-(m-1)y+3=0相互垂直”的什么条件.

解析∵直线(m-1)x+2my+1=0与直线(m+3)x-(m-1)y+3=0互相垂直,

∴(m-1)(m+3)+2m[-(m-1)]=0，解得m=3或m=1.

∴“m=3”是“直线(m-1)x+2my+1=0与直线(m+3)x-(m-1)y+3=0互相垂直”的充分不必要条件.

二、集合法

一般地，若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，有如下基本结论：

1.若A⊆B，则p是q的充分条件；

2.若A⊇B，则p是q的必要条件；

3.若AB，则p是q的充分不必要条件；

4.若BA，则q是p的必要不充分条件；

5.若A=B，则p是q的充要条件；

6.若AB, 且AB，则p是q的既不充分也不必要条件.

解析设命题p、q分别对应集合M、N，解得M=(-∞,-4]∪[1,+∞)，N=(-∞,-4]∪(1,+∞)，显然NM，所以p是q的必要不充分条件.

点评用集合的观点来判断条件的充要性，体现数形结合的思想，方便高效.

三、传递法

1.若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件；

2.若p是q的必要条件，q是r的必要条件，则p是r的必要条件；

3.若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件.

例3 若甲是乙的必要不充分条件，丙是乙的充要条件，试判断丙是甲的什么条件.

解析∵甲是乙的必要不充分条件，

∴甲⟹/ 乙，乙⟹甲，

又∵丙是乙的充要条件，即丙⟺乙，

∴丙⟹甲，甲⟹/ 丙，

∴丙是甲的充分不必要条件.

点评对于看上去较复杂的关系，常用⟹、⟸、⟹/ 等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度，直观快捷形象.

练习3已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的什么条件？

解析依题意有：p⟹r,r⟹s,s⟹q,

∴p⟹r⟹s⟹q.

又∵r⟹/q，∴q⟹/p.∴p是q的充分不必要条件.

四、等价命题法

由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”.

解析设命题p、q分别对应集合P、Q，则

P={x|-2

Q={x|-22}.

点评由于原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，因此，对于那些带有否定性的命题，可先转化为它的等价命题，再进行判断，体现等价转化的思想，培养思维的灵活性.

练习4 已知条件p：x+y≠-2，条件q：x，y不都为-1，试判断p是q的什么条件.

解析直接判断比较困难，考虑采用原命题与逆否命题同真假的方法.

等价的逆否命题为“若x，y都为-1，则x+y=-2”，显然成立，∴p是q的充分而不必要条件.

总之，条件充要性的判定是高中课程中很重要的知识，高考经常进行考查，我们在备考时一定要熟练掌握四种基本判断方法：定义法、集合法、传递法、等价命题法.同时由于条件充要性的判定在出题时很容易与其他知识进行交汇考查，所以我们有必要夯实基础，适当增加训练量，以到达稳步拿分的理想状态.