数学思想方法在解题中的应用——以求圆锥曲线离心率的取值范围为例

廖永福

(福建省厦门第二中学 361009)

数学思想方法是人们对数学本质的认识，是解决数学问题的指导思想.引导学生正确理解、牢固掌握并灵活应用数学思想方法，有助于学生领会数学真谛，发展数学思维，提升数学核心素养.本文以求圆锥曲线离心率的取值范围为例，阐述常见数学思想方法在解题中的应用.

一、函数思想

函数思想，就是在解答数学题的过程中，将题干中的各个量用函数的形式表示出来，明确其中的数量关系，再借助函数的相关性质进行求解.

点评本题主要考查双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，抓住双曲线的离心率与渐近线斜率之间的函数关系是解题的关键，属于中档题．

二、方程思想

方程思想是指从问题的数量关系入手，应用数量间的相等关系，建立方程或方程组，通过对方程或方程组的变形或求解，进而解决问题.

分析在焦点△PF1F2中，根据椭圆的定义、余弦定理及题设条件，可以列出三个关于|PF1|、|PF2|的方程，结合基本不等式，可以列出一个关于a、b、c的不等式，由此能求出离心率的范围．

点评本题主要考查椭圆的性质的简单应用，解题时要认真审题，注意方程思想的合理运用．

三、数形结合思想

数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间图形结合起来考察的一种思想方法，即根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征的问题去研究；或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究,是一种常用的数学思想方法．

A．(1，2] B.(2,+∞) C.(2,4] D.(4,+∞)

分析画出图形，由图易得c-a≤|PF1|

点评本题主要考查双曲线的性质，考查运算能力.注意数形结合思想在解题中的应用，属于中档题．

四、分类讨论思想

分类讨论思想是指在解决某个问题时，无法用同一种方法加以解决，这就需要用一个标准将问题划分成若干个能用不同形式解决的小问题，逐一解决这些小问题，从而得到整个问题的解答.历年高考必考，是一种重要的数学思想方法.

当直线与双曲线的交点在两支上时，可得双曲线的实轴最小为2a．

点评本题考查双曲线的离心率的范围，注意讨论双曲线与焦点弦的位置关系，求得最小值，考查运算能力，属于中档题．

五、等价转化思想

等价转化思想是指把未知解的问题转化为已有知识范围内可解的问题，通过不断转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单的问题.等价转化思想无处不在，是最基本、最常用的数学思想方法.

点评本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和圆相切的条件：d=r，考查化简运算能力，属于中档题．关键在于实现两个转化：

①PF1与圆x2+y2=4a2相切⟺d=r；

数学考题千变万化，题海战术是行不通的，想靠押题也是不可能的，但用数学思想方法就容易找到解题思路，迅速破题.

解法一设F′为双曲线的右焦点，连接AF′、BF′，如图.

解法二同解法一，有n-m=2a，m2+n2=4c2，

解法三同解法一，可得四边形AFBF′为矩形，|AB|=|FF′|=2c.如图，设∠BAF=θ，则|BF|=2csinθ，|BF′|=|AF|=2ccosθ.

∵|BF|-|BF′|=2a，∴2csinθ-2ccosθ=2a，

点评本题主要考查双曲线的定义和性质、考查三角函数的性质和运算能力，属于中档题．三种解法都用到了函数与方程思想、数形结合思想和等价转化思想，但由于解题的切入点不同，解法也不尽相同.

数学思想方法无处不在，它不仅隐含在数学学科中，而且也渗透到其它一切自然科学乃至社会科学领域.作为一名数学教师，一方面要不断提炼教材中蕴含的数学思想方法，并贯穿于课堂教学之中；另一方面要引导学生在学习数学的过程中，学会提炼数学思想方法，并用于指导解题实践.长此以往，学生的成绩上去了，能力也就上去了.